AC
Le demi-cercle AU C a pour rayon ~ ~2‘
face entière du cercle vaudra it x ( "tt ) =
demi-cercle AU'C =
Enfin le demi -cercle BOAUC , ayant pour rayon RP
, la surface du cercle entier sera
/3\/6tY 9X6l7 t
d’où il résulte que le demi-cercle
BOAUC =
382 GÉOMÉTlllE PLANE. PL, 23.
De plus le triangle BAC étant rectangle en A , sa surface est égale à
BAxAC 18x15 2 = 2 ^ 15= 135.
Or, on a évidemment pour la surface demandée SurJ". (AO'BO -|- AU’GU) = demi~cercle ABO' -(demi-cercle tr iangle ABC — demi-cercle BOA UC .
Remplaçant toutes ces quantités par leurs valeurs trouvées précédemment , on obtient
81r^2257T, SWt:
5«;/. (AO'BO -f AU'CU) = ^ 3247T 4- 225 t: — 549tc
8 ' 8 135 = 135 mètres quarrés.
886. Corollaire. On peut se proposer comme exercice, de prouver que la somme des deux croissants AO'BO -j-AU'Cü est toujours égale à la surface du triangle rectangle ABC , quelle que soit la valeur des côtés de ce triangle.
887. Problème. Fig. 17. Sur chacun des côtés d'un hexagone régulier, on décrit une demi-circonférence dont la corwexité est tournée du côté du centre de thexagone -, on demande de calculer l’étendue de la surface A comprise entre toutes ces courbes. On sait que le côté de l’hexagone vaut 8 mètres.
solation. L’angle OÜB, moitié de OUI, vaut le tiers de deux angles droits. L’angle OBU = OUB; donc l’angle UOB, supplément de la somme des deux angles OUB 4- UBO , vaudra pareillement le tiers de deux angles droits.
Il résulte de là, que les triangles UOB, BOC, COS sont
équilatéraux , et l’on a par conséquent BC = OB = OU 4 mètres. Or, les cordes BC, CD, DE, etc. , forment un liexagone régulier BCDEH K dont le côté BC=OB = li. mètres , ce qui donnera , en opérant comme au numéro 821,
Sur/. BCDEHK = 24\/3.
Le secteur OBMC vaut le sixième du cercle qui a pour rayon OU = 4, ce qui donne
on a de plus (820)
Tn. OBC=— — =kV3, d’où
Segm. BMC = sect. OBMC — tri. ABC = — — 4 1^3 =
Multipliant par 6 , on aura pour les six segments égaux à BMC
Mais la surface demandée se compose évidemment de l’hexagone BCDEHK moins six segments, tels que BMC, on aura donc
Surf. A=BCDEHK — 6.BMC= 24\/3 — 8(271— 3l^3)=
= ie(3\/3 — 7 t) = 32"'>,87.
888. Corollaire. Fig. 18. Si l’on prenait pour centres les sommets de l’hexagone donné, les arcs de cercle ne se couperaient plus, et la surface demandée serait égal h l’hexagone total , moins six secteurs tels que OBMC. Or, chacun de ces secteurs vaut le tiers d’un cercle qui aurait pour rayon 4 mètres, de sorte que 1 on aura
Sect. OBMC = — .
et les six secteurs vaudront ensemble
De plus, en opérant comme au numéro 821 , ou aura Surf, de l’hexagone = 96|/§.
Ainsi on trouvera
Surf. A' = hexagone — six secteurs = 96^3 — 327t =
Il est assez remarquable, que la surface A' est exactement le double de la surface A , que nous avons obtenue pour le problème précédent. On pourra s’exercer à chercher une démonstration générale de cette propriété.
889. problème. Fig. 19. Le diamètre AB d’un cercle vaut 10 mètres ; on demande quelle doit être la position du point C , pour que la surface du cercle soit partagée dans le rapport des nombres 2 et 3 par l’ensemble des deux demi-circonférences AOC , CUB.
Solution. Si nous exprimons la quantité AC par x, nous aurons CB = 10 — x ;
AI, moitié de AC, vaudra - , et la surface du demi-cer-
1 A ttAI 7t X .r* 7TX*
de AUC sera—— = = -7— .
BH, moitié de BC, sera égal à — , et la surface du
demi-cercle BUC sera
:tBH 7r(10 — .r)’ 7 t( 10 — x)’
Pt. 23.
