OA' = OA
ce qui ne peut avoir lieu que si les deux points A' et A" coïncident avec le point A.
716. Théorème. Fig. 11. Désignons par h la perpendiculaire abaissée du point A, et par A', la perpendiculaire du point B; les deux triangles ACD , BCK seront semblables, et l'on aura la proportion AD ; BK AC: BC;
d’où
ce qui donne et par conséquent
h h' y. b : a -, ah = bh ,
bj^
En exprimant par A" la perpendiculaire abaissée du point G , on aurait également • ah ch"
D’où il résulte que, pour calculer la surjace d’un triangle, on peut prendre pour base le côté que l’on veut.
717. Théorème. Fig. 11. Désignons paras et paroles deux segments déterminés sur le côté a par la perpendiculaire abaissée du point A; le triangle rectangle ADB donnera
A* as* = c*.
Le triangle rectangle ADC donne A* = A’ ;
ajoutant et réduisant, on a
as* -j- A’ =/* -f- c*, doù jr* — ^* = c’ — A*.
APPLICATION DE l’aLGÈBRE.
Ainsi , la différence des quartés des deux segments déterminés par la perpendiculaire , est égale à la différence des quarrés des côtés adjacents.
718. Le corollaire du numéro 638 est évidemment un cas particulier du principe qui vient d’être démontré.
719. Si l’on décompose en facteurs le premier membre de l’équation que nous venons d’obtenir, on a (702)
mais X y = a.
Divisant la première équation par la seconde , on obtient
ajoutant cçl te équation avec celle qui précède, on a
qui devient successivement
2ax = a’ -|- c’ — b*
= a* -j- c* — 2ax.
Ce dernier résultat n’est autre chose que le théorème des numéros 704, 706.
Cette concordance prouve l'exactitude des transforma-^ tions par lesquelles nous avons passé.
720. Théorème. Fig. 11. Désignons par A, h\ h!' les perpendiculaires abaissées sur les côtés a, b, e d’un triangle ; exprimons ensuite par x el y les deux segments du côté a; par x' et y les deux segments du côté b; enCn, par x" et y" les deux segments du côté c, nous aurons (717)
njoutnntet réduisant, on aura
d’où X* + “t" — 7* ~{~y'
Ainsi , la somme des quarrés des trois segments à gauche des perpendiculaires , est égale à la somme des quarrés des trois segments à droite.
721. Tbéorème. Fig. 11. La similitude des triangles âDB, BIC donne la proportion
La similitude des triangles ÂDC , BKG donne x' y :: a : b ;
enfin, la similitude des triangles BÂK, GAI donne . x" : y' :: b c.
Les proportions précédentes conduisent aux trois équations
ax = cy", bx' = ay, ex" = by' ;
multipliant et réduisant , on obtient xx'od' =yy'y'’.
Ainsi , le produit des trois segments à gauche des perpendiculaires est égal au produit des trois segments à droite.
722. Tbéorème. Fig. 15. Désignons par lila droite AO qui joint le point A avec le milieu du côté opposé, que nous nommerons 2« , et par x le segment OH compris entre le point O et le pied de la perpendiculaire AH , nous aurons par le théorème (704)
Âc"= ÂôV CO — 2CO X OH ;
APPLICATION I1E L ALTAF.imii.
ou, ce (]ui est la même chose ,
mais, dans le trianule AOB , l’ansle en O élaiit ohlus, on aura (705)
ÂB*= /\Ô*+ ÔB*4- 20B X OH, tjui devient
(2) c* = + u' + 2ux ;
ajoutant l’équation (I) avec (2), et réduisant, on obtient
/,* -f c» = 2d* + 2it*,
c’est-à-dire que la somme des qitarrcs des côtés adjacents à l’angle du sommet, est égale à deux J'ois lequarré de la moitié de la base, plus deux fois le quarré de la droite, qui joint le sommet avec le milieu de la base.
723. Théorème- Fig- 10. Dési^mons part/, d, d' les droites qui joignent les trois sommets d’un triantrle avec les milieux des côtés opposés a, b, c; exprimons :
Par U, la moitié du côté a ;
Par /I , la moitié du côté b;
Par O, la moitié du côté c;
Nous aurons (722)
ô* -f- c* = 2rP -j- 2«* rt* -1- c’ = 2</’* -f- 2n* rt‘ -I- = 2d'* -f 2v* ;
ajoutant et réduisant , on aura
2rt‘ -h 2Ô‘ 2c’ = Üd'- 2rZ* -f 2fZ"* + 2«’ -f-
« l par conséquent
( l) a* 4- ô’ -f c’ = fZ’ + fZ'* -f d ' 4 4 4 F,
OFOMETRIE plane.
abc
rn.'iis «=— ;n=—;i' = — ;
et pnr conséquent
ajoutant les équations (1) et ( 2 ), on aura
flî 4. 4- 1»
a* -I- i* + c* = + rh + d"' + ^ ^ ,
qui, après foutes réductions, «levient
Ainsi trois fois ta somme, des quarrés des côtés d'un triangle est égal à quatre Jois la somme des quarrés des droites qui joignent les sommets awee les milieux des côtés opposés.
72i. Théorème. Fig. 14. Les côtés opposés d’un parallélofçramn e étant égaux , on peut employer la même lettre a pour désigner chacun des côtés AD, BC, et la lettre h pour les côtés AB, CD.
De plus , les diagonales se coupant en parties égales, nous exprimerons AG par 2«, et BD par 2»^.
Ces notations étant admises, le triangle ABC donnera
