CHAPITRE III

Surfaces des figures.

572. Définitions. Deux figures planes peuvent être égales, semblables ou équivalentes.

Nous avons vu dans le premier livre que deux ligures sont égales lorsqu'en plaçant l’une sur l’autre on peut les faire coïncider dans toutes leurs parties.

Dans le second livre nous avons dit que des figures sont semblables lorsqu’elles ont les angles égaux et les côtés homologues proportionnels.

Nous nommerons actuellement flgures équivalentes celles qui ont même étendue en surface.

573. La surface ou l’aïre d’une figure plane est la portion de plan qu’elle occupe ; l’étendue de cette quantité dépend de certaines lignes dont nous allons donner les définitions.

57(i. La hauteur d’un triangle est la perpendiculaire abaissée d’un sommet sur le côté opposé que l’on nomme la base.

On peut toujours prendre pour base le côté que l’on veut, quelle que soit la position du triangle dans l’espace.

575. La hauteur d’un parallélogramme ou d’un rectangle est la perpendiculaire qui mesure la distance de deux côtés opposés considérés comme bases.

576. Dans le trapèze (101), on prend toujours pour bases les deux côtés parallèles, et la hauteur est la perpendiculaire qui mesure la distance de ces deux côtés.

577. Théorème. Deux rectangles qui ont les bases et les hauteurs égales sont égaux.

Démonstration. Fig. 1, PI. 15. Supposons que l'on ait transporté le rectangle ABCD sur A'B'C'D' en plaçant la base AB sur son égale A'B'. Les deux côtés AD, BC , perpendiculaires sur AB , coïncideront avec A'D' et B’C', perpendiculaires sur A'B', et l’égalité des deux figures sera évidente.

SURFACES DES FIGURES

578. Théorème. Deux rectangles de même hauteur sont entre eux comme leurs bases.

Démonstration. Fig. 2. Admettons , pour fixer les idées que l’on ait la proportion

AB : ab :: 1 :k

Ce qui revient à supposer qu’il existe une commune mesure AO, ao, comprise sept fois dans AB, et quatre fois dans ab. Si l’on conçoit une perpendiculaire par chacun des points de division des droites AB, ab, on aura une suite de rectangles égaux entre eux (577) puisqu’ils auront même base et même hauteur.

Or, si l’on prend l’un quelconque de ces petits rectangles pour terme de comparaison , et que l’on exprime sa surface par la lettre m, on aura

rectangle ABCD = 7m, rectangle abcd = km.

Divisant la première équation par la seconde , on a rectangle ABCD 7m 7

rectangle abcd km k

Et par conséquent

rect. ABCD : rect. abcd 7 : 4.

Comparant cette proportion avec celle que l’on avait admise dans l’énoncé, on obtient, h cause du rapport commun , rect. ABCD : rect. abcd :: AB : ab.

La lettre m ayant disparu, on doit en conclure que le principe est indépendant de la grandeur de ce facteur ,'Ct qu’il serait encore vrai dans le cas où la commune mesure serait infiniment petite (362, 506).

579. corollsdre. On peut prendre pour bases d'un rectangle les deux côtés que l’on veut , pourvu qu’ils soient ot>posés l’un à l’autre ; d’où il résulte que si nous

CÉOMITRIE PLANE.