LIVRE VI. — J.tS POLYÈDRES. lo

SCOLIES

685. Les aires de deux polyèdres semblables sont proportionnelles aux carrés de leurs arêtes homologues. CSG. De la relation démontrée, on déduit réciproquement,

AB 3 /l»^ A' B ~ V P' *

Donc, lorsqu'on veut amplifier ou réduire un polyèdre dans un rapport donné, Véchelle à adopter pour amplilier ou réduire les arêtes de ce polyèdre est égale à la racine cubique du rapport donné. Par exemple, si le volume du nouveau polyèdre doit èlre la millième partie du polyèdre donné, il faudra faire ses arêtes dix fois plus petites ([ue les arêtes homologues du polyèdre donné.

Application.

687. Étant donnée une pyramide dont l'une des arêtes 'èS. est égale à i m.èlre, par quels points a et a' de cette arête faut-il mener des plans parallèles à la base delà pyramide, pour partager son iwlume en trois parties équivalentes?

Les pyramides partielles dont les arêtes sont S^r et Sr/ représentent respectivement le tiers et les deux tiers de la pyramide donnée. On aura donc

^"V3' sA-y^'

d'où, en opérant par logarithmes et en faisant SA — i'",

S« = o">,6r,3 et Sa' = o'",874 à { millimètre près.

§ Vn. — APPENDICE.

PROPRiiÎTÉs (;i':m':iuli:s des POLviïDRES.

THÉORÈME

6S8. Dans laiU polyèdre convexe, le iinnibrc des nrctcs aiii:;nientè (le ■? est c'^dl au nombre des j'ai es augmenté de relui des sommets. .S ,'ient A le nombre des arùLc-, F celui des face?, et S celui '!"S som-

toG GÉOMÉTRIE DANS l'kSPACE. '

mets du polyèdre ; il faut démontrer l'égalité

Considérons d'abord une figure plane ^ formée par la juxtaposition de plusieurs polygones convexes réunis successivement autour de l'un d'eux sans laisser de vide. Soient Oj et ^i le nombre des côtés et celu' des sommets du premier polygone, «2 et s-i les nombres des côtés et des sommets du second polygone qui ne lui soient pas communs avec le premier, «3, ^3 les nombres des côtés et des sommets du troisième polygone qui ne lui soient pas conmiuns avec les deux premiers, et ainsi de suite. Si F' est le nombre total des polygones qui composent S on aura les F' équations

rt, = *2 -i- 1 «3 = ^3 H- 1

qui donnent, par addition,

(«, -i- «2+ «3-+-- • •) = (-^1 -f- ■^'î + ■^iS -f- • • .)-f-F'— I,

ï'est-à-dire

si l'on désigne par À' et S' le nombre des côtés et celui des sommets de la figure S.

Ce lemme établi, revenons au polyèdre convexe. Si on supprime l'une des faces, les faces restantes, dont le nombre sera F — i, pourront être considérées comme formant une suite de polygones convexes juxtajwsés et renfermés dans le contour de la face supprimée; nous pourrons d'ailleurs raisonner sur ce réseau comme s'il était plan, puisque le théorème ne dépend que des nombres des polygones, des sommets et des arêtes. La relation (2) doit donc être satisfaite par les valeurs

on tombe ainsi sur la relation (i), qui est attribuée à Euler (Mémoires de Pétersbourg, 1 768 ) ( * ).

Corollaires.

689. Désignons par t, q, p, li, h' , o, . . . les nombres des faces triangulaires, quadrangulaires, pentagonales, hexagonales, heptagonales, octogo-

(') En réalité la formule (i) appartient à Descartes; on la trouve en effet dans l'écrit posthume de ce grand géomètre intitulé De solicforum cientenils. Voir sur ce sujet un remarquable mémoire de M. de Jonquière? (Académie des Sciences, 3i mai-s i8f)oJ.