V ou g

La distance du point G à un plan quelconque P, comptée perpendiculairement au plan ABCDE, est donc indépendante de la position que le point 0 occupe dans le plan du polygone,

717, Cherchons, par exemple, le centre de gravité d'un trapèze ABCD

ifg' '^93).

Fis- 393.

D'après le théorème précédent, le point G est le centre des distances proportionnelles des centres de gravité des triangles ABD, BDC, ces points ayant des coefficients proportionnels aux aires de ces triangles, c'esi-àdire à leurs bases AB et DC, puisqulls ont même hauteur, ou à 3 AI et 3KC, les i)oints I et K étiint les milieux de AB et de DC. Mais (713) on peut remplacer le centre de gravité du triangle ABD par le système des trois points A, B, D, affectés chacun d'un coefficient égal à AI, et le centre de gravité du triangle BDC par le système des trois points B, D, C, affectés chacun d'un coefficient égal à KC. On a donc en somme à prendre le centre des distances proportionnelles des quatre points A, B, C, D, affectés respectivement de coefficients égaux à AI, AI -t- KC, KC, AI -1- KG.

LIVRr Vî. — LES POLYèltRES. 1^3

Or, les points A et B peuvent être à leur tour remplacés par le point 1, ayant ■>». AI -i-KC pour cpefficient, et les points D et C par le point K, ayant 2KC-I-AI pour coefficient. Le contre de gravité G du trapèze, étant le centre des distances proportionnelles de ces deux points I elK, s'obtiendra en divisant IK en deux parties telles que

GI^ 2KCh- ai PC H- AI GK~ 2 Aï H- KG ^ AB-f-KC*

Par suite, si Ton prolonge BA d'une longueur AE égale à DC, et DC d'une longueur CF égale à AB, la droite EF coupera IK au point demandé G.

718. Pour déterminer les centres de gravité des volumes, on suit une marche entièrement analogue à celle qu'on vient d'exposer.

Après avoir défini le centre de gravité (Vun tétraèdre comme étant le centre des moyennes distances de ses sommets, on définira le centre de gravité d'un polyèdre quelconque comme étant le centre des distances proportionnelles des centres de gravité des tétraèdres additifs ou soustractifs qu'on obtient en joignante tous les sommets du polyèdre un point 0 pris à volonté dnns l'espace ; ces centres de gravité doivent être d'ailleurs affectés chacund'uncoelficient proportionnel au volume du tétraèdre correspondant. On démontrera, par un raisonnement semblable à celui du n" 716, que la position du centre de gravité ainsi défini no dépend pas de la position du point 0.

Nous laissons au lecteur le soin de développer ce sujet et d en faire des applications. Les problèmes de ce genre ont leur véritable place dans la Statique, où l'on aperçoit mieux leur utilité. Les centres de gravité ne jouent qu'un rôle fort restreint en Géométrie pure, oîi ils interviennent cependant dune manière intéressante pour l'évaluation de quolipies aires et de certains volumes, comme nous allons le voir immédiatement pour le tronc de prisme quelconque, et comme nous le montrerons plus tard à la suite de l'étude des corps ronds.

Fig. 39/j.

Nous nous arrêterons néanmoins un instant sur le centre de i^moiié du

Ï24 GÉOMÉTRIE DANS î/eSPACE.

tciraèdrê. Ea remplaçant \fig. 894) les deux sommets A et B par leur milieu I affecté du coefficient 1 et. de même, les sommets C et D parleur milieu K affecté du coefficient 2, on voit que le centre de gravité G du tétraèdre est au milieu de la droite (fui joint les milieux de deux arêtes opposées AB et CD.

Si, procédant autrement, on remplace les trois points B, C, D par le centre de gravité 0 du triangle BCD, affecté du coefficient 3, on voit que le centre de gravité G est sur la droite AO en un point tel, que

GO I , , - ,. pn AO

p;— = — -1 cest-a-dire GO = — - • GA j 4

En réunissant ces deux résultais, on a la proposition suivante : Dans tout tétraèdre, les trois droites (pd joignent les milieux de chaque couple (T arêtes opposées, et les fjuatre droites qui joignent chaque sommet au point de rencontre des médianes de la face opposée, passent par un même point ; ce point est situé au milieu des trois premières droites, et pour chacune des quatre outres il est aux trois quarts de sa longueur comptée à partir du sommet corresj)oiidant.

710. Vnire latérale d'un tronc de prisme quelconque est égale au produit du périmètre de la section droite par la portion de la parallèle aux arêtes du prisme, menée par le centre de grarité du contour de la section droite et comprise entre les deux hases du tronc [fig. 3 9 5.)

