LIVRE vr. — IBS POLYÈDRES. ÏO

nales, .... Chaque arête étant commune à deux faces, on aura évidemment

Soient T,Q, P, H, H', 0, . . . les nombres d'angles Iriédres, tétraèdres, penlaèdres, hexaèdres, ... du polyèdre proposé ; chaque arùle unissant deux sommets, on aura de même

(4) S=T-T-Q-i-HH-H'-+-0 4- ...,

(5) 2A = 3T+4Q + 5P-4-6H+ -H' + SO-h ....

D'après l'égalité (3), le nombre des faces dont le nombre des côtés est impair ( c'est-à-dire le nombre t -v- p -^ h' -\- . . . ) est toujours pair; d'après l'égalité (5j, le nombre det angles polyèdres ou des sommets dont le nombre des arêtes est impair (c'est-à-dire le nombre T -f-' P + H' -H . . .) est toujours pair.

<J90. On peut exprimer F en fonction de T, Q, P, H, H', 0, ... ; il suffit d'éliminer S et A entre les relations ( i ), (4) et (5). On trouve

( C) 2F = 4 + T -^ oQ -T- 3 P - 4 H -^ ") H' -+- GO -r^ . . . .

De même, on peut exprimer S en fonction de t, 7, p^ h^ //, ",...; il suffit d'éliminer F et A entre les relations (i), (a) et (3). On trouve

SCOLIK.

691. Si Von conçoit la surface d'un polyèdre convexe décomposé en plusieurs portions, chaque portion étant une face seule ou le système de plusieurs faces voisines , le théorème d'Eulera encore lieu entre le nombre des portions dont il s 't^git, le nombre des arêtes cjui servent de limites à CCS mêmes portions^ et le nombre des sommets compris entre ces arêtes.

En effet, que les droites qui terminent chaque portion soient ou non dans un même plan, les nombres considérés ne varient pas. Or, dans la première hypothèse, eans rien changer à ces mêmes nombres, on pourrait former un nouveau polyèdre en substituant à chaque portion une faie plane terminée au même contour, elle théorème d'Fuler serait applicable y ce polyèdre.

Toutes les form.ule.s que nous venons d'établir subsistent dans ce cas ; seulement, t est alors le nombre des portions de la surface, terminées par un contour triangulaire; 7, /?, ... les nombres des portions dont le contour est quadrangulaire, pent-)gonyl, etc.

'OO GÉOMÉTRIE BANS l'eSPACE.

THÉORÈME

692. Dans tout polyèdre convexe^ le nombre des faces triangulaires^ augmenté de celui des angles trièdres, est au moins égal à huit. En effet, si dans la relation (i), qu'on peut écrire

on remplace F par la valeur (2), S par la valeur (4), et 4 A par la somme des valeurs (3) et (5), on trouve

D'après cela, // n existe aucun [jolyèdre con«exc qui ne rcnjernie niface triangulaire, ni angle trièdrc.

THÉORÈME

G93. \" Il ri existe aucun polyèdre convexe dont toutes les faces aient plus de cinq côtés ; 2^ il ri existe aucun polyèdre convexe dont tous les angles polyèdres aient plus de cinq arêtes.

En effet :

1° Si, dans Tinégalité 2A> 3S, qui résulte de la compaiaison des relations (4) et (5), on remplace A et S par les valeurs (3)ot (7), on trouve la formule

qui prou\e que t, q et p ne peuvent être nuls à la fois.

2° Si, dansl'inégalité 2A> 3F, qui résulte de la comparaison des relations (2) et (3), on remplace A et F parles valeurs ( 5) et (6), on trouve la formule

qui prouve que T, Q el P ne peuvent être nuls à la fois.

SCOLIE

094. La symétrie de la formule d'Euler par rapport aux nombres F el S et la similitude des équations (2) et (4), (3) et (5) entraînent dans les relations qu'on peut en déduire une corrélation que le lecteur a sans doute déjà remarquée.

THÉORÈME

695. // ne peut exister que cinq espèces de polyèdres convexes dont toutes les faces aient le même nombre n de côtés et dont tous les angles polyèdres aient le même nombre m d'arêtes.