Corollaire. On conclura de ce qui précède

1° Que deux angles internes-externes sont égaux ;

2“ Que deux angles allernes-internes sont égau.v ;

3'* Que deux angles alternes e.xlernes sont égau.r.

81. Théorème. Fig. li. Lorsque deux lignes sont parallèles , la somme des angles intérieurs d'un même côté de la sécante vaut deux angles droits.

Démonstration. On a , par la définition des parallèles ; CAB = DBF ;

mais on .sait (60) que

ABD + DBF = 2 angles droits.

Ajoutant ces équations et réduisant on aura :

CAB+ ABD = 2 angles droits.

82. Corollaire. On démontrerait de même que les angles EAC -)- DBF, valent ensemble deu.x angles droits.

83. Théorème. Fig. 12. Si deux droites AC , BD , sont perpendiculaires à une troisième droite EF, elles seront parallèles.

Démonstration. Les angles CAB, DBF, sont égaux comme angles droits (59) , par conséquent les droites CA ,

PAKALLÈLES.

BD, sont parallèles puis(j[i’el!c.s l'ont tles angles égaux avec la sécante EF (69).

8V. Ckirollalre. Fig. 13. Une perpendiculaire AB et U7ie oblique CD, n’étant pas également inclinées sur la sécante, ne sont pas parallèles , et doivent par conséquent se rencontrer.

85. Théorème. Fig. 12. Si deux droites AG , BD, sont parallèles, toute ligne^Y perpendiculaire sur l’ une d’ elles , doit aussi être perpendiculaire sur Vautre.

Démonstration. Les angles CAB, DBF, étant égaux, par la défin'tion des jiarallèles, si l’un de ces anglès est droit, il faut que le second le soit aussi.

86. Théorème. Fig. 14. Deux droites AB, CiD , parallèles a une troisième droite EF, sont parallèles entr-c elles.

Démonstration. Concevons la sécante GU, les deux droites AB , EF étant parallèles , on a :

l’angle GHB = KLF ;

les droites AB, CD, étant parallèles , on a : l’angle HKD = GHB.

Ajoutant ces équations et réduisant , on obtient :

HKD = KLF,

donc les droites CD, EF, sont parallèles, puisqu’elles font des angles égaux avec Gü.

87. Théorème. Fig. 15. Deux angles ABO , OEF, qui ont les côtés parallèles sont égaler.

Démonstration. On a ;

ABO = DOC , comme internes-ex ternes ,

DOC = OEF, par la même raison.

Ajoutant et réduisant , on aura : ABO = OEF.

Pour démontrer l’égalité des angles ABO, FEO,//g:. 16 , on dira : .

ABO = BOD, comme alternes-inlernes ,

BOD = FEO, comme iulernes-externes.

Ajoutant on aura : ABO = FEO.

88. Remarque. Le théorème qui vient d’étre démontré n’est vrai que si les deux angles comparés sont aigus tous les deux, ou tous les deux obtus ; mais, silj auait un angle aigu et un angle obtus , leur somme vaudrait deux angles droits.

Démonstration. Fig. 17. On a :

ABC = EOB, comme internes-externes,

EOB = FEO, comme alternes-internes , FEO-f-DEF = 2 angles droits.

Ajoutant les trois équations et réduisant, on aura : ABC -j- DEF = 2 angles droits.

89. Théorème. Deux angles , DEF,yig^. 18, sont égaux lorsqu'ils ont les côtés perpendiculaires chacun à chacun.

Démonstration. Concevons l’angle GEH, dont les côtés seraient parallèles à ceux de l’angle ABC, et par conséquent perpendiculaires aux côtés correspondants de l’angle DEF, on aura , par le théorème précédent :