solation. Fig. 2. On tracera, dans le plan du

polygone donné , une droite quelconque AB ; puis on décrira la droite ab sur la feuille destinée à la figure que l’on veut construire. Les deux droites AB, ab, se nomment éasesAomo/og-ues , et leur rapport doit être dpnué par la question. ! - ~ ,

On construira successivement les triangles abc, abd,' abh, abm et abn, semblables aux triangles ABC, ABD, ABH, ABM et ABN.

On tracera ensuite les droites cr/, dh, mn, et le polygone acdhbnm scT» semblable au polygone ACOHBNM; car les sommets et les rôlés de ces deux polygones seront évidemment des points et des lignes homologues par rapport aux deux droites AB, ab (412).

465. Les triangles (|ui déterminent les positions des sommets c, d, k, m, n, éUmt indépendants les uns des autres, il est évident que les erreurs ne se combineront plus; malgré cela il pourra rester encore quelque incertitude sur la véritable position de quelques points déterminés par la rencontre de lignes qui se couperaient trop obliquement.

Dans ce cas on peut vérifier ces points en cherchant leurs distances à d’autres points dont la position est bien connue. Ainsi, par exemple, pour obtenir la longueur du côté ah, Jig. 2, on cherchera le quatrième terme de la proportion AB ! nô AH : aA.

Pour obtenir bh on fesa

AB î ab :: BH : bh.

Pour obtenir AD on fera

AB : ab \ : AD : ad,

et ainsi île suite. On voit que cela revient à construire autant de quatrièmes proportionnelles que l’on veut avoir de côtés, et par conséquent il suffit de répéter autant de fois l’opération que nous avons indiqué au numéro kk'"!.

4G6. Les deux bases homologues AB et ab peuvent être prises où l'oii veut , et même en dehors des Ggures.

On peut employer comme bases deux quelconques des côtés homologues, et dans tous les cas il faut les choisir de manière que les triangles nécessaires pour déterminer * les points homologues, se rapprochent autant que possible de la forme du triangle équilatéral, afin d’éviter les intersections trop aiguës.

467. Les proportions desquelles dépendent les côtés cherchés ayant toutes le même rapport, on peut simplifier le travail en opérant de la manière suivante :

On fera un angle quelconque XAor.^g. 10. Sur les côtés de cet angle , on portera les deux droites données AB, oô , de la Jig. 2, puis on tracera Bô.

Si actuellement on porte sur AX une ligne quelconque du polygone ACDHBNM , il suffira , pour obtenir son homologue sur Aar, de tracer une parallèle a la droite Bô.

Ainsi, les [larties AC, AD, AM, de la droite AX, Jig 10, étant égales aux côtés AG, AD, AM, du polygone ACDHBNM,yîg. 2, on obtiendra ,Jig. 10, Ac, Ad, Am, pour les longueurs des côtés ac , ad , am , du polygone acdhbnm , fig. 2. *

468. 5* Solntlon. Fig. !i. On tracera les deux droites AX , ax : la première , dans le plan du polygone donné ; la seconde, dans le plan du polygone demandé.

On abaissera les-perpendicujiiires BA , CP, H-Q, etc. Chacune de ces lignes se nomme une ordonnée. Ainsi , la

Ijy GoOgU-

PL. 12. PROBLÈMES. 143

perpendiculaire BÂ est l’ordonnée du point B , lu perpendiculaire CP est l’ordonnée du point C , et ainsi de suite.

Les distances AP, AQ , AM, sont les abscisses des points C , H , D. Ainsi l’abscisse d’un point est la distance du pied de son ordonnée au point A , que l’on nomme l’origine des coordonnées.

Ces conventions étant admises, il ne reste plus, pour construire le polygone bcdh semblable au polygone donné BCDH , qu’à faire les abscisses et les ordonnées du second polygone proportionnelles aux abscisses et ordonnées du premier.

On construira comme précédemment 10, un angle quelconque sur l’un des côtés duquel on portera toutes les abscisses et ordonnées du polygone BCDH , puis on tracera des parallèles suivant la direction déterminée par le rapport qui doit exister entre les côtés homologues des deux figures , et l’on obtiendra , sur le deuxième côté de l’angle auxiliaire , toutes les abscisses et ordonnées du polygone demandé.

