LIVRE VI, — LES POLYfeDRES. IIÇ

On dit que ce point M est le centre des distaiire/; proportionnelles des points donnés (A, y.) (B,o), (C,7),..., (L,).). On arrive diiilieurs au même point M dans quelque ordre que Ion joigne les points donnés; cela résulte de ce que la formule (2), qui exprime la distance du poinl M à un plan quelconque P, ne porte aucune trace de l'ordre suivi.

Dans le cas où tous les coefficients «,6,7,..., / sont égaux entre eux, le point M j)rend le nom de centre des moyennes distances; sa distance à un plan quelconque, comptée parallèlement à une droite arbitraire, est donnée par la formule

n étant le nombre des points considérés.

1\\. La formule (2). qu'on peut écrire

(3) 2i7. = ir/a,

en désignant en généra! par la notation la la somme de tous les coefficients et par -tiy. la somme de tous les produits «a, 66,. .., A, exprime que la sonnne des produits obtenus en multipliant la projetante de chaque point par son coe(ficient est égale au produit de la projetante du centre des distances proj^rtionnelles par ta sonnne des coejficietits.

Pour que z soit nul, il faut et il suffit que ï<7y. le soit, car on suppose expressément que la somme I-j. des coefficients donnés est différente de zéro. Donc, pour qu'un plan passe p(n- le centre des distances proportionnelles, il faut et il suffît (pic la somme des produits obtenus en multipliant chaque projetante relative h ce plan par le coefficient correspondant soit égale à zéro. Cette condition se réduit à la = o, lorsqu'il s'agit du centre des moyennes dislances.

712. Dans le cas où tous les points donnés A, 13, C, ..., L sont dans un même plan O, le centre M est aussi dans ce plan. Si l'on [)ren(l alors pour direction des projetantes une parallèle au ])lan (j, tous les pieds des projetantes seront situés sur 1 intersection XY du plan O et du plan 1' de projection ; cela revient donc à projeter sur une droite tiuelcon(iue XV du plan (J.

713. Soient A,, A,,,..., B,, B,,... deux groupes de points; M le rentre des distances priipoiiionnelUs du premier groupe, et Z le cent4e des distances pro[)orlionnelles du système formé par tous les points des deux groupes.

.\ppelons a,, Xj, ..., p,, ^2,... les coefficients, w,, n....... b^, b^,... les

projetantes des points donnés, et désignons [lar m et par z les i>roje-

120 Gf:OMÉTRlE DANS I/eSPACE.

lanles de M et de Z. On aura, par la formule {1).

d'où, en posant 2a = p.,

z[n ■+- iS) = ma 4- 2^(5.

Le point Z est donc le centre des distances proportionnelles des points M, B,, B^„ ..., quand on donne à M un coefficient égala p.

Ainsi, do/is la recherche chi centre des distances proportionnelles cVun système de points, on peut remplacer plusieurs de ces /mints par leur centre particulier, pourvu fjiCon donne à ce centre un coefficient égal à la somme des coefficients des points correspondants .

Inversement, on peut remplacer un point par plusieurs autres^ dont il est le centre, et dont la somme des coefficients est égale à son coefficient.

CENTRE DE GRVVITÉ.

714.. On appelle centre de gravité d'une ligne droite AB le centre des moyennes distances de ses extrémités A etB, c'est-à-dire par conséquent le milieu de cette droite.

Le centre de gravité d'une ligne brisée plane est le centre des distances proportionnelles des centres de gravité des divers côtés de ce contour polygonal, ces centres ayant des coefficients proportionnels aux côtés correspondants.

Il est aisé de voir, d'après cela, que le centre de gravité du périmètre d' un triangle kW. est le centre 0 du cercle inscrit au triangle A'B'C formé enjoignant les milieux des côtés du triangle primitif {/ig. 890). En effet,

si l'on mène les trois hauteurs A'A", B'B", C'C" du triangle A'B'C, etsi l'on applique la formule(3) en projetant successivement sur chacun des côtés de ce triangle, on trouve