Corollaire I. Tout point tel que U , pris en dehors

de la perpendiculaire CD, est inégalement éloigné des deux points A et B, car si l’on conçoit les droites AU, UB, DB , ou aura (138j : DB = AD;

Mais UB<DU + DB.

Ajoutant et réduisant, il restera :

UB<AD + DU; d’où UB < AU.

142. Cor. II. Toutes les fois que deux points D, H, seront à égale distance de deux autres A, B, la droite qui joindra les premiers points sera perpendiculaire au milieu de celle qui joint les deux derniers.

143. Théorème. Fig- 4. Deux triangles sont égaux lorsqu’ils ont un angle égal compris entre deux côtés égaux chacun à chacun.

Démonstration. Soit AB = DE, AC=DF, et l’angle A = D. Transportons le côté AB sur son égal DE , l’angle A étant égal à l’angle D, le côté AC prendra la direction DF, et ces deux côtés étant égaux , le point C tombera sur le point F. De plus, BC coïncidera exactement avec EF, puisque d’un point à un autre on ne peut mener qu’une

seule ligne droite. Ainsi , l’angle B = E , l’angle C=F, et le côté BC = EF.

ikk. Remarque. En général, lorsqu’on a démontré l’égalité de deux figures on peut en conclure l’égalité de toutes les parties correspondantes ou homologues.

On nomme angles ou côtés homologues , les angles ou les côtés placés de la même manière dans les deux figures ; ainsi, parexemple, les côtés opposés ou adjacents aux angles égaux , les angles opposés ou adjacents aux côtés égaux.

Xllf.

1^5. Théorème. Fig- h. Deux triangles sont égaux lorsqu’ils ont un côté égal adjacent a deux angles égaux chacun à chacun.

Démonstration. Soit le côté AB = DE , l’angle A = D , et l’angle B = E. Transportons le côté AB sur son égal DE; l’angle A étant égal à l’angle D , le côté AC prendra la direction DF et le point C tombera quelque part sur DF ; mais , l’angle B étant égal à l’angle E, le côté BC jirendra la direction EF, et le point C tombera sur EF. Or, le point C devant se trouver en même temps sur les deux droites EF et DF, ne pourra tomber qu’au point F suiv.mt lequel ces deux lignes se coupent. Les deux triangles seront donc égaux, par conséquent BC='EF, AC = DF, et l’angle

lli6. Théorème. Fig. It. Deux triangles sont égaux lorsqu’ils ont les trois côtés égaux chacun à chacun.

Démonstration. Soit les côtés AB , AC , BC , égaux aux côtés ED , DF, EF-; si l’angle A était plus petit que D, on aurait (133) BC < EF ; ce qui n’est pas , donc l’angle A n’est pas plus petit que D. Si l’angle A était plus grand

POLYGONES

([ue D , on aurait BC >■ EF ; ce c|ui n’est pas , donc l’angle A nest pas plus grand que D. Or, l’angle A n’étant pas plus petit ni plus grand que D , il lui est égal , et les deux triangles sont égaux (14-3) ; d’où l’on pourra conclure que l’angle B = E , et que l’angle C = F.

14.7. Théorème. Fig. 5. Les côtés opposés d'un parallélogramme sont égaux , ainsi que les angles opposés.

Démonstration. Si l’on conçoit la diagonale AC , les deux triangles ABC, ACD, seront égaux (145), car ils auront le côté commun AC, l’angle BAC = ACD comme alternes-internes (102), et l’angle ACB = CAD par la même raison; donc le côté AD = BC, le côté AB = CD, l*’angle ADC = CBA, et l’angle BAD, composé des deux angles BAC -f- CAD, est égal à l’angle BCD , composé des deux angles BCA -j- ACD.

Il est d’ailleurs facile de voir que les angles opposés du parallélogramme sont égaux comme ayant les côtés parallèles (87).

