Exemple

Pour mesurer les liquides, on emploie des vases ayant la forme de cylindres de révolution dont la hauteur est double du diatnètre : calculer d'après cela les dimensions du litre.

La capacité du cylindre dont on demande la hauteur H esl 1 décimètre cube; en prenant le décimèlre pour unité de lon-

gueur, et en remarquant que le rayon du cylindre esl y» on a la relation

TtlD

ou — T— = I ;

on en déduit

GÉOMÉTRIE DA^S l'EsI'ACE.

Hm \/^ = «'''", 7^0.

Le Mire est donc un cylindre dont la hauteur a 172 millimètres, et dont le rayon a par suite 4^ millimètres.

§ n. — CONE DE RÉVOLUTION.

DÉFINITIONS

749. On appelle surface conique de révolution la surface engendrée par une droite GSG' tournant autour d'une droite fixe XSX' qu'elle rencontre en un point S, et à laquelle elle est invariablement liée [fig. 4o8).

Fig. 4o8<

La droite fixe XX' reçoit le nom d'«^e de la surface, et la droite mobile GG' celui de génératrice ou û'arête. Le point S, qu'on nomme sommet, divise la surface conique en deux parlies indéfinies qu'on appelle nappes.

Le lieu géométrique des droites qui, passant par un point donné S, font un angle donné a avec une droite donnée I>, est une surface conique de révolution ayant le point S pour sommet et pour axe la parallèle menée à D par le point S.

Un point quelconque A de la droite GG' décrit une circonférence dont le centre est sur l'axe, et dont le plan est perpendiculaire à l'axe (735 . Par suite, toutes les sections faites par des plans perpendiculaires à l'axe sont des circonférences

LITRE VII. — LES CORPS RONDS. l45

dont le lieu des centres est l'axe lui-niènie. Quant aux rayons OA.O'A' de ces cercles, la similitude des triangles SOA, SO' A.' prouve qu'ils sont proportionnels aux distances SO, SO' de leurs plans au sommet, ou encore aux portions correspondantes SA, SA' de la génératrice GSG'. Leurs aires sont donc proportionnelles aux carrés des mêmes lignes.

750 Considérons une droite fixe XSX', un plan P passant par un point S de cette droite, et désignons par a l'angle de la droite et du plan, c'est-à-dire l'angle aigu de la droite SX avec sa projection SA sur ce plan Jîg.^og). Par le point S, on peut mener dans le plan P (535; deux droites SB, SC, faisant avec SX un angle aigu donné o). Ces deux droites sont symétriques par rapport à AA'. Il en est ainsi tant que &> est supérieur à a; lorsque « devient égal ou inférieur à a, les deux droites se réduisent à la droite unique SA ou cessent d'exister.

D'après cela, un plan passant par le sommet d'une surface conique de révolution renferme deux génératrices de cette surface, ou une seule, ou enfin n'a de commun avec la surface que le sommet, suivant que l'inclinaison du plan sur l'axe est inférieure, égale ou supérieure à l'angle aigu de la génératrice avec l'axe, c'est-à-dire au cle/ni-ang/e nu sommet de la surface conique.

Fij. 409. Fig. 'fin.

Dans Iccas où le pUui doniK' n'a de commun avec la suiface qu'une seule génératrice SA (Jii^. 4'oj, on peut le coasi-

U. cl UE C. — Tr. dt Ccom. {\b Pailie). 1»

GÉOMÉTRIE DANS k'eSPACK.

dérer comme la position lim'iie d'un plan variable qui, passant par la génératrice fixe SA et par une génératrice voisine SA', tourne autour de SA jusqu'à ce que SA' vienne se confondre avec SA. On voit dès lors, par un raisonnement identique à celui qu'on a fait pour le cylindre (737), que ce plan renferme les tangentes AM, BN, . .. à toutes les courbes AA', BB',. . ., que l'on peut tracer sur la surface, aux points A, B, . . . , où la génératrice SA rencontre ces courbes. On donne à ce plan le nom de plan tangent suivant la génératrice SA.

La génératrice SA et la tangente à une courbe quelconque tracée sur la surface, au point où cette courbe rencontre SA, suffisent pour déterminer le plan tangent suivant cette géné^ ratrice. Si l'on choisit en particulier la tangente AM à une section AA' perpendiculaire à l'axe, on voit, comme pour le cylindre, que le plan tangent est perpendiculaire au plan déterminé par Vaxe et la génératrice de contact.

751. On nomme cône de i^votiition le corps engendré par la rotation d'un triangle rectangle SOA autour de l'un des côtés SO de l'angle droit SOA (Jig. 4i i ).

La surface conique engendrée par Thypoténuse SA est la surface latérale du cône; le cercle décrit par le côté OA est la base, la droite SO est la hauteur, et l'hypoténuse SA est le côté ou l'apothème de ce cône.

Fig. /|ii.

Fi(T. 4 12,

75*2. Si l'on coupe une surface conique de révolution [Jig. 4") P*"" deux plans AB^ A'B', perpendiculaires à l'axe