FOBMUttS CÉNÊRALES.
Le diamètre du cercle donné étant égal à 10 , son rayDn est égal à 5. La surface entière ttR* est égale an X' 25 ou 25ît, et chacun des demi-cercles ADB, AEB est égal à
On aura donc
Sur/". AT>BHCO= demi-cercle ADB — demi-cercle AOC = 25n 7IX* 7t(100 — X*)
On aura également
Sur/". AICIJB^ = demi-cercle AEB — demi-cercle BUC =
Mais, pour satisfaire aux conditions du problème, on doit avoir
(AOC + AICUBE) ; (BUC + ADBHCO) 2 : 3,
qui devient
3{AOC + AICUBE) = 2(BUC + ADBHCO) ; remplaçant chaque terme par sa valeur trouvée précédemment, on obtient l’équation
X = k mètres.
890. Corollaire. On peut se proposer pour exercices, de prouver ({ue les «leux surfaces AEBUCO, ADBUCO seront toujours entre elles comme AC : CB.qnellequesoitla position du point C sur le diamètre AC.
Ainsi, par exemple, fig, 20, si AC est le tiers du diamètre AB, la surface AEBUCO sera le tiers du «-ercle entier, et si les trois parties AC , CC' et CB sont égales entre
GtOMÉTRIC PLANE.
Pt. 23.
elles, la surface du cercle sera partagée en trois parties égales par les courbes à deux centres AOCUB, AO'C'Ü'B.
Formules générales.
891. Définitions. Si la question proposée est de nature à se répéter souvent dans les applications, il ne sera pas nécessaire de recommencer les raisonnements pour chaque exemple particulier. Il suffira de représenter les quantités connues par des lettres; dans ce cas, les équations que l’on obtient sont dites littérales et les expressions algébriques des inconnues se nomment des formules.
Ainsi , une formule est l’expression des opérations de calcul ou de compas que l’on doit faire pour obtenir la valeur de l’inconnue.
892. Une formule peut être transformée d’une infinité de manières, et l’on doit s’appliquer surtout à choisir, parmi les formes que l’on peut faire subir à la valeur de l’inconnue , celle qui conduit aux opérations les plus simples. En général , on doit tâcher de diminuer le nombre des termes et des facteurs; il faut chercher à éviter les divisions et les extractions de racines, et faire tout ce qui est possible pour décomposer la formule en facteurs du premier degré , afin de pouvoir employer les logarithmes au calcul de l’inconnue; quelques exemples éclairciront ce qui précède.
893. Problème- Le côté d’un triangle équilatéral étant a , on demande l’expression de la surface que nous désignerons par S.
rL. 22 . FOHMVLES GÉNÉRALES. 387
Solution- Fig. 7, PI. 22. Soit ABC le triangle proposé, si l’on conçoit la perpendiouLiire AD , on aura
BC X AD
exprimant AD par h, on obtient
mais le triangle rectangle A BD donne
Âd'“= ÂB^— bd’
cette dernière équation étant résolue, on obtient
qui, étant portée dans l'équation (1) , donne ,, «*\/3
Applicatioiis. Si l’on fait a = 12, on aura
lU J/3
qui devient
si l’on fait a = 11» , on aura
résultat conforme à celui que nous avons obtenu au numéro 820.
Corollaire. Si Ion multiplie la formule précédente par 6 , on aura
qui exprime la surface de Vhexagoue régulier en fonction du côté.
Pt 22.
89& . Problème. Soit b la base et a le côté oblique d’un triangle isocèle; on demande la surface.
solution. Fig. S, PI. 22. On aura
^ BC X AD bb
mais le triangle rectangle ABD donne la relation
AD =AB — BD
qui devient
d’où
cette valeur étant substituée dans celle de S, on obtient
Le binôme 4a* — 6’ exprimant la dilFérence de deux quarrés, on peut le décomposer in facteurs du premier degré (702), ce qui donne
Cette dernière transformation permet d’employer les logarithmes: ainsi, on aura
.... .. , . , log.(2a + b)+log.[ia — b) , ,
(4) log. S= log. b -1 log. 4.
Applications. Soit a = 24 et ô = 15 , on aura 2a -1- è = 48 -t- 15 = 63 ,
2a ô= 48 — 15 = 33, et la formule (3) donnera