148. Corollaire I. Fig. 5. Deux parallèles AB, CD, comprises entre deux autres parallèles sont égales.

149. Cor. II. Fig. 6. Toutes les perjtendiculaires AB, CD , EF, tracées où l’on voudra entre deux parallèles, sont égales. Par conséquent, deux parallèles sont partout à égale distance l’une de l’autre; et lorsqu’on dit que deux parallèles se rencontrent à l’injini, cela signifie que leur distance devient infiniment petite , relativement à leur immense longueur.

150. Théorème. 5. Lorsque les côtés opposés d’un quadrilatère sont égaux , ils sont parallèles , et la figure est un parallélogramme .

Démonstration. Si l’on conçoit la diagonale AC , les deux triangles ABC, CDA, seront égaux comme ayant les trois côtés égaux chacun à chacun , donc l’angle

DAC = ACB = PCM ;

d’où l’on peut conclure que les deux droites AD , BP, sont parallèles , puisqu’elles font des angles égaux avec la sécante AM.

On reconnaîtra de même que le côté AB est parallèle à CD.

131. Tbéorème. Fig. 3. Si deux droites AD, BC, sont égales et parallèles , le quadrilatère , que l’on formera en traçant les droites BA., CD, sera un parallélogramme.

Démonstration. Si l’on conçoit la diagonale AC, les deux triangles ABC , CAD , seront égaux comme ayant un angle égal DAC = ACB, compris entre deux côtés égaux chacun à chacun, savoir AD = BC, puis AC commun; donc l’angle ABC = ADC, mais les droites AD, BC, étant parallèles, on a ADC = DCP, comme alternes-internes.

Ajoutant les deux équations et réduisant, il restera ABC = DCP, par conséquent les droites AB , DC , sont parallèles puisqu’elles font des angles égaux avec la çécante BP.

132. Tbéorème. Les deux diagonales d’un parallélogramme se coupent en parties égales.

Démonstration. Fig. 7. On a AB = CD, comme côtés opposés d’un parallélogramme. Déplus, l’angleBAO=OCD comme alternes-internes , et l’angle ABO = ODC par la même raison; donc les deux triangles ABO , COD , sont égaux (143). Par conséquent on aura BO = OD et AO = OC.

tL. 3-

POLYGONES

153. Corollaire. Fig. 8. Si le quadrilatère est, un losange , c’est-à-dire si les quatre côtés sont égaux , les diagonales se coupent à angles droits (H2).

154. Théorème. Fig. 9. Dans tout polygone régulier il existe un point situé à égale distance de tous les sommets : ce point se nomme le centre du polygone.

Démonstration. Les droites BO, CO, qui partagent en deux parties égales les angles ABC , BCD , ne sont pas parallèles, car chacun des angles OBG, BCO, étant évidemment plus petit qu’un angle droit, leur somme est plus petite que deux angles droits.

Les deux droites BO, CO, n’étant pas parallèles, se rencontrent au point O, et le triangle OBC est isocèle puisque l’angle OBC, moitié de ABC, est égal à l’angle BCO , moitié de BCD.

Si actuellement on conçoit la droite OD, le triangle OCD sera égal au triangle OBC, car ils ont le côté OC commun, le côté BC =CO , comme côtés d’un polygone régulier, et, de plus, l’angle BCO= OCD ; donc OD sera égal à OB.

On démontrerait de la même manière que les droites OH, OK, OS, sont égales à OB , d’où il résulte que le point O est à égale distance de tous les sommets du polygone.

155. Corollaire. Tous les angles BOC , COD , DOH , sont égaux entre eux, par conséquent chacun d’eux est égal à quatre angles droits, divisés par le nombre des côtés du polygone. Ainsi , par exemple, dans un polygone régu-

lier de 14 côtés , l’angle au centre vaudrait — = - ■

156. Théorème. Si le nombre des côtés <tun polygone régulier est pair, les côtés opposés seront parallèles.

cioMÉTRIB PLANE.

D4moiutratlon. Fig. 9. La somme des angles formés an point O , et d’un même côté de la ligne KOB , vaut évidemment la moitié de quatre angles droits, par conséquent les trois points K , O , B , sont en ligne droite , mais les angles ABO, OKH, sont égaux , comme appartenant à des triangles égaux ; donc les droites AB, KH, sont parallèles.