Traité de géométrie. Géométrie plane

1 . Les objets tels qu’ils existent duns la nature , et ceux qui sont le produit de notre industrie, se nomment des corps ou solides; ainsi , un morceau de bois, une barre de fer, un arbre , une pierre , sont des corps.

2. L’espace occupé par un corps, est limité de toutes parts; mais l’espace en général doit être considéré comme infini.

3. La partie de l’espace , occupée par un corps , sc nomme son volume , et la limite de ce volume se nomme surface. Ainsi , la surface d’un corps sépare son volume de l’espace qui l’environne.

On donne encore le nom de surface à la limite qui , dans notre imatrination , sépare deux parties voisines de

GÉOMtTRlE.

l’espace , sans qu’il soit nécessaire de supposer ces parties occupées par des corps.

5. La limite qui sépare deux parties voisines d’une surface se nomme une ligne.

6. Le lieu de l’espace suivant lequel deux surfaces se rencontrent , est une ligne.

7. La direction , suivant laquelle on estime l’étendue , se nomme une dimension.

8. Toutes les questions relatives aux propriétés de l’espace, peuvent être résolues en ne considérant que trois directions principales , que l’ou nomme les dimensions de l’étendue, et que l’on désigne par les mots, longueur, largeur et profondeur. Cette dernière dimension est quelquefois nommée hauteur ou épaisseur.

9. La GÉOMÉTRIE a principalement pour but la recherche des relations qui existent entre les trois dimensions de l’étendue.

10. Un corps ou solide est étendu suivant trois dimensions , savoir : longueur, largeur, épaisseur.

1 1 . Une surface , n’a que deux dimensions : longueur et largeur.

12. Une ligne n’a qu’une dimension , que l’on nomme longueur.

13. Dans les corps ou solides , aucune des trois dimensions ne peut exister sans les deux autres, mais il est souvent utile de les considérer séparément; c’est ce qu’on appelle faire des abstractions.

Supposons , par exemple , que l’on veuille peindre la façade d’une maison , il est évident que pour calculer la quantité de couleur qui doit être employée , il ne sera pas nécessaire de connaître Yépaisteur des murs ; on pourra donc négliger celte dimension pour ne s’occuper que de l’étendue en surface.

INTROOOCTION.

Lorsqu’un homme doit entreprendre un voyage, il s’occupe principalement de la longueur de la roule qu’il doit parcourir, et ne s’inquiète pas de la largeur de celte route ou de l’épaisseur du pavé , il fait donc abstraction de la largeur et de Yépaisseur.

C’est ainsi que, souvent, l'on néglige quelques-unes des dimensions de l’étendue , pour ne s’occuper que de celles qui se rapportent à la question proposée.

■ II

14. Indépendamment de V étendue finie occupée par les corps, il est souvent utile d’étudier les propriétés de l’étendue infinie qui les entoure. De nouvelles définitions deviennent nécessaires pour atteindre ce but.

15. Quelque petit que soit un corps, il possède toujours les trois dimensions de l’étendue. Ainsi un grain de sable, un grain de poussière, sont étendus en longueur, largeur et épaisseur.

Si, par la pensée, nous supposons que ce corps diminue de volume , chacune de ses dimensions diminuera.

A mesure que les dimensions diminuent , le volume devient plus petit, et lorsque les trois dimensions sont réduites à zéro , le volume devient nul et le corps est réduit à un point.

16. On peut donc considérer le point comme la limite à laquelle parvient le volume d’un corps lorsque ses dimensions deviennent infiniment petites.

17. Le point na donc pas d’étendue. Le corps le plus petit que l’on puisse concevoir, est toujours plus grand qu’un point. Enfin , le point est le résultat auquel on parvient en faisant abstraction des trois dimensions de

GKÜAU.TRIf.

l'élenduc ; c'est une conception géométrique qui ne peut exister que dans notre imagination.

18. Si l’on suppose qu'un point se meut d’une manière quelconque dans l’espace, le chemin qu’il aura parcouru sera une ligne.

19. Le point n’nyant pas d’étendue , il s'ensuit que lu ligne no. peut ayoir ni largeurni épaisseur, elle n’a qu’une dimension nommée longueur, qui représente la roule parcourue par le point mobile.

20. Si le point générateur se détourne un peu à chaque instant, la ligne engendrée est une courbe; dans le cas contraire c’est une ligne droite.

21. On peut considérer la ligne droite comme la trace d’un point qui se meut de manière à se diriger toujours vers un seul et même point ; par conséquent la ligne droite est le plus court chemin d’un point à un autre.

22. Celte définition comprend le cas où les deux points dont il s’agit seraient infiniment éloignés. Alors, la droite qui joint ces points est elle-même infiniment longue.

La ligne droite peut donc être considérée de deux manières entièrement diflérentt s :

t° Elle est finie lorsqu’elle représente une distance ;

2“ Elle est ù/yînie lorsqu’elle exprime une direction.

11 est plus exact <le dire que toutes les lignes droites sont infinies , sauf à ne considérer dans chaque question que la portion de ligne droite dont on aura besoin. Ainsi ,

23. La droite est une ligne infinie, telle que la partie de cette ligne comprise entre deux quelconques de ses points, est plus courte que toute autre ligne qui joindrait l'un de ces points à l’autre.