469. 6* Solution. Fig. 4. Si les deux figures doivent être situées dans le même plan , on pourra opérer de la manière suivante :

1° On tracera les deux drôites AX , AY, perpendiculaires l’une à l’autre ;

2° On construira la droite ax parallèle à AX, et la droite ay parallèle à AY ;

3° Par cha<|ue point de la figure donnée , on abaissera deux perpendiculaires : l’une sur AX , l’autre sur AY. Les perpendiculaires abaissées sur AX seront les ordonnées, et les perpendiculaires sur AY seront les abscisses des différents points de la âgure donnée;

3° L’abscisse ap étant déterminée par le rapport qui doit exister entre les parties homologues des deux figures ,

Digiti^ed by Cooglc

Ci;OMKTRlE PLANE.

on tracera les deux droites, fixi , ï'p , que l’on prolongera jusqu’à ce qu’elles se rencontrent au point S ;

4’ On Joindra le point S avec les pieds des abscisses et des ordonnées de la première figure par des droites , et les points où ces droites rencontreront les deux lignes ax, aj, seront les pieds des abscisses et ordonnées de la figure demandée.

Les points S ,fi§. 3 et 4 , et le point A ,fig. 1, se nomment centres de similitude.

470. 7* Solation. Le nombre immense de lignes courbes et contournées dans tous les sens, qui représentent les cours d'eau , les côtes , les sinuosités, du terrain, ne permet pas d’appliquer les méthodes précédentes au dessin des cartes de géographie.

Dans ce cas, on construit , 8, un assez grand

nombre de petits carrés pour couvrir entièrement la figure donnée, puis on trace le même nombre de carrés sur la feuille destinée au dessin que l’on veut faire. Les côtés de ces carrés doivent être entre eux comme les lignes ou côtés homologues des deux figures.

On construit ensuite, à vue d’œil dans chacun des carrés de la deuxième Ggure , toutes les lignes semblables à celles qui existent dans le carré correspondant de la Ggure donnée.

Il est évident que l’exactitude du résultat dépendra du nombre des carrés des deux Ggures.

471. Le moyen que nous venons d’indiquer sert également pour réduire ou agrandir proportionnellement toute espèce de Ggures, tels que paysage, ornements, tableaux , gravures , etc.

PROBLÈMES

472. Instruments. Afin de ne rien omettre de ce qui se rattache à l’importante question qui vient de nous occuper, je vais décrire quelques iustruments imaginés pour accélérer le travail ou en augmenter l’exactitude.

473. Compas de proportion. La construction de la figure 10 est une application du principe démontré au numéro 371, tandis que le compas de proportion.^g'. 11, est la conséquence du théorème 373.

L'instrument dont il s’agit ici se compose de deux règles en métal réunies en un point o, autour duquel elles peuvent tourner suivant toutes les inclinaisons.

Deux droites O — a, o — c, tracées sur les branches du compas, et partant du point o, sont partagées en parties égales aussi petites que possible.

Supposons actuellement que l’on veuille construire, Jîg. 2, le polygone ncJAi, 'semblable à ACDHB, on portera sur l’une des branches du compas de proportion , à partir du centre, une quantité égale à la droite AB , et si l’extrémité de cette longueur aboutit par exemple au point 7, on ouvrira les branches de l’instrument jusqu’à ce que la distance 7 — 7 des deux points correspondants soit égale au côté ab du polygone demandé.

L’instrument restant ainsi ouvert , il est évident que si l’on joignait par des droites les points correspondants des deux rayons o — a,o — c, on aurait une suite de triangles isocèles semblables entre eux , et dans chacun desquels le côté oblique serait à la base comme l’une des lignes ou côté du polygone donné AGDHB , est à la ligne ou côté homologue du polygone acdhb.

Ainsi, p:ir exemple, pour obtenir le côté am, on prenilrnit avec le compas ordinaire une ouverture ég.tle au côté AM, et l'on porterait cette ouverture sur l’une des deux droites O — a, o — c,Jig. 1 1 . Si, après avoir placé en o l’une des pointes du compas ordinaire. In seconde pointe arrive" au point 2 , la distance 2 — 2 donnera la longueur du côté am,fig. 2.

Compas de réduction. Cet instrument,/!^. 12, est un compas à quatre branches , formant deux angles égaux opposés par le sommet.

Le centre mobile qui occupe ce point peut être fixé où l’on veut, et si on le fait avancer jusqu’à ce que la longueur des branches soit partagée suivant le rapport donné par la question , il est évident que lorsqu’on prendra par exemple une quantité AB égale à l’un des côtés du polygone donné , la distance ab, sera le côté homologue du polygone demandé.

475. panto^rapbe. Cet instrument, représentéyîg. 13, se compose de quatre règles parallèles deux à deux, et mobiles autour des points m. A, B, C.

