LIVRE VI, — I.F.S POLYÈDRES. II
suite, le point M est situé entre A et B. D'ailleurs, en menant CMD
MA
par;iilè!e au plan P, on voit que le rapport ^ est égal, en valeur ab-
, , XC z—ri , S MA z — ri ,, .
solue, a r— — 7 j on a donc ^ -— — —• -, , o ou
ùD 0 — z y. MB O—z
Dans le second cas {/îg. 388), le rapport est positif et, par suite, lo
point M est situé sur l'un des proiongeuienls do AB. On a alors
6 MA a — z z — n
= TTïï == 7 ou ■ Tî
a MB b — z z — b
d'cij
, . ay. -\- bo
C'est la même formule que dans le premier cas. a -h S sera lo coetricicut attribué au point M.
709. Nous avons supposé jusqu'ici que les points A, B, M étaient situés d'un même côté du plan P ; mais cette restriction n'est pas nécessaire, et la formule (i) subsiste pour toutes les dispositions possibles de lafigure, pourvu qu'on regarde les nombres iJ,b,z, qui mesurent les projetantes, comme positifs pour les points situés d'un côté du plan P, et comme négatifs pour les points situés du côté opposé.
Kn elfet, les points A, B, M, étant situés d'une manière quelconque par rapport au plan P, menons un plan P' parallèle à P et à une distance /i assez grande pour que les trois points A, B, M, soient au-dessus du plan P'. Alors, si a', b', z' mesurent les projetantes relatives à ce plan P', on aura ("708)
En retranchant de cette égalité l'identité
( a -+- 6 ) // = Irx -y- hZ, on obtient la relation
Mais, en ayant égard au.\ signes des projetantes, on a tonjonrs
z' — h — z, a' — Il — (I, b' — // — b,
m8 géométrie da>s l'espace.
<?, b, z étant les projetantes relatives au plan P. Donc la formule
{y.->rZ)z = (ty.-^-b^j
subsiste dans tous les cas.
710. Cela posé, soient A , B, C, D , . . . , L autant de points qu'on voudra, situés d'une manière quelconque dans l'espace ; désignons par a, ê, 7, 0 ..., A les coeificients correspondants, et par «, Z>, r, «'/,..., / les nombres positifs ou négatifs qui mesurent les droites' projetant obliquementou orthogonalement les points A, B, C, D,..., L, sur un plan quelconque P.
Sur la droite AB [Jig. 389) prenons le point M, tel, que
La projetante z, de ce point sera, en grandeur et en signe,
<iy. ->r b'j
Menons ]\î,C el prenons sur cette droite le point M, tel, qu3
La projetante z^ de ce point sera
G, (a -t- ^) -H r7 ay. ■+- bZ -1- ry
En menant de même M^D el prenant gur cette droite un point M tel, que
ALU
et continuant ainsi jusqu'au dernier point L, on obtiendra finalement un point M dont la projetante :; aura pour expression
