LIVKL VI. — LES POLYÈDRES. III

LEMME

699. Soit un angle polyèdre convexe ayant plus de trou faces ; si. les faces demeurant constantes et l'angle polyèdre restant convexe, un suppose que les angles dièdres aient, les uns augmenté, les autres diminué; et si, en faisant le tour de l'angle polyèdre, on affecte du signe -{- l'arête de chaque am^le dièdre augmenté, et du signe — iarêic de chaque angle dièdre diminué, on trouvera toujours dans le tour entier au moins quatre variations de signes.

Il est impossible qu'il n'y ait (jue deux variations de signes, en d'autres ternies il est impossible qu'à une série de signes -h succède une série de signes — qui ramène au premier signe -i-. En effet, si {fig. 38^) les arêtes SA, SF, SE étant affectées du signe -f-, les arêtes suivantes SD, se, SB étaient affectées du signe — , la face ASE qui sépare les deux angles polyèdres SAFE, SEDCBA augmenterait dans l'un et diminuerait dans l'autre (697).

Puisqu'il y a plus de deux variations de signes et qu'on doit fermer le circuit en rejoignant le signe qui a servi de point de départ, il est impossible que le nombre des variations soit impair. Puisque ce nombre est pair et plus grand que 2, il est an moins égal à 4.

THÉORÈME

700. Dans un polyèdre convexe dont toutes les faces sont constantes^ les angles dièdres sont aussi constants.

« En effet, supposons, contre l'énoncé ci-dessus^ que l'on puisse faire » varier les inclinaisons des faces adjacentes, sansdétiuire lepolvèdre; » et pour simplifier encore la question, supposons d'abord que l'on puisse » faire varier toutes les inclinaisons à la fois. Les inclinaisons sur certaines » arêtes varieront en plus, les inclinaisons sur d'autres arêtes varieront » en moins; et en comparant deux à deux, relativement aux signes de » leurs variations, les inclinaisons des arêtes qui, dans chaque face, aboii- » tissent aux mômes sommets, on trouvera, en passant successi\einenl » d'une arête à l'autre, plusieurs changements de signes. C'est le nombre )) de ces changements (jue nous allons chercher à déterminer ( ' \ >'

Il suit du lemme précédent que cIuKpie angle polyèdre présente sur ses arêtes au moins (juatre changements de signes. Le nombre des changements de signes obtenus en considérant tous les angles polyèdres du polyèdre serait donc au moins égal à 4 S. Or il est aisé de voir que cela est impossible.

( ' ) Cacciiy, Journal de l'École Polytechnique, XVI' Cahier, p. 9G. Dans lo

î.in;;.Tj;c de Catichy, le mot inclinaison est ici synonyme du ciiéilre.

Remarquons qu'en faisant le tour de chaque sommet ou en faisant celui du périmètre de chaque face on doit trouver le même nombre total de variations de signes. En effet, chaque variation de signes autour d'un sommet correspond à deux arêtes de signes différents qui se suivent sur le périmètre d'une même face, et réciproquement.

Mais, sur un périmètre, le nombre des variations ne peut dépasser le noiiibre des côlés et ne peut être impair; car, puisqu'on doit revenir au point de départ, chaque variation en entraîne nécessairement une seconde. Chaque face triangulaire ne peut donc fournir plus de deux changements de signes; les quadrilatères et les pentagones ne peuvent en fournir plus de quatre; de même, les hexagones et les heptagones plus de six, et ainsi de suite. Toutes les faces ou tous les sommets du polyèdre ne pourront donc donner plus de changements de signes qu'il n'y a d'uni lés dans la somme

it ^ :\q -^ .^p -\- (j h -{- C:)h' -\- èo -\- . . . .

Or celte somme est inférieure à 4 S; car on a (690), d'après la formule (7),

Il faut en conclure qu'il est impossible que les inclinaisons sur les arêtes changent toutes à la fois,

« Si l'on suppose, en second lieu, que, dans le polyèdre donné, non- » seulement les faces, mais encore les inclinaisons sur plusieurs arêtes » restent invariables, ei que cependant on puisse, sans détruire le po- » Ivèdre, faire varier les inclinaisons sur les arêtes restantes, alors, pour « démontrer l'absurdité de l'hypothèse, il suffira de concevoir la surface » du polyèdre décomposée en autant de portions que les arêtes sur les- » quelles les inclinaisons varient forment de contours diR'érenls, et d'ap- » piliquer aux portions, aux arêtes qui les terminent, et aux sommets n compris entre ces arêtes, les mêmes raisonnements que nous avons ap- >■> pliqués, dans l'hypothèse précédente, aux faces, aux arêtes et aux som- )i mets du polyèdre ('). » On y parviendra eu s'appuyant encore sur le lemme précédent et sur le scolie du n° 691.

COROI.LAIUES,

701. Il suit du théorème précédent que deux prAyèdres convexes, coin-' pris sons un même nombre de faces é^rdes, sont égaux ou synielrifjucs, suivant que les faces égales sont ou non somblablement disposées.

702. Il suit encore du lliéorème précèdent que, lorsque deux polyèdres Convexes sont compris sous un même nombre de faces semblables, le

(') CavciiY, loc, cit.