Le rapport décimal employé en dernier lieu , est

beaucoup plus exact que le nombre — obtenu par Archi-

mède : il est presque aussi exact que le rapport de Métius , et de plus il a l’avantage d’étre exprimé en décimales, ce qui évite la division. En prenant un plus grand nombre de ebiSres décimaux on aura autant d’exactitude que l’on voudra.

Dans beaucoup d’applications on peut se contenter des deux premiers ebidres décimaux ; et , dans ce cas, on obtiendra la circonférence en multipliant 2R par 3, lli.

D’autres fois, mais rarement , il sera utile d’employer un plus grand nombre de chifi’res. Au surplus, pour ne

PL. Ib. LONGUEUR DES LIGNES. 187

pas être obligé d’écrire à chaque instant le nombre 3,1415926... tous les géomètres sont convenus que, dans le langage mathématique, on exprimerait ce rapport par la lettre tt, que l’on a réservée uniquement pour cet usage, et qui, par conséquent, ne sera jamais employée pour représenter une autre valeur.

Ainsi , toutes les fois que dans une formule on verra la lettre n, il faut se rappeler qu’elle exprime le rapport numérique de la circonférence au diamètre.

567. Si nous reprenons actuellement la proportion énoncée au numéro 418, nous aurons

1 ; TT 2R ; C ; d’où C » 2 ttR.

Ainsi la formule 2 irR ou 2R x t: est l’expression de la circonférence du cercle en fonction du rayon, elle nous apprend que, pour calculer la longueur d’une circonférence de cercle, il faut doubler le rayon et multiplier le résultat par ir.

Le nombre de chiffres décimaux qui devront être employés dans ce calcul dépendra , dans chaque cas , de la nature de la question proposée.

Pour calculer la circonférence d’un cercle dont le rayon serait 24 mètres, on aura en faisant tt = 3,14 C = 2x 24 X 3,14= 150“, 72; tandis que si l’on fait tt = 3.1416, on aura

La deuxième valeur est plus exacte que la première.

568. Pour apprécier l’erreur, il faudrait multiplier 2R par la différence qui existe entre la valeur de tt et le nombre par lequel on a remplacé ce facteur. Or, quoique nous ne connaissions pas la valeur exact de tt , nous savons qu’elle est plus petite que 3,1416 : ainsi, quand on suppose TT ^ 3,1416, on obtient un résultat un peu trop fort, mais 3,1416 — 3,1415920 = 0,0000074, et la vérita-

GEOMETRIE PLAME.

ble valeur de 71 étant que 3,1415926, il s’ensuit que l’er> reur sur la circonférence entièresera < 0,0000074 X 2R. Ainsi, pour un cercle dont le rayon serait 18 mètres, l’erreur en plus serait moindre que 0,0000074 x 36 ou 0,0002684. Si l’on faisait tt = 3,14, on aurait un résultat un peu trop faible, mais la différence entre la véritable valeur de 71 et 3,14 est plus petite que 3,1416 — 3,14 = 0,0016; donc l’erreur que l’on fera en employant 3,14, sera plus petite que 0,0016 x 2R. Ainsi , pour un cercle de 18 mètres de rayon , l’erreur en moins sur la circonférence serait plus petite que 0,0016 X 36 = 0,0576 , ou à peu près 6 centimètres.

569. Cor. I. Maintenant que nous savons obtenir la mesure de la circonférence , il nous sera facile de calculer la mesure absolue des arcs de cercles (495). Eln effet , la valeur relative d’un arc exprimant son rapport avec la circonférence , si l’on exprime par a le nombre de degrés de l’arc BC , fig. 9, on aura :

360 ; a :: 2 7 tR : BC 2 TtR a TtRa 360 ~ TSO'

En supposant BC = 48 degrés , R = 12 mètres, et TC = 3,14 on aurait

570. Cor. II. Si, dans l’équation précédente nous mettons l’unité en évidence , il vient

arc BC = 10,04 X 1 mètre.

Divisant les deux termes par 1 mètre , on a arc B

1 mètre

Le nombre 10,04 sera donc le rapport numérique entre l’arc BC et le mitre.

d’où