Cor. III. La corde AH, fig. 11, n’étant autre chose

(jue la partie de la sécante comprise dans le cercle, il en résulte qu’au moment où les deux points de section se réunissent , la corde se réduit à zéro et devient un point de contact. Ainsi le point de contact peut être considéré comme la plus petite corde que l’on peut tracer dans le cercle.

183. Théorème. Fig. 16. La droite OG , perpendiculaire au milieu d’une corde AB , doit paner par le centre du cercle et par le milieu de l’arc ACB.

Démonstration. On a OA=;OB, comme rayon d’un même cercle, par conséquent le centre O appartient ù la perpendiculaire au milieu de AB (11^0) ; de plus, le point G appartenant à la perpendiculaire élevé par le milieu de AB , on a la corde AC = CB ; donc les arcs sous-tendus sont égaux et le point C est le milieu de l’arc ACB.

184. Corollaire I. Les rayons OA , OB , étant égaux , le triangle AOB est isocèle , et la perpendiculaire, abaissée du centre O , doit passer par le point H , milieu de la corde (129).

185. cor II. Fig. 11. Si l’on fait mouvoir la droite VU parallèlement à elle-même, en l’éloignant du centre O, les deux points C , C', se rapprocheront, et la corde CG' diminuera de longueur sans cesser d’étre perpendiculaire à la droite OC". Lorsque les deux points de section seront réunis , la droite V"ü" sera une tangente (169) et la perpendiculaire OC" sera un rayon ; d’où 1 on peut conclure que la tangente est toujours perpendiculaire à l'extrémité du rayon.

186. Cor. III. Toute droite , telle que V' U", perpendiculaire à l’extrémité du rayon , est une tangente à la cirronférence; car toute oblique telle que OH, sera plus

CUCONFÉRENCE.

longue que la perpendiculaire OG". Par conséquent, à l’exception de G", tous les points de la droite V"U" seront en dehors du cercle.

187. Théorème. Fig. 17. Lorsque deux droites parallèles AB , GD , rencontrent une circonférence, les arcs interceptés AG , BD sont égaux.

Démonstratlen. Goncevous le rayon OH perpendiculaire sur AB, et par conséquent sur GD, on aura (183, 181^) l’arc AH « BH ;

mais on a également GH = DH.

Retranchant la seconde équation de la première , on obtient AH — GH = BH — DH ;

d’où . ACîsïBD.

Si le centre est situé entre les deux parallèles AB , EF, on pourra concevoir un diamètre KS , parallèle aux deux lignes dcmnées ; alors on aura EK =s FS ,