Soient A'B'C'D'E' A"B"C"D E" le tronc de prisme, et ABCDE une section droite ^ituéc-, par exemple, au-dessus des deux bases. Par les milieux L, M, N, P, R des côtés de la section droite, et par le centre de gravité G du contour de cette section, concevons des parallèles aux arêtes du prisme, et appelons respectivement /', m\ //, //, /•', ^' les longueurs de ces i)aral!èles prolongées jusqu'au plan de la base A'B'C'D'E', et l'\m",

LIVRK VI. — LES rOLYÈDUKS. 125

«", //', r", ^" les longueurs des mêmes parallèles prolongées jusqu'au jtlan de la base A"Ii"C"D"E". /,(/., v, iz, p étant les côtés AB, liC, CD, DE, EA de la section droite, on aura, par la formule (3.),

( A -f- r/. - <- V H- - -f- ù ) o^' = a/' -(- u m' -+- -j n' -f- ~ p' -h 0 r', ( '/. -+- <j. -T- V -H - -i- f/ ) <,'" = a/'' -i- y. ///'' -f- V //' — -jj" -H 0 /•",

d'où, en retranchant,

(). + „. ^. V + TT H- p) (i°"— ^' ) = A ( /" —/')-+- ;/(/»" — m' )^-j[n" — n')

Le second membre représente évidemment la somme des aires des faces latérales du tronc de prisme ; il doit donc en être de même du premier. Or, ce premier membre est le produit du périmètre a-i- fx + v -f- --t-ode la section droite, parla portion g' — g' de la parallèle auxarêtes du prisme menée par G et comprise entre les plans A'B'C'D'E' et A"B''C"D"E".

THÉORÈME

7:20. Les rciilrcs de grcn-ilé des aires de toutes les sections pla/us d^tiii prisme sont situés sur une inénie parcdlcle au.r arêtes de ce prisme.

Le théorème est évident pour le prisme triangulaire, car, lorsqu'on projette obliquement ou orthogonalement un triangle sur un plan, chaque médiane du triangle jirimilif a i)Our projection une médiane du nouveau triangle.

Considérons actuellement un prisme quelconque ; soit ABCDE (/aç-. 392) sa section droite, qu'on a décomposée en triangles en joignantaux divers sommets un point (pielconque 0 de son plan ; soit P le plan d'une section quelconcpii! incliné d'un angle y. sur le plan de la section droilo. Conservons toutes les notations du n° 716, et désignons par A', B',C', I)',E',0', (t',G',,G'j,G'3,G',,G'5 les points où les arêtes du prisme et les |)arallèles à ces arêtes menées par les points 0, G, G,, G^, G^, G,, G^ rencontrent le [)lan P. G étant le centre de gravité de la section droite, on a

l'ty /l'M ^ Ir^i ^^ /:i*rt.i ^ li'ftk ^^ /.'.•bj

et, par suite, en multipliant par eus a,

7 COS a . i,' = 7, COS y. . i,", -+- 7., cos y. . g^

-f- 7, COS X .<,'•,, -(- 7| C(<s z . g^ -i- 7j cos 'y..g^.

.M;!is les points G'|, G'j. G',, G',, G', sont, daprè-i le premier alinéa, les centres de gravité des triangles O'A'B', O'B'C, O'C'D', O'D'E', O'E'.V, dont se compose la section [)ar le plan P, et 7, cosz, 7^cos>'., 7j(osa,

IC^G GfiOMÉTRIi; DANS l'eSPACE.

7j cos a, 7. cos « sont (706) les aires de ces iriangles prises avec le signe -4ou le signe — , suivant que ces triungles sont additifs ou soustraclifs. Donc la dernière relation. exprime que le point Gest le centre de gravité de la section oblique.

721. Le théorème correspondant sur les centres de gravité des périmètres des diverses sections planes d'un prisme n'est pas vrai. Les centres des périmètres des sections faites par une série de plans parallèles sont bien situés sur une même droite parallèle aux arêtes, mais cette droite se déplace lorsque l'inclinaison de la série des plans parallèles vient à changer.

THÉORÈME

722. Le volume (V un tronc de prisme quelconque est égal au produit de Vcdre de la section droite par la dislance des centres de gjxn'ité des deux bases.

Oans le cas où la section droite est l'une des deux, bases dn tronc, le théorème résulte immédiatement de ce qui a été dit aux n™ 716 et 720. En effet, on a vu au n° 716 qu'en désignant parV le volume d'un pareil tronc, par 7 l'aire de la section droite, et par g la parallèle aux arêtes du prisme menée par le centre de gravité de cette section droite jusqu'à l'antre base, on avait V = ,0^.7, et l'on sait, d'après le n° 720, que celte droite o- réunit les centres de gravité des deux bases.

Considérons actuellement un prisme dont les arêtes soient obliques sur Ips bases A'B'C'D'E' et A"B"C" D"E" [fig. 396). Désignons par V son volume, menons une section droite ABCDE au-dessus des deux bases, et appelons S, V, V" l'aire de cette section et les volumes des deux troncs compris entre cette section et chacune des deux bases primitives. Si l'on observe que les centres de gravité G, G', G" de la section droite et des deux bases sont sur une même parallèle aux arêtes, on a