MTHE VII. — LES CORPS BONDS
761. Par le milieu A, ducôié AÂ' (%. ^t6\ menons un plan parallèle aux bases du tronc de cône; le rayon A.O, de la seclion circulaire déterminée par ce plan est parallèle (49o) aux rayons AO, A'O', des bases et, par suite ('i^33), égal à la demisomme de ces rayons. Donc la circonférence A, D, est la moyenne arithmétique des circonférences de base, et l'on peut dire que l'aire latérale d'un tronc de cône de réi'olation a pour mesure le produit de l'apothème par la circonférence équidistante des deux bases.
Ce dernier énoncé s'applique aussi au cylindre et au cône ; car la circonférence équidistante des bases est égale, dans le cylindre,, à celle de la base, et, dans le cône, à la moitié de celle de la base.
THÉORÈME
762. Le volume d'un cône de révolution a pour mesure le produit de sa base par le tiers de sa hauteur.
Le volume du cône est la limite des volumes des pyramides régulières inscrites dont le nombre des faces croît indéfiniment. D'après cela, soient V, B, H le volume du cône, l'aire de sa base el sa hauteur; soient v &\.b\e volume el l'aire de la base d'une pyramide régulière inscrite dans ce cône. On a (643)
Mais, lorsque le nombre des faces de la pyramide croît indéfiniment, V tend vers V et b vers B ; on a donc, à la limite,
Corollaires.
763. Si K est le rayon de la base du cône, on a B = r: K et, par suite.
On voit, comme au n" 747, que les volumes de deux cônes
iSît GÉOMÉTIUE DANS l'eSPACE.
de révolution semblables sont dans le rapport des cubes des hauteurs ou des rayons des bases.
764. Lorsqu'un rectangle ABCD tourne autour de l'un de ses côtés AB (^g-. 417), le triangle ABC engendre un cône
Fig. 417.
dont le volume est le tiers (7'to, 762) de celui du cylindre engendré par le rectangle ABCD. Par suite, le volume engendré en même temps par le triangle ADC est les deux tiers du même cylindre. Cette remarque nous sera utile plus tard.
THÉORÈME
765. Le volume d'un tronc de cône de révolution à bases parallèles est égal à la somme des volumes de trois cônes ayant pour hauteur commune la hauteur du tronc, et pour bases, le premier la base inférieure, le deuxième la base supérieure, et le troisième la moyenne proportionnelle entre les deux bases du tronc.
Considérons, comme au n" 759, im ironc de pyramide régulier inscrit dans le tronc de cône. Les volumes des deux pyramides dont ce tronc de pyranlide est la différence ayant respectivement pour limites les volumes des deux cônes dont le tronc de cône proposé est la différence, on aura le volume de ce tronc de cône en prenant la limite du volume du tronc de pyramide. D'après cela, soient V, b, B, H le volume, les bases et la hauteur du tronc de cône, i-,, 6,, B, le volume et fcs bases du tronc de pyramide inscrit; on aura (648)
v,^ .,-,'B, + ft, -f- v'H> b,)-
Mais, lorsque le nombre des faces du tronc de pyramide croît
LIVRK Vir. — LES CORPS RONDS. l53
indéfiniment, v, lend vers \ , 6, v(?rs h, B, vers B; ei l'on a, à la liiniie, la formule
dont l'énoncé ci-dessus n'est que la traduction en langage ordinaire.
Corollaires.
766. Si R est le rayon de la bise inférieure B, et /■ le rayon de la base supérieure b, on a B := - R% 6 == t: r-, et par suite
(i) V = ~^'*(R' + r^ + Br).
7ti7. Le raisonnement qui précède s'applique au tronc de seconde espèce; il faut seulement substituer le mot somme au mot différence et remarquer que, le tronc de pyramide inscrit correspondant étant de seconde espèce, le radical qui figure dans l'expression de c, doit avoir le signe — (630). On obtient ainsi, pour le volume du tronc de cône de seconde espèce, la formule
V="(B + é-v/BZ) = ^(R= + /^-Rr).
708. Parfois, dans la pratique, notamment pour le cuhage des troncs d'arbres non équarris, les bases ditïèreni assez peu pour qu'on puisse assimiler sans inconvénient le cône tronqué à un cylindre ayant pour hauteur la hauteur du tronc et pour base la section faite dans le tronc à égale distance des deux bases. L'erreur commise est d'ailleurs facile à évaluer; en retranchant le volume cylindrique
du cùne tronqué dont le volume est donné p:ir la formub? 'i , on trouve
L'erreur commise est donc égale au volume dun cône ayant
GÉOMÉTRIE DANS l'kSPACE.
pour hauteur la hauteur du tronc et pour rayon de sa base
la demi-difterence des rayons des bases du tronc.
Quand on veut appliquer la formule (2) au cubage d'un ironc
d'arbre, il convient de la préparer de la manière suivante :
soit C la longueur de la circonférence moyenne que l'on évalue
au moyen d'un cordon métrique; le rayon de cette circonfé-
rence sera - — et, par suite, le volume cherche
HP
Ainsi, supposons qu'on ait trouvé i'",8o pour la circonférence moyenne et 6'",ôo pour la hauteur, on aura pour le volume
769. La question ^u jaugeage des tonneaux se rattacheà la mesure du tronc de cône.
En considérant le tonneau [Jig. 4 18) comme la somme de deux troncs de cône identiques opposés par leur grande base, on aurait la formule
V=l7:H(R' + r'H-Rr),
dans laquelle H est la hauteur totale du double tronc, /■ le rayon
Fig. .I18.
du fond AA', et R le rayon de la grande base BB' à laquelle on donne le nom de bouge. Mais cette formule donne évi-
