Oor. III. L’angle BAÜ,^g. 14, étant égal à - ri’ang/tf

droit, il s’ensuit que l’angle BAC, moitié de BAD , vaut ^ d'angle adroit. Ainsi, on sait pattager l'angle

droit en cinq parties égales.

452. Cor. IV. Fig. 16. Si l’on fuit la corde BH égal au rayon du cercle on aura (292)

l’arc BH = - de circonférence.

Si l’on fait la corde BD égal au plus grand segment du r.ayon partagé en moyenne et extrême raison, on aura (447)

l’arc BD •= ^ de circonférence.

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PROBLÈMES

Retrancb.'inl l.i secontle é(|uation de la première , on

aura arc DH = arc BH — arc BD = ( g —

= ~de circonférence ,

et, par conséc|uent, la corde DH sera le côté du pentédàcagone régulier inscrit.

! On remarquera jen même temps , que l’arc DH vaut les deux tiers de l’arc BD, sçus~tendu par < le côté du décagone régulier inscrit. ' . i '

Construction des figures semblables.

JÉ53. Oonsidératlonc générales. La construction d’une figure semblable à une autre, est l’un des problèmes les plus itn|)orlnnls de l’application des mathématiques.

Ën ellet, nous avons dit que la géométrie avait pour but la recherebedes relations qui existent entre les dimensions de l’étendue; mais, pour comparer plus facilement ces dimensions, il faut avoir un moyen de les représenter ; on pourrait bien désigner par des nombres les rapports de grandeur qui existent entre les figures que l’on compare; mais, lorsque ces figures sont très-nombreuses ou trèscomposées, il est nécessaire d’employer le dessin pour en exprimer tous les détails. Or, .si l’on veut représenter l’ensemble d’un monument, d'une machine, etc. , il faut que la grandeur du dessin n’excède pas les limites ordinaires d’une feuille de papier, et que cependant, toutes les parties représentées conservent entre elles les rapports qu’elles doivent avoir après l’exécution.

Ainsi , les nombreux dessins qu’un ingénieur doit tracer pour étudier son projet , ne sont autres choses que des Ggures semblables aux parties correspondantes de l'objet qu’il veut faire construire.

Ce qu’on appelle ordinairement les plans d'un bâtiment, dun jardin, dun parc, sont des Ggures semblables aux divers polygones formés par les murs du bâtiment, par les allées ou par les routes qui traversent le parc ou le jardin dans toutes leurs directions. ^

Les globes, les cartes de géographie, sont des Ggures semblitbies à celles qui , sur la surface de la terre , résultent de la position relative des villes, des montagnes ou des vallées , de la direction des routes , des rivières ou des côtes , etc.

Cet exposé rapide suffit pour faire comprendre l’importance que doit acquérir par la suite la construction des Ggures semblables , et pour engager le lecteur à étudier avec soin tout ce qui se rapporte à cette intéressante question.

Problème. Construire un triangle semblable à un autre triangle donne.

Chacun des théorèmes démontrés aux numéros 384 , 391 et 394 , donne le moyen de résoudre la question proposée. Ainsi,

455. l'" solntlon. On pourra faire deux angles du nouveau triangle égaux chacun à chacun à deux angles du triangle donné.

456. solution. On pourra faire les côtés du nouveau triangle parallèles ou perpendiculaires aux côtés du triangle donné.

457. a' solution. On pourra faire un angle égal compris entre deux côtés ]>roportionnels chacun à chacun.

PL. t2. PROBLÈMES. 139

458. 4* Solation. On pourra faire les trois côtés pro- ]iorlionnels chacun à cb.acun.

Problème. Construire un polygone semblable à un autre polygone donné.

La question revient évidemment

1" A décomposer le polygone donné en triangles ;

2° A Construire un triangle semblable à chacun de ceux qui composent le polygone donné , en ayant soin que tous ces nouveaux triangles soient placés de la même manière que ceux qui composent le premier polygone, et que les côtés homologues soient entre eux dans le même rapport.

400. résolution. Fig. 1, PI. 12. Le polygone donné étant ABCDH, on veut construire un polygone semblable, et tel que les côtés soient entre eux comme AB ; ab :

1° On fera l’angle coô = CAB, et l’angle aie = ABC, le triangle abc sera semblable au triangle ABC (385) ;

2° On fera l’angle dac = DAC et l’angle acd = ACD , le deuxième triangle acd sera semblable au triangle ACD;

3° Enfin , on fera le triangle adh semblable au triangle ADH , et les deux polygones seront semblables comme étant composés d’un même nombre de triangles semblables chacun à chacun et semblablement placés.

461. 2* Solation. Fig. 3. Si le polygone demandé abedh, et le polygone donné ABCDH doivent être situés dans le même plan , et que le côté donné ab soit parallèle à son homologue AB , on tracera les deux droites'Aa, Bô, et l’on prolongera ces deux lignes jusqu’à ce qu’elles se rencontrent en S.

On joindra le point S avec tous les autres sommets du polygone donné, et l’on mènera successivement les droites ab, bc, cd, etc., parallèles aux droites AB, BC, CD, etc.

CrOMÉTRlE PLANE.

Les deux polygones abcdh, ABCDH, seront semblables, carie parallélisme des droites ai, AB, donnera la proportion ab : AB ;; Si : SB ;

mais te parallélisme des droites bc , BG, donnera Si : SB ic : BC;

on aura donc , à cause du rapport commun , ai : AB ic : BC ; et, continuant de la même manière,

:: cd : CD :: dh : DH.

Ainsi , les deux polygones ABCDH , abcdli , ont les cités proportionnels. De plus , ils ont les angles égaux par suite du parallélisme des côtés , donc il y a similitude.

462. 3« golntlon. Fig. 1. Si le côté donné Ai', du polygone demandé devait coïncider avec son homologue AB , et que ces deux côtés eussent en A une extrémité commune, l’opération serait encore plus simple. Ainsi, on tracerait successivement les droites i'c', c'<f, d'h', parallèles aux côtés BC, CD, DH, et le polygone Ab'c'dh' serait évidemment semblable au polygone ABCDH.

463. Bemarqne- Les deux solutions précédentes sont exactes en théorie; mais, dans la pratique, elles ne sont pas infaillibles. En effet, si l'on a fait une erreur dans la construction du premier triangle abc,Jig. 1, celte erreur, quelque petite qu’on la suppose , devra se combiner avec l’erreur provenant de la construction du second triangle , et cette double erreur se combinant avec une troisième , il en résulterait une erreur finale considérable, surtout si l’on doit construire ainsi un grand nombre de triangles consécutifs, et si les erreurs sont toutes dans le même sens, ce qui arrive souvent lorsqu’elles dépendent de l’im- ])erfeclion des instruments.

Les mêmes reproches peuvent être adressés aux solutions deuxième et troisième, dans lesquelles la position de

PROBLÈMES

chaque côlé est détermibé par la position du côté précédent.

En général, on doit chercher autant que possible à rendre les constructions successives indépendantes les unes des autres, et l'on y parviendra en opérant de la manière suivante ;