II résulte de celle définition ;

INTSODt'CTlOd.

1’ Que pjir lieux points donnés on ne peut faire passer qu’une seule ligne droite;

2° Que par conséquent deux points donnés déterminent la position d’une droite.

24. Lorsque deux lignes passent par un même point, on dit qu’elles se rencontrent ou quelles se coupent , et le |)oint commun se nomme leur f/Kersectio/t.

25. Si deux lignes droites se rencontrent, et que l’on fasse mouvoir une troisième droite de manière qu’elle coupe toujours les deux premières , le lieu de l’espace qui contient toutes les posUions de la droite mobile se nomme un plan , donc :

26. Le plan est le lieu qui contient toutes les positions que peut prendre une droite assujettie à s’appuyer constamment sur deux droites immobiles qui se rencontrent.

La droite mobile se nomme génératrice , et les deux droites sur lesquelles elle s’appuie se nomment directrices.

27. Ces. deux dernières lignes étant données, il est évident que la position du plan sera connue. C’est pourquoi on dit que deux lignes qui se coupent déterminent la position du plan.

Trois points déterminent aussi la position d’un plan , puisqu’on joignant ces points deux à deux., par trois droites, on pourrait toujours considérer deux quelconques de ces droites comme directrices du plan.

28. Il résulte encore de la définition précédente, qu’un plan est une surface sur laquelle une ligne droite peut être appliquée dans tous les sens.

Par conséquent une ligne droite ne peut être en partie dans un plan et en partie en dehors de ce plan.

29. La ligne droite étant infinie, il s’ensuit que tous les plans sont essentiellement infinis.

30. La ligne droite n’est infinie qu’en longueur, tandis que le plan est infini en longueur ei largeur.

31. Toute combinaison de lignes tracées dans un plan est une figure plane.

32. Lorsque les quantités que l'on considère sont toutes comprises dans un même plan, on dit que la question appartient à la géométrie plane ou à deux dimensions. Dans le cas contraire elle dépend de la géométrie à trois dimensions ou dans l’espace.

33. Nous allons commencer par étudier les questions qui dépendent de la géométrie plane. Mais, avant de passer aux démonstrations des principes, je dois donner l’explication de quelques termes employés dans le langage géométrique.

31^. Axiome est une vérité tellement évidente qu’elle n'a pas besoin de démonstration.

33. Théorème est une vérité qui ne devient évidente qu’au moyen d’une démonstration.

36. Corollsdre est une vérité qui résulte si évidemment d’une autre vérité que l’on vient d’établir, qu’elle n’a pas besoin d’une démonstration particulière.

L’ensemble des axiomes, théorèmes et corollaires, compose ce qu’on appelle la théorie.

37. Problème est une question à résoudre , c’est une application de la théorie.

38. H 3 rpotbè>e est une supposition faite, soit dans l’énoncé d’un théorème, soit dans le courant de la démonstration.

39. Béoiproqne est l’inverse d’une proposition précédemment énoncée , c’est-à-dire que la conséquence est

INTHODUGTIOK..

admise comme hypolhèse , tandis que l’hypothèse à son tour devient la conséquence.

40. Notation. Les signes employés sont les mêmes que dans l’algèbre , et se prononcent de la même manière.

41. Les lettres majuscules placées sur les figures, représentent des extrémités ou des intersections de lignes, et n’ont par conséquent aucune valeur par elles- mêmes.

Pour désigner la droite qui joint deux points A et B on écrit AB, ce qui par conséquent ne signifie pas, comme dans l’algèbre , le produit de A par B.

Pour exprimer le carré dont le côté est AB, on écrira — a

AB , et , dans ce cas , la barre qui précède l’exposant 2 ne doit pas être prise pour le signe moins.

Dans les formules, on emploie les petites lettres pour exprimer les quantitè.s. Ainsi, on représentera souvent par une petite lettre la longueur de la portion de ligne droite comprise entre deux points.

42. Le nombre placé en tête, et du côté opposé au numéro de chaque page , indique la planche. Les numéros des figures sont indiqués dans le texte , et les nombres placés seuls, entre parenthèses, sont des renvois aux articles.

Le numéro de chaque article est au commencement de l’alinéa.

Axiomes.

43. Deux quantités égales à une troisième sont égales entre elles.

44. Le tout est plus grand que chacune de ses parties. 45- Le tout est égal à la somme de ses parties.

46 . Deux figures sont égales , lorsqu en plaçant l'une d'elles sur l’autre, elles se confondent dans tous leurs points. On dit alors quelles coincident.

47 . Lorsqu’une quantité ne peut être ni plus grande ni plus petite qu’une autre quantité , elle lui est nécessairement égale.

Lorsque la première quantité ne peut être égale à la seconde ni plus grande quelle , elle est plus petite.

Enfin , si la première quantité ne peut être égale à la seconde , ni plus petite quelle , elle est plus grande.

■ 48 . Une hypothèse est fausse lorsque sa conséquence est absurde.