Théorème. Les angles droits sont tous égaux entre eux
Démonstration. Si l’on transporte la fig. 3 sur la fig. k, en plaçant la droite GD sur PQ, et faisant coïncider le point E avec F, il est évident que la perpendiculaire AB doit se confondre avec la perpendiculaire MN ; car, supposons, pour un instant, que AB, prenne une position telle que VS , on aurait l’angle droit PFV plus grand que l’angle droit VFQ , ce qui serait contraire à la définition du u” 5&r.
60. Théorème. Fig. 5. Lorsqu'une ligne droite DB vient aboutir en un point d’une autre droite AG , elle fait avec celle-ci deux angles adjacents , ABD , DBG, dont la somme est égale a deux angles droits.
Démonstration. Goucevons la droite BE perpendiculaire sur AG , on aura :
l’angle obtus ABD = 1 angle droit -|- EBD , l’angle aigu DBG = 1 angle droit — EBD.
Ajoutant et réduisant il viendra :
ABD -|- DBG = 2 angles droits.
litoMt-Hic plam:.
61. corollaire I. Le supplément d’un iingle est s.i diilérenceavec deux angles droits. Par coiiséquent l’angle ABD est le supplément de DBG , et l’angle DBG est le supplément de ABD.
Si l'un des deux angles est droit, son supplément le sera pareillement.
62. Cor- II. Fig. 6. Tous les angles consécutifs h.^0 OBH , HBI ,eic., formés au point B , et d’un même côté de la droite AG , valent ensemble deux angles droits , quelque soit leur nombre; car leur somme est égale à celle des deux angles droits ABD , DBG.
63. Cor. III. Fig. 7. Tous les angles formés autour d’un point A, valent ensemble quatre angles droits, quel que soit leur nombre ; car leur somme est égale à celle des quatre angles droits formés par les deux droites BG, DE.
6i. Théorème. Fig. 8. Si deux angles adjacents ABC, GBD , valent ensemble deux angles droits , les côtés extérieurs AB , BD , seront en ligne droite.
Démonstration. Supposons que BE soit le prolongement de AB , on aurait alors (60) ;
ABC -f- CBE = 2 angles droits.
Mais on a par l’énoncé ;
ABC -f- GBD = 2 angles droits.
Retranchant La seconde équation de la première , et faisant la réduction , on aurait :
CBE — CBD= 0; d’où CBE = GBD ,
c’est-à-dire que la partie serait égale au tout, ce qui est absurde (litV). Par conséquent (48) le prolongement de AB , ne peut pas être situé au-dessous de BD ; on démontrerait
I>ARAL[.j;LES.
de la même manière qu’il ne peut pas être au dessus; il l'aut donc que ce prolongement soit BD.
Go Théorème. Lorsque deux droites se coupent, les angles opposés par le sommet sont égaux.
Démonstration. Fig. 2. La ligne ED étant droite, on .'I (00) : EAB + BAD = 2 angles droits.
I^a ligne BO étant droite , on a :
^ CAD + BAD = 2 angles droits
Retranclianl l’une des équations de l’autre et réduisant, on a : EAB — CAD = 0 ;
d’où EAB = CAD.
On démontrerait de même que l’angle BAD = EAC.
06. Corollaire. Si l'un des quatre angles est droit, iig. 3 , les trois autres le seront également.
Parallèles.
67. Définitions. Fig. 9. Si deux droites AB, AC, sont rencontrées par une troisième droite BC , les intersections de ces droites , deux à deux , déterminent trois points A , B, C, dont chacun est le sommet commun à quatre angles.
68. Si l’on fait tourner la droite AC ,^g. 10 , autour du point A, et qu’on lui fasse prendre les positions AC, AC", AC'", le point d’intersection de la droite mobile avec BC , glissera sur cette dernière ligne en s’éloignant du point B.
Par suite de ce mouvement, l’angle CAB passant par tous les étals de grandeurs, deviendra successivement C'AB, C'AB , etc., et lorsqu’on aura l’angle C"'AB égal à l’angle
C"BF, les (leux droites C"'A, C 'B, seront parallèles. Ainsi,
69. deux droites ronr paradlèles lorsqu en les coupant par une troisième droite , à laquelle on donne le nom de sécante, elles sont également inclinées et du même côté par rapport à cette dernière ligne.
70. Les droites AC'", BC", étant infinies (23); elles n'ont pas dû cesser de se rencontrer, jusqu’au moment où la droite mobile est arrivée dans la position AC'". Ainsi , le point d’intersection , s’est éloigné jusqu’à Vinfini. C’est pourquoi on considère souvent les parallèles comme des droites qui se rencontrent infiniment loin. Ce qui , au surplus, revient à dire qu’elles ne se rencontrent pas.
71. La droite mobile AC s’appuyant toujours sur les deux droites AB , BC", il en résulte que ces trois lignes sont dans un même plan (25).
Ce plan peut être engendré par la ligue ËF glissant sur les deux droites AC'", BC", qui alors seraient les directrices du plan.
72. Il résulte de là que deux parallèles déterminent la position d!un plan.
73. Si , après le moment où la droite mobile AC est parvenu dans la position AC'", on continue à la faire tourner dans le même sens , le point d’intersection se reporte sur le prolongement de BC".
74. En général , lorsque deux droites , situées dans un même plan , ne sont pas parallèles , on peut toujours admettre qu’elles se rencontrent.
75. Définitions. La combinaison de deux lignes parallèles coupées par une sécante, établit entre ces trois lignes des relations importantes qu’il faut étudier avec beaucoup d’attention.
