BAN = 2. MAC

2,MAC = AOZM.

Ajoutant et réduisant , on a (2) AIRN=AOZM.

Ajoutant cette dernière équation avec l’équation (1), on obtient

BC V AIRK = ÂC V ÂÎB — AIRN ,

doù BC'= ÂcV ÂB — 2AIRN,

et par conséquent

a? =, b* c* — 2èx.

707. En appliquant un raisonnement analogue à la fig. 10, on obtiendra la formule

n* = + c’ 2ix.

Il suffira de remplacer partout le signe — par le signe +, et de retrancher l’équation (2) de l’équation (1), au lieu de les ajouter.

708. Nous avons exprimé par x la distance comprise entre le pied de la perpendiculaire et le sommet de l’angle que l’on considère, parce que dans les applications cette quantité est presque toujours inconnue.

709. Remarque. Fig. 8. Au lieu du terme Ibx, on peut écrire 2ej'. Dans ce cas, y serait la distance entre le sommet de l’angle A et le pied de la perpendiculaire CI abaissée sur le côté AB = c.

Cela résulte évidemment de la démonstration du numéro 70G, mais on peut encore y parvenir de la manière suivante : les deux triangles BDA , CDI , sont semblables , puisqu’ils sont rectangles et qu’ils ont l’angle A

PL. 18. APPLICATION DE l’aLGÈDHE.

commun; donc, en comparant les côtés homologues , on aura

AC : AB :: AI : AD , ou b c y. y •. X -,

donc hx = cy,

et par conséquent 2ôx = 2cy.

710. Dicciusion. On peut facilement mettre en évidence toutes les relations qui se rattachent à la question précédente. Il suffit, pour cela , de discuter les formules obte- , nues, afin de reconnaître les modifications qu’elles éprouvent lorsque l’on fait varier les quantités dont elles dépendent. Pour cela, reprenons la formule a’ = ô* -}- c’ ■ — 2ÔX.

Supposons, y/gf. 9, que l’on fasse mouvoir le sommet de l’angle B sur la demi-circonférence décrite du point A , comme centre avec un rayon AB = c.

Lorsque l’angle A se fermera, la perpendiculaire h deviendra h'-, le segment x, et par conséquent le terme ’ibx, augmenteront de valeur; d’où il résulte que la valeur de a* diminuera : ce qui est conforme au théorème (132).

Lorsque l’angle A sera très-petit, la perpendiculaire sera très-courte, et le segment x sera très-près d’étre égal au côté AB = c.

Enfin il est évident que si l’angle A se fermait entièrement, la perpendiculaire se réduirait à zéro, le segment x deviendrait égal au côté c, et la formule serait a* = ô’ -j- c* — 2ÔC ; d’où a*=(ô — c)*;

ce qui donne a = (b — c).

Or, on -pourra déduire <le là

et l’un (les ciÊtés étant égal à la somme des deux autres, le triangle aurait cessé d’exister.

Si nous revenons au triangle donné ABC, et que nous augmentions l’ouverture de l’angle A, la perpendiculaire se rapprochera du point A, le segment x, et par conséquent le terme 2bx diminueront, et la valeur de a* augmentera.

Lorsque l’angle A vaudra 90° , la perpendiculaire h" viendra se confondre avec le côté AB, et le segment x étant réduit à zéro, la formule deviendra

d’où a* = ô*-|-c*. (703)

Si nous continuons à faire tourner le côté AB, l’angle A devient obtus, la perpendiculaire h"’ passe à gauche du point A , ce que l’on exprime algébriquement en changeant le signe du segment x, qui devient alors négatif.

Dans ce cas, la formule devient

fl’ = ô* -|- c’ — 2ô X — X ; d’où a* = ô’ -(- c’ 2ÔX.

Si l’angle A devenait très-grand, et qu’il fùl près de valoir 180°, la perpendiculaire serait très-courte, et le segment X très-près d’être égal au côté AB = c.

Enfin, si l’angle A valait 180°, la perpendiculaire serait encore une fois réduite à zéro, le segment x serait égal à c, et la formule deviendrait

a’ = ô* -|- c’ -|- 2ÔC ; d’où o’ = (ô c)’ ;

ce qui donne a = ô -j- c.

Alors le côté a étant égal à la somme des deux autres, le triangle cesserait d’exister.

711. En résumant, on reconnaît que la formule a‘ = b' c’ — 2b.r

APPLICATION DE l’algèbre.

exprime toutes les relnlions qui existent entre les trois côtés d’un triangle ABC , quelles que soient les modifications de forme résultant de l’augmentation ou de la diminution de l’angle A.

712. Pour mieux fixer les idées, on a rassemblé toutes les hypothèses dans le tableau suivant.