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Or, comme les nviméraleurs de ces trois fraclions représentent chacun l'aire du triangle ABC, on voit que le cenlre de gravité cherché est équidislant des trois côtés du triangle A'B'C.

71.J. On appelle centre de gravité de l'aire d"un triangle, ou plus rapidement c<?/?/;v? r/^ jorrr/c/Ve r/'/z/z trififiglr, 1(> centre des moyennes distances des trois sommets.

Il est aisé de voir [fii^. Sgi ) que le centre de gmvilé G d'ii/i tiianole ABC est le point de concours des médianes de ce triangle; car, pour avoir ce centre, il faut, d'après la construction même du u° 710, prendre le milieu I de BC, puis diviser lA de telle sorte que pT — • Donc le point G

est sur la médiane AI, au tiers de sa longueur à partir de la base, etc.

716. Un polygone ABCDE étant donné {^g. 392), si on le décompose en triangles, enjoignant tous ses sommets à un point 0 pris dans son plan,

et que l'on cherche le centre G des distances proportionnelles dos centres de gravité G,, Gj, G3,G^ , G^ de ces triangles, en leur attribuant des coefficients proportionnels aux aires des triangles correspondants, on aura ce qu'on appelle le cenlre de gravité du polygone. Si le point 0 est pris à l'intérieur du polygone, tous les triangles sont additifs, et l'on donne à tous les coefficients le signe + : si le point 0 est prisa l'extérieur du polygone, il y a des triangles additifs et des triangles soustraclifs, et Ion donne pour coefficients aux centres de gravité des triangles additifs les aires de ces triangles précédées du signe -i-, et aux centres de gravité des triimgles soustraclifs les aires de ces triangles précédées du signe — .

Pour légitimer cette définition, il faut prouver que la position duccntio de gravité G du polygone est indépendante de la position quoccupe le point 0 diins son jjlan. A cet effet, projetons la figure sur un plan (pielconque P, en donnant aux projetantes une direction perpendiculaire au plan ABCDE. Soient g, g,,gj, g^, gi,^^ les projetantes des points G, G,, G.,, Gj, G,, G., et 7, 7,, 7,, 73, 7,, 75 les coefficients correspondants, c'est-à-dire les aires du polygone AfCDE et des triangles OAB, UBC,0CD, Of'E, 0E.\, [)rises avec les signes con\enables.

laS GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE.

La formule (3) donnant

y.jO' représente le volume du tronc de prisme droit dont ABCDE est la base. En effet g^, projetante du point G,, est égal au tiers des projetantes des points 0, À etB, puisque^, est le centre des moyennes distances des trois sommets du triangle OAB. Donc 7,.^, représente (653) le volume du IrOnc du prismedroit dontOAB esl la base. De même, les produits 7,. g-^, 7,. 5^3,... représentent les volumes des troncs de prisme construits sur OBC, OCD,.... D'ailleurs, comme les facteurs 7,, 7^, 73,... sont positifs ou négatifs, suivant que les triangles correspondants sont additifs ou soustractifs, on voit que les produits 7, .{^^, li-g-.-, ■•■ ont naturellement le signe + ou le signe — , suivant que les troncs de prisme qu'ils représentent sont additifs ou soustractifs. Donc, enfin, le second membre de la relation précédente exprime la mesure du volume du tronc de prisme construit sur le polygone ABCDE ; et, en désignant ce volume par V, on a