I.tVIÎK VI. — LKS f'OLYÈDRLS. Il

pas dans un môme f)lan, sans quoi le lliéorème ne différerait pas de celui qui a été démontré déjà en Géométrie plane (Appendice du III" Livre). Dans notre hypothèse, la projection ob est égale à la portion de l'axe XV comprise entre deux plans M et N menés par \ et B perpendiculairemenr à cet axe, on bien encore à la portion AI) do la parallèle à l'axe menée par le point A jusqu'à la rencontre du plan X. Or le triangle rectangle ADB donne

AD = AB cosa ou ab = AB COSs:.

THÉORÈME

/•'.'(j. Vdire de la pmjcction iVuu triangle sur un phin est cga/r n ruirc (le ce triangle iimlliplitc par h cosinus de l' angle aigu (jue l'orme le plan du triangle avec le plan de projection .

Fis. 385.

Fij. 386.

Supposons d'abord que le triangle proposé ABC ait un de ses côtés BC situé dans le plan P de projection [fig. 3S5). Si de la projection a du gommet A on mène la [)erpendieulaire c/D sur BC, la droite AD sera, en vertu du théorème des trois perpendiculaires, la hauteur du triangle ABC. Or, le rapport des triangles «BC,ABC, de même bascBC, est égal au rapport des hauteurs «D et AD, c'est-à-dire au cosinus de l'angle aigu AD<7 qui mesure l'inclinaison des deux plans.

Considérons actuellement un triangle ABC placé d'une manière quelconque par rapport au plan de projection [fig. 38()), et menons par le sommet B le plus voisin do ce plan un plan P' qui lui soit parallèle. La projviction r/Br du triangle ABC sur le plan P' est égale à celle qu'on obtiendrait en le projetant sur le plan primitif. Or, soient 0 le point où le cùlé AC prolongé rencontre le plan P', et y. l'angle du plan ABC et du plan do projection; le triangle ABC étant la différence de deux triangles ABO, CBO, qui ont un coté BO dans lo |)lan P', on a

flBf = ^/BO — rBO ^ ABO cosa - CBOcosx ^ ( ABO — CUO ) cos '/ ^ ABC cosî<,

]|6 GÉO'li.TniE DANS l'eSI'ACE.

Corollaire.

707. Le tlii'-nrènie s^ctend h lu ])rojection de l'aire d'un polygone plan et même d'une cotuhe plane fermée.

Il suffit de fiiire voir que la proposition a lieu pour un polygone, puisqu'une courbe n'est qu'un polygone d'un nombre infini de côtés infiniment petits.

Or, soient T, T', T", ... les aires des triangles qui composent le polygone pian P et /, /', /",. .. les triangles correspondants du polygone/?, qui est la projection de P ; chacun des triangles de la deuxième série est évidemment la projection du triangle correspondant de la première, et si l'on appelle y. l'inclinaison du plan du polygone P sur le plan de projection, on a

^ = ï cos a, t' = T' cos a, l" — T" cos a, . , , ,

d'où, en ajoutant,

^-+ /'-h^"h- ... =:(T+T'-hT"+ ... )c03a ou /> = Pcosa.