MÉTHODE FONDÉE SUR LA PROJECTION CENTRALE

723. Quand deux figures planes sont la perspective (580) l'une do l'autre, certaines propriétés de la première figure conviennent encore à la seconde; on qualifie de pînjectives les propriétés qui se conservent ainsi en projection.

Toutes les i)ropriélés descri[)tives sont projectives; car, si plusieurs points sont en ligne droite, leurs projections sont en ligne droite, et, quand plusieurs droites concourent en un mèmt^ point, leurs projections passent par la projection de ce point.

Il n'en est pas de môme des relations métriques. Quelques-unes, comme la proportion liarmonique, sont projeclives; mais la plupart, mémo les plus simples, ne le sont pas. Ainsi, l'égalité entre les deux segments d'une ligne droite n'est projeclive que dans le cas très-particulier où il y a parallélisme, soit entre les projetantes, soit entre la droite considérée et sa projection.

Pour démontrer sur une Jl^ure donnée une propriété (pie l'on sait être projertive, il sujfit de prouver (pie la propriété a lieu pour l'une queljoinpic des jjriiieetions de cette fiirure. L'application de ce principe évident constitue un moyen de recherche connu sous le nom de méthode par projecticm, et qui est de beaucoup le plus fécond parmi les procédés (pu reposent sur l'intervention de la Géométrie de l'espace dans les ipieslions (le Géométrie plane.

128 GÉOMÉTKIE DANS l'eSÎPACE.

Toutefois, comme on ne fait ainsi que ramener un problème à un autre, il importe de choisir le centre et le plan de projection, de façon que la nouvelle figure offre des circonstances plus pro[)res à la recherche qu'on a en vue. Pour obtenir une projection plus simple que la figure proposée, on projette ordinairement celle-ci de telle sorte rpt'un de ses points ou une de ses droites passe à Vinfini dans la projection. Il suffît évidemment pour cela que le plan de projection soit parallèle, dans le premier cas à la projetante du point considéré, et dans le second cas au plan projetant de la droite qu'on veut rejeter à Tinfini. C'est ainsi (\\iun (ptadrilatère complet donne un parcdléloc^ramme , <juand on pj-ojette sur un phm parallèle a celui qui passe par le centre S de jjrojection et par l'une de ses trois diagonales ; et même, comme l'un des angles de ce parallélogramme est égal à celui sous lequel on voit du point S la diagonale considérée, on peut, par un choix convenable du centre S, donner au parallélogramme obtenu un angle de telle grandeur qu'on voudra (entre zéro et i8o degrés).

726. Nous allons appliquer la méthode par projection à trois théorèmes, déjà démontrés d'une autre manière (315,326, 327).

1° Dans un cpaulrilatère complet ABCDEK, chcupte diagonale AC est divisée liarmoniqucment par les deux autres BD et EF {fg. 206). En projetant de façon à rejeter la projection de EF à l'inlini, on obtient un parallélogramme <7^cf/ dans lequel la propriété énoncée est évidente; car la droite ne, étant rencontrée par bd en son milieu et par la troisième diagonale à l'infini, se trouve divisée harmoniquemeiit (333).

0° Quand deux triangles ABC, A'B'C sont tels que leurs côtés homologues se coupent deux à deux en trois points a, j3, y, situés en ligne droite, les droites qui joignent les sommets homologues concourent en un même point 0 [Jig. 211). En projetant la figure de façon que la projection de la droite rzôy passe à l'infini, on est ramené à démontrer la même propriété pour deux triangles abc, a'b' c' , ayant leurs côlés homologues parallèles; or, on sait que deux triangles de ce genre sont homolhéti(]ues (361 j.

3° Quand deux triangles ABC, A'B C sont tels que les droites qui joignent leurs sommets homologues concourent en un même point 0, les côtés homologues se coupent deux a deux en trois points x, [3, 7, situés en ligne droite [fig. 211). En projetant la ligure de façon que la droite qui joint les deux points y. et p ait sa projection à l'infini, on obtient deux triangles abc, a'b' c' , qui, comme les [iremiers, ont leurs sommets homologues situés sur des rayons issus d'un même point o (projection de 0), mais qui ont en outre deux couples cb et c b' , ca et c' a' de côtés homologues parallèles ; il suffit alors de prouver le parallélisme de ab et de a'b'.

Livnr VI. — LES FOf.vÈnnES, loo

Or, cela résulte de ce que le rapport de ou' à oa est égal à celui de ob' à o^, puisque chacun de ces rapports équivaut à celui de ne' à oc

727. Ces exemples suffisent pour faire comprendre l'esprit de la méthode, dont toute la portée n'apparaîtra d'ailleurs que lorsque nous traiterons des coniques.

Voici, pour terminer, une règle importante, qui permet de reconnaître à simple vue que certaines relations métriques sont projectives.

Une fraction , dont le numérateur et le dénominateur sont chacun le produit de facteurs exprimant de simples distances AB, CD, . . . , entre les divers points d'une ^figure plane, est prnjictive, si les mêmes lettres se retrouvent dans les facteurs linéaires ciui composent les deux termes, et si à cluupie distance appartenant à l'un des termes correspond dans l'autre terme une distance cjui S'jit sur la même droite c/ue la première.

En effet, soient A, B, C, D, ... les divers points d'une figure plane, et A', B', C, D', . . . les points correspondants de sa projection sur un autre plan. Désignons par a, b, c, d, . . . les longueurs des projetantes SA, SB, se, SD, . . . , et par p, cj, ... les distances du centre S de projection aux droites AB, CD, .... En égalant deux expressions bien con nues de l'aire du triangle SAB, on a

AB./> = rt.6.sinASB, d'où AB = — sinASB,

il l'on aurait de même

CD = — sinCbD,

Or, quand on substituera aux facteurs linéaires AB, CD, ... les valeurs ci-dessus, les quantilés a, b, . . . disparaîtront en vertu de la première condition, et il en sera de môme des quantités p, fj, . . ., en vertu de la deuxième hypothèse. Il ne restera d'. ne qu'une fraction qui se déduira de la proposée en y remplaçant chaque facteur AB. CD, . . . par le s.inus de l'angle sous lequel oti voit du point S chaque segment correspondant AB, CD, .... La valeur de la fraction considérée ne dépend donc que des valeurs des angles des projetantes, et nullement de la position du plan de

la figure ABCD , de sorte que la fraction composée de la même

manière avec les segments homologues A'B', CD', .,. de la ligure A'B'C'D', . . . aura la même valeur.

Cette proposition contient évidemment comme cas particulier celle du n° 3-20 , car l'expression