LIVRE VI. — LES POLYÈDRES. Il

icco/ifl est semblable at( ijrcniier ou à un troisième polyèdre symétrique du premier, suivant que les faces semblables sont ou non scmblablement placées.

PROBLÈME

7U3. Chercher le nombre de conditions nécessaires pour déterminer un polyèdre convexe.

1° Le polyèdre est d'une nature déterminée, c'est-à-dire qu'on connaît le nombre des faces, le nombre des côlés de chacune d'elles et la manière de les assembler.

Prenons pour base une des faces du polyèdre. Si elle a n cùtés, il faut III — 3 conditions pour la déterminer. Or il y a hors de cette base S — « sommets, et comme pour déterminer un point dans l'espace il faut trois conditions, on aura en tout 2^2 — 3-1-3 (S — «), ou 3 S — « — 3 conditions. Mais les sommets qui rep iiidoiit à une même l'ace sont dans un même plan, et trois points suftisent pour déterminer un plan. Par conséquent, pour tous les sommets d'une même face, en sus des trois premiers, il ne faut réellement que deux conditions. On doit donc diminuer 3(S— «) de la somme («' — 3) -t- («" — 3) -f- («'" — 3 ) -i- . . . , en désio:nant par n', n", n'",. . . les nombres de côtés des F — 1 faces qui restent en dehors de la base choisie. Le nombre de conditions demandé est donc finalement

mais (688, 689)

n -^ n' -h n" -^ //" -f-... = 2A et F-l-S — ■?. = A.

Le nombre cherché se réduit donc à A. Ainsi, le nombre ries données né' cessaires pour déterminer un polyèdre, dans les conditions indiquées, est éo(/l au nombre de ses arêtes.

« Remarquez cependant que les données dont il s'agit ne doivent pas » être prises au hasard parmi les lignes et les angles qui constituent les » éléments du polyèdre; car, quoiqu'on eût autant d'équations que d'in- » connues, il pourrait se faire que certaines relations entre les quantités n connues rendissent le problème indéterminé. Ainsi, il semblerait, d'après » le théorème qu'on vient de trouver , que la connaissance des aréles » seules suCit en général pour déterminer un polyèdre; mais il y a des )) cas où cette connaissance n est pas sulïisante. Par exemple, étant donné ■• i> un prisme non triangulaire quelconque, on pourra former une infinité » d'autres prismes qui auront des arêtes égales et placées de la même ma- » nière. Car, dès que la base a plus de trois côtés, on peut, en conser- » Nanties côtés, changer les angles et donner ainsi à cette base une inli- )i nitéde formes différentes ; on peut aussi changer la position de l'aiélc » longitudinale du prisme par rapport au plan de la base ; enfin, on [teut » combiner ces deux changements l'un avec l'autre, et il en résultera

R. et DE C, — Tr. de Céom. (II« P.irtic). ^

Il4 GÉOMÉTRIE DANS L ESPACE.

» combiner ces deux changements l'un avec l'autre, et il en résultera » toujours un prisme dont les arêtes ou côtés n'auront pas changé. D"où » Ton voit que les arêtes seules ne suffisent pas dans ce cas pourdéler- » miner le polyèdre. Les données qu'il convient de prendre sont celles » qui ne laissent aucune indétermination ('). »

i" La nature du polyèdre n'est pas déterminée, et l'on connaît seulement le nombre des sommets.

Prenons trois de ces points à volonté. Pour déterminer le triangle formé par eux, il faudra trois conditions; puis, pour déterminer chacun des S — 3 autres sommets, il suffira de donner ses distances aux trois premiers, ce qui exige 3(S — 3) conditions. Le nombre cherché est donc ici 3 -t- 3 ( S — ii ) ou 3 S — C-.

SCOLIE

704. Si un côté et A — i angles déterminent un polyèdre de nature donnée, un autre côté pris à volonté et les mêmes angles déterminent un polyèdre semblable au [iremier. Donc, pour que deux polyèdres de même nnture soient semblables, il faut A — i conditions.

Si les deux polyèdres ne sont pas de nature déterminée, et s'ils ont seulement le même nombre S d'angles polyèdres, il faut 3S — 7 conditions pour qu'ils soient semblables.

RELATION ENTRE L ETENDUE D INE FIGURE PLANE ET CEU.E DE SA PROJECTION ORTHOGOiNALE.

THÉORÈME

70j. La projection d'une droite AB sur un axe XY est égale au produit de la longueur AB de cette droite par le cosinus de l'angle aigu a. qu'elle jait avec l'axe.

Fi!T. 3S3.

Nous supposons ici {j!^. 384) que la droite AB et l'axe XY ne soient

(*) LtGENiiKE, Ele/iu'/its de Gfoinctrii', i j'" oJitioii. iVolo \lli