PL. SI

SOLUTIONS GRSPIUQUES.

Enfin < R — r donnerait < 1,

d’où X a r or' <C R,

et les tangentes externes seraient impossibles.

791. problème. Construire un quarré , connaissant l'excès de la diagonale sur le côté.

Solation. Fig- 1, PI- 21. Exprimons par x le côté AB du quarré demandé, et par a la dillérence du coté a la diagonale; cette dernière ligne AG sera x + a.

Le triangle ABC étant rectangle, on aura

ÂC = ÂB + BC!

qui devient (x a)’ = x* 4* x*.

Cette équation résolue donnera

X = a dz 2n*.

Négligeons pour un moment la valeur négative , et nommons x’ celle que l’on obtient en prenant le radical avec le signe +, nous aurons

X* = a 4- V/2aV

Constrnctlon. On fera KH = 2a ; on décrira la demicirconférence KSH, et l’on tracera le myon AS perpendiculaire sur KH. Cette première opération donnera

HS = \/KH X AH = Via X a = V'^.

Du point H comme centre, on décrira l’arc SB, ce qui donnera

AB = AH 4-HB = AH4-HS=a4- \/^= x.

Ainsi, le quarré ABCD devra satisfaire aux conditions du problème. L’exactitude des opérations sera vérifiée si l’arc BI, décrit du point C comme centre, est tangent à

l’arc IH, car il est évident que AI = AH = a, sera la diliérence entre la diagonale AC et le côté CB ou AB.

792. On peut désirer savoir ce que l’on obtiendrait si l’on prenait le radical avec le signe — ; pour le découvrir, exprimons par od' \n seconde valeur de l’inconnue; nous

aurons x" = a — V 2a* = — ( — a 2d*)-

La grandeur absolue de cette quantité sera évidemment AB = B'H — AH = — AH + HS = — a + etlequarré AB'C'D' satisfera encore à la question; mais d’une manière indirecte. En effet, la valeur absolue de x'' étant précédée du signe — , il s’ensuit que l'on a x" = AB',

et par conséquent — x" = AB'.

Or, si l'on ajoute AC' de chaque côté, on aura AG' — X" = AC' + AB' = AC' + C'D' = AC' + C'D " = = AD" = AK=a.

Desorte que, pour le quarré AB'C'D', la quantité donnée a serait la somme du côté et de la diagonale, ce qui est conforme au principe de la soustraction algébrique, puisque la valeur négative du côté AB' doit prendre le signe + lorsqu’on la retranche de la diagonale AC'.

793. Problème. Construire un rectangle, connaissant sa surface et son périmètre .

solution. 2. Exprimons par ale côtéPN du quarré équivalent à la surface du rectangle demandé, par b la droite HK égale au périmètre ou contour, par x la base et par^ la hauteur de ce rectangle. La surface sera xy, et le contour 2x + 2y ; ce qui donnera les équations xy = a*.

SOLUTIONS GRAPHIQUES

La première équation donne

Cette valeur, étant substituée dans la deuxième équa lion, donne après toutes réductions

Constmction. Sur la droite CB = décrira la demi-circonférence CM’B, on tracera la droite MM' parallèle à CB, et telleque l’on ail AM' = PM = a. On aura

AO = OM' — AM' = — — a*,

et par conséquent

AB = BO-fAO= --fy/ =

On aura de plus

AC = CO-AO = --\/ --a*=x".

Ainsi, les deux segments déterminés sur le diamètre parla perpendiculaire AM' = a, sont précisément les deux valeurs de l’inconnue x.

Ces deux quantités , positives toutes les deux , satisfont également aux conditions du problème, et nous devons conclure de laque l’on peut prendre celle que l’on veut pour base du rectangle demandé.

Cela provient de ce que dans un rectangle on pent prendre indifléremnient la base pour la hauteur, et réciproquement; ce que l’algèbre nous apprend en nous donnant pour la base deux valeurs différentes; et, quelle que soit celle des deux valeurs rie x que l’on adoptera pour la base du rectangle demandé, la seconde valeur de x représentera la hauteur.

Cette dernière relation peut être facilement mise en évidence en substituant les valeurs précédentes dans l’une des deux équations (1), ce qui donnera

et qui, au contraire, donnera

On peut vériGer l’exactitude du résultat que nous venons d’obtenir en multipliant l’une des deux valeurs dex par l’autre, ce qui donnera

et si l’on fait la somme de x' et de x'', il viendra

par conséquent 2x' -j- 2x" = b.

Ainsi la surface du rectangle x'x" = a’, et le périmètre = A, comme cela était exigé par la question.

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SOLUrlON3 GRAPHIQUES.

D’ailleurs, il résulte évidemment de la figure, que

= AB X AC = ÂM' = a*.

et puisque le diamètre CB = -, on a

2o:'+2x"=2.AB4-2.AC = 2(AB+AC) = 2CB = 2X-=i.