Les trois points S, m, M, sont toujours en ligne droite, et les côtés MC, mA, sont entre eux comme les côtés homologues des deux figures VMU, vmu. Le rapport de ces côtés peut être changé suivant chaque question , en déplaçant les centres des deux points A et C. Les trous percés dans les règles sont destinés à recevoir les deux chevilles servant de charnières. Le point M contient une pointe que l’on dirige avec la main , en suivant toutes les sinuosités de la figure donnée ; tandis qu’un crayon placé au point m reproduit sur le papier une figure semblable.

La similitude des figures YMU, potu, est une conséquence de celle des deux triangles MCm , mAS , qui ont

PROBLÈMES

Ii7

constamment un angle égal compris entre côtés proportionnels.

Le point S est un centre de similitude (469), et le résultat est une application mécanique des principes démontrés aux numéros 391, 413.

476. Si la figure t/mu était donnée, et que l'on voulût construire la figure VMU, il faudrait placer le crayon au point M et conduire le point m en suivant toutes les sinuosités du dessin donné vmu.

477. Échelles de proportion. Les échelles sont des ligues droites divisées en parties égales. Lorsque deux échelles , divisées dans le même nombre de parties égaies , sont entre elles comme les côtés homologues de deux figures semblables , chaque partie de l’une des échelles est X’unité ou le module de la figure correspondante.

Ainsi , par exemple , supposons que les deux droites EM , em, fig. 6, sont entre elles comme les bases AB , ab, de la figure 2.

Si la droite BG contient 13 parties de l’échelle EM , la droite ôc devra contenir 13 parties de l’échelle em.

478. Échelle de dixièmes. Si l’on voulait obtenir une grande exactitude dans le résultat, les échelles EM et em ne suffiraient plus , parce qu’elles ne donnent pas les fractions A’unités.

On pourait, il est vrai, partager l’une des unités en parties plus petites, mais alors les traits de division seraient beaucoup trop rapprochés , surtout sur la plus petite des deux échelles.

Dans ce cas, il faut opérer de la manière suivante ;

Supposons que l’on veuille diviser Tunilé ZX .jig. 7, en dis parties égales, on tracera la droite Z — o, sur laquelle on portera dis parties égales quelconques ; on joindra le point O avec X par la droite o — X , et par chacun des points de division de o — Z on mènera une parallèle à ZX.

Il résulte du principe démontré au numéro 373 , que les parallèles comprises entre les côtés de l’angle Z — o — X sont entre elles comme les distances du point o aux points de division correspondants de la droite o — Z.

Ainsi, par exemple, la parallèle du point 1 est à la partie ZX comme le segment o — > 1 est à la droite o — Z. Mais, puisque o — 1 est la dixième partie de o — Z, il s’ensuit que la petite parallèle du point 1 est la dixième partie de ZX.

On reconnaîtra de même que la parallèle du point

2 vaut TT de ZX, celle du point 3 vaut — , et ainsi de 10 10

suite.

479. Voici la manière d’appliquer le principe qui vient d’étre démontré :

Supposons,^g. 9^quel'on veuille construire une échelle dont chaque unité serait égale à la centième partie de EZ.

On élèvera la perpendiculaire Z — 100, sur laquelle on portera 10 parties égales quelconques.

On fera passer par chaque point de division une parallèle à la droite donnée EZ.

On élèvera par le point E, une perpendiculaire à la droite EZ , ce qui déterminera le point o sur la parallèle la plus élevée.

On divisera l’espace o — 100 en dix parties égales , et l’on divisera pareillement en dix parties égales la droite donnée EZ.

TL. 12. PROBLÈMES

Edüii , OD Irncera , comme on le voit sur la figure, les droites inclinées , de manière à joindre le premier point de la ligne o — 100 avec le second de EZ ; le second de O — lOO avec le troisième de EZ , etc.

Si l’on fait ensuite la distance EH, égale à EZ, que l’on élève la perpendiculaire H — 100 , et que l’on place tous les numéros comme ils le sont sur la figure , on aura une échelle extrêmement commode.

En effet, pour avoir une longueur égale à 23 parties , on placera l’une des pointes du compas ordinaire sur le point 3 de la ligne o — E, et l’autre pointe en a. La distance 3 — a que l’on obtiendra se composera des deux parties représentées 1® par la petite portion de parallèle comprise entre le point 3 et l’oblique du point o ; 2° de 2 X 10 ou 20 parties comprises entre les deux obliques qui aboutissent aux points o et 20 ; ce qui fera en tout 20 -f- 3 = 23 parties. Pour obtenir 165 parties on portera les pointes du compas de c en u , ce qui donnera c«=100+5 + 60= 165.

