I.IVlti: YI. — LES POLYÈDRES. IO

En effet, chaciue arèie ap[iartenant à deux faces et joignant deux som-

mels, on a

'jiA = //F = wS.

L'élimination de A et de S entre ces équations et la formule d'Euler donne

2 [ m -h /i) — /un Pour n = 3, celte relation devient

et l'on ne peut donner alors à m que les valeurs 3^ 4 et 5, auxquelles répondent respectivement les valeurs F = 4, F = 8, F == 20. Pour fi — 4 ou n = 5, on a

On ne peut donner dans les deux cas à m que la valeur 3, et il en résulte F = G ou F = 12.

Pour // =: G, on a

et l'on ne peut donner à m aucune valeur. 11 en est de môme n fortiori pour// > 6; ce résultat était d'avance indiqué par le théoième du n°G93. 11 n'y a donc que cinq espèces de polyèdres convexes dont toutes les faces aient le même nombre de côtés et tous les angles polyèdres le même nombre d'arêtes : ce sont le tétraèdre, l'oclaèdre et l'icosaèdre à faces triangles; l'hexaèdre à faces quadrilatères; le dodécaèdre à faces pentagones.

THÉORÈME

696. L'angle droit étant ])ris pour imiK', la somme des angles de tontes te. < faces d'un polyèdre convexe est égale à quatre jois te nombre des sont mets dindnué de •>..

1/angle droit étant l'unité d'angle, on sait que, pour une face quelcon(]uo de// côtés, la somme des angles est a//— 4. En désignant par //,//', //", ... les nombres de côtés des différentes faces, on aura donc pour toutes les faces

Cette suite contiendra d'ailleurs F termes. La soinnie cliercliée a donc pour expression

IlO GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE.

Chaque côté appartenant à deux faces, la parenthèse est égale à 2A, et l'on obtient !a formule

UA-F) ou 4(S-2),

d'après le théorème d'Euler.

CONDITIONS d'égalité ET DE SIMILITUDE DE DEUM POLYÈDRES CONVEXES.

LEMME

697. Si, dans un angle polyèdre convexe dont toutes les faces- sauf une restent invariables , un ou plw.ieurs angles dièdres non adjacents à la face variable augmentent on diminuent tous à la fois, cette face elle-même augmente ou diminue.

Fi;;. 3S2.

Soient [Jig. 382) l'angle polyèdre SABCDEFet, dans cet angle, SAB la seule face qui puisse varier. Supposons d'abord qu'un seul angle dièdre SD augmente ou diminue. Menons les plans ASD, BSD. Les deux angles polyèdres SBCD, SÂDEF ne changent ni de forme ni de grandeur, d'après les conditions de constance imposée? à leurs faces et à leurs angles dièdres. Par suite, si l'angle dièdre SD augmenle ou diminue, ce ne peut être que par sa partie ASDB; et, comme ce dernier angle dièdre est compris dans l'angle trièdre SABD entre deux faces invariables de grandeur," îa face opposée ASB augmenle ou diminue (569).

Si plusieurs angles dièdres non adjacents à la face ASB augmentent ou diminuent à la fois, il en sera de même de cette face; car on peut faire varier isolémicnt, et l'un après l'autre, les angles dièdres considérés et, d'après ce qui précède, chaque changement partiel en produira toujours un de même nature sur la face ASB.

Corollaire.

698. Si, toutes les faces demeurant constantes, certains dièdres d'un angle polyèdre viennent à changer, il est impossible que tous-varient dnns le même sens, cest-à-dire qu'il est 'uipossible que tous augmentent pg nue tous diminuent.