SO : SA :: OH : AK

Or, si nous exprimons les rayons OH, AK par R et r, et la distance AO par d , la proportion précédente deviendra (fif x) : X R ; /■,

d’où Rx = /• -f- ,r),

qui, étant résolue, donne

Cette formule exprime une quatrième proportionnelle que l’on peut obtenir de plusieurs manières, et la construction que nous avons donnée au numéro 330 peut être considérée comme l’une des plus simples; en effet, on a évidemment, ^g-. 2, pl. 8,

OM = R— /•; AK = /-; OK = d, et la similitude des deux triangles MOA, KAS donne la proportion OM : AK :: OA : AS,

d’où (R — r) ; rf c X, ‘

GÉOHKTIUE PLANE.

cl pnr conséquent ~j'

Pour construire les t.ingen tes internes, on déterminern le point S',/ig. 8, pl. 20.

Pour cela, désignons par j la distance AS' ; la similitude des triangles ONS', AUS' donnera

OS' : AS' :: ON : AU, d’où jd — y) \y :: R: r,

et par conséquent = R (rf — y), qui, étant résolue, donne

/ dr

Cette formule conduit à la construction du numéro 331 , Jig. 3, pl. 8, car la similitude des triangles MOA, KAS donne la proportion

OM : AK :: AO : AS, d’où (R -1- r) : /■ :: d :j.

et par conséquent ^ =

790. Disenasion- Fig. 8, Pl, 20. Il résulte du calcul prédent que

dr dr

AS = X = 5 , et que AS' = r = — •

Si le plus grand des deux cercles augmentait, les dénominateurs R — r et R -f- r augmenteraient tous les deux, et les valeurs de x et de diminueraient, d’où il faut conconclure que les deux points S et S' s’approcheraient du ])oint A.

Si au contraire on diminuait le grand cercle, les points S et S' s’éloigneraient.

Des effets analogues auraient lieu si l’on augmentait ou si l’on diminuait le rayon du petit cercle ; mais, la lettre r cx'istant en même temps dans les deux termes des fractions

Pt. 20.

SOLUTIONS GRAPHIQUES

qui eEpriineol les valeurs de x et dej^, la relation que nous venons d’énoncer n’est plus aussi apparente.

Pour mettre cette Relation en évidence, on divisera les deux termes de chaque fraction par r, et l’on aura

On reconnaît alors que les valeurs de jmetdey augmentent ou diminuent lorsque l’on augmente ou lorsqu’on diminue r.

On arriverait aux mêmes résultats en cherchant les distances des points Set S' au centre du grand cercle.

En effet, représentons ces distances par x' et y' , nous aurons

JC' = OS = OA -f AS = rf Y = OS'=OA — AS' = rf-

riR

Il résulte de ces formules que si l’on augmente r, la valeur de x* augmentera, quej)^' diminuera, et que les deux points Set S' s’éloigneront du point A, tandis qu’au contraire, si le rayon r diminue, x' diminuera, y' augmentera, et les points S et S' se rapprocheront du point A.

Si les deux cercles étaient égaux, on aurait R = /•, ce qui donnerait

dr dr ^ cfR ^/R

valeurs 'infinies qui indiquent que les tangentes externes seraient parallèles (70).

On aurait encore

, <iR d ^ 2R ~ 2’

C’est-à-dire que les tangentes internes couperaient la ligne des centres au milieu de AO.

Si le rayon du petit cercle était égal à zéro, on aurait

rfR

Par conséquent, les tangentes externes se confondraient avec les tangentes internes, et les quatre tangentes passeraient par le point A, que l’on pourrait, dans ce cas, considérer comme un cercle dont le rayon serait égal à zéro.

Si les deux cercles donnés se rapprochaient, le facteur d diminuerait, et les points S et S' se rapprocheraient.

Si l’on avait e? = R -j- r, on aurait

Les deux tangentes internes se réduiraient à une seule perpendiculaire à la droite AO.

Si l’on avait

< R -4- /•, on aurait -js— ; — < 1 ,

d’où y <i'' ; y' < R-

Les tangentes internes seraient alors impossibles, carilest évident que le point S' ne peut pas être situé dans l’intérieur des cercles donnés, comme sembleraient l’indiquer les valeurs de^ et de y'.

Si l’on avait = R — r, on aurait

et lesdeux tangentes externes se réduiraient à une seule perpendiculaire sur la droite AO.