AB + BC*= 2 .\Ô + 2BÔ

qui devient, en substituant les notations ci-dessus,

a* 4 4 Sl»’ ;

multipliant le tout par 2 , on aura

SOLUTIOM GRAPHK.}UL DES PROBLÈMES.

<[ue l’on peut écrire île la manière suivanle ;

a* + A’ + a* + = (2u)’ + (2e)’ = AC + BÜ.

Par conséquent , la somme des q narrés des quatre côtés d’un parallélogramme est égale à la somme des quarrés des deux diagonales .

CHAPITRK II.

Solution graphique des problèmes .

725. Considérations irénérales. L^i soi u lion d’un problème de géométrie dépend ordinairement de certaines opérations de calcul ou de compas. Si les opérations ;i l'aire sont les conséquences directes des relations qui c\islenl entre les quantités données et celles que l’on cherche, il suffit de découvrir le théorème qui exprime ces relations ; c’est le cas de la plus grande partie des problèmes résolus dans les livres précédents.

Mais, il arrive souvent que le théorème qui contient les relations géométriques énoncées dans la question , n’est pas celui qui donne les moyens d’exécuter les opérations. Ainsi, par exemple, il est possible que les conditions auxquelles l’inconnue doit satisfaire, dépendent d’un théorème du troisième ou du quatrième livre, tandis que les opérations h effectuer seraient la conséi|uence d’un tbéo-

2f)0 Gf.OMÉTKtE Pl.ANE. PL. 18.

rème du second livre ou du premier. C’est :dors que l’aij^èbre sera d’un granil secours

En effet, si l'on exprime par une formule, les relations géométriques qui doivent exister entre l’inconnue et les quantités données, les transformations algébriques conduiront toujours directement, et sans hésitation, au théorème que l’on doit appliquer pour obtenir l’inconnue; et cela, quel que soit le mode de solution que l’on devra emjiloyer; c’est-à-dire, que si l’on veut résoudre la question par le calcul , l’algèbre dira quelles sont les opérations d’arillimétiqüe à effectuer; et si l’on préfère employer la règle et le compas , l’algèbre dira également, quand il faudra construire une perpendiculaire , une parallèle , ou décrire une circonférence de cercle.

Nous allons étudier d’abord les constructions graphiques, et dans le chapitre suivant nous verrons lessolutions par le calcul.

72G. Définitions. Pour appli<|uer l’algèbre à la solution d’un problème de géoiiiétrie, il faut

1° Exprimer par une ou plusieurs équations les conditions auxquelles l’inconnue doit satisfaire ;

2° Hé~soudre ces équations ;

3“ Effectuer les opérations de calcul ou de compas indiquées par les signes.

La traduction dans le langage algébrique, dépend de la question qu’il s’agit de résoudre , et l’on devra s’exercer à cette étude par la solution d’un grand nombre de problèmes.

La manière de résoudre les équations est siilfisamment développée dans les traités d’algèbre.

CONSTRUCTION DES FORMULES

Nous devons donc, avnnt d’aller plus loin , nous occuper de l’interprétalion des formules.

727. Dans tout ce qui va suivre, nous supposerons que les quantités désignées par a, b, c, d, etc. , sont de.s lignes droites.

728. Nous savons déjà (a/g;è6/e) que toute expression de la forme a° représente l’unité , parce qu’on peut toujours

supposer qu’elle provient de — .