En portant vers la gauche, des distances égales <à EZ, on pourra augmenter l’étendue de l’échelle autant que l’on voudra.

&80. Pour construire une figure semblable <i une autre , on fera deux échelles semblables. On peut augmenter la hauteur de la plus petite si l'on n’a pas assez de place pour écrire les chiffres ; mais on ne peut pas prendre à volonté les distances EZ, ez , qui doivent toujours être entre elles comme la figure donnée est à celle que l’on veut construire.

481. Vernier- Il existe encore un autre moyen d’obtenir les dixièmes d’unités sur une échelle dont les lignes de division ne pourraient pas être rapprochées sans inconvénient.

GtOMETRIE PLANE.

Le vernier VU , fig. 14. , est une pelite règle ajustée de manière à pouvoir glisser suivant toute la longueur de l’échelle principale EM. On marquera sur le vernier une longueur égale à 9 parties de l’échelle , et l’on divisera cette longueur en 10 parties égales, de manière que chacune

des parties du vernier VU soit égale à

de l’une quel 10 ^

conque des parties de l’échelle.

La différence entre une des parties de l’échelle et une partie du vernier sera par conséquent égale à

ÎÔ ~ ÏÔ ~ ÏÔ

La droite dont on veut mesurer la longueur est toujours comprise entre le zéro de l’échelle et le zéro du vernier.

Si par exemple le zéro du vernier coïncidait avec le nombre 25 de l’échelle, on dirait que la longueur mesurée à compter du zéro de l’échelle vaut vingt-cinq parties.

Mais si le zéro du vernier V'U' est arrivé, comme on le voit sur la âgure, entre les numéros 62 et 63 de l’échelle, il est évident que la longueur cherchée sera égale à 62 parties plus une fraction , qu’il s’agit d’évaluer en dixièmes.

Or, cela revient à savoir de combien de dixièmes le zéro s’est avancé depuis le moment où il coïncidait avec le numéiro 62. Mais , puisque la différence entre une des parties du vernier et une partie de l’échelle est égale à un dixième, il s’ensuit que si l’on partait de la position désignée par VU , il faudrait que le vernier s’avançât

de — vers la droite , pour que son numéro 1 correspondit

au numéro 26 de l’échelle.

11 faudrait que le vernier s’avançât de — , pour que le

PROBLÈMES

numéro 2 pût coïncider ; de —si l’on voulait faire roïnci-

der le numéro 3, et ainsi de suite. De sorte que le numéro du vernier qui coïncide'avec l’une des divisions de l’échelle, indique toujours de combien de dixièmes le zéro s’est avancé depuis le moment où il correspondait à un nombre exacte d’unités.

Donc , lorsque le vernier est parvenu dans la position V'ü', on remarquera que le numéro 7 coïncide avec l’une des divisions del’échelle, et l’on doit en conclure que le zéro

s’est avancé de — depuis le moment où il coïncidait avec

le numéro 62 ; de sorte que la longueur demandée est

égale à 62 parties plus — .

IÏ82. Avec un peu d’habitude on pourra facilement évaluer les longueurs à moins A’un vingtième. En efi'et , si aucun point ne coïncidait, mais que les points 6 et 7 fussent tous les deux situés entre des lignes consécutives de l’échelle , on en conclurait que le point 6 a dépassé le moment de la coïncidence, tandis que le point 7 n'y est pas encore arrivé. La fraction cherchée serait donc plus grande que 6 et plus petite que 7 dixièmes; mais il serait toujours facile de reconnaître lequel des points 6 ou 7 est le plus près de l’une des ligues de division de l’échelle , et, si les points 6 et 7 étaient également éloignés de la coïncidence, on pouvait compter indifféremment 6 ou 7 dixièmes pour la fraction cherchée. Or, dans l’un comme dans l'autre cas , l’incertitude n’excédera pas un demidixième ou un vingtième.

Ü83. Les moyens que nous venons d’indiquer pour déterminer les dixièmes de parties , sans les tracer sur une échelle, pourraient également être employés pour toutes

GÉOMÉ HIE PLANE.

autres suLclivisioos. Ainsi, par exemple, si l’on avait marqué sur le vernier une quantité égale à 11 unités de l’éclielle , et que l’ont eût partagé cette distance en 12 parties égales , on aurait déterminé par ce moyen des douzièmes (l’unité.

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