PL. IS

considérons les droites AD, comme les bases des deux rectangles proposés , les côtés AB et ab seront les hauteurs , et l’on pourra conclure de la démonstration précédente que

580. Deux rectangles de même base, sont entre eux comme leurs hauteurs.

581. surface du rectangle. Soit ABGD, fig. 3, le rectangle dont on veut calculer la surface, et supposons que le rectangle abcd suit Tunité, la mesure directe consisterait à superposer l’unité sur la quantité autant de fois quelle pourrait y être contenue; mais si le rectangle ABCD est inaccessible, si l’espace représenté par cette figure contient des arbres, des maisons, etc., il est évident que la mesure par superposition ne peut plus avoir lieu ; voyons donc s’il n’y aurait pas quelque autre moyen d’arriver au même but. On doit se rappeler que la question consiste à trouver le rapport numérique qui existe entre la quantité ABCD et l’unité abcdlJsS^).

Pour atteindre ce but, concevons le rectangle auxiliaire aiC'D', ayant la même base ab que l’unité, et la même hauteur bC que la figure ABCD dont on veut obtenir la mesure.

Les deux rectangles ABCD , aôC'D', ayant même hauteur BC = bG, ils sont entre eux comme leurs bases (578), ce qui donnera la proportion

rect. ABCD ‘ rect. abCW ;; AB : ab.

Mais les deux rectangles abCD', abcd, ayant la même base ab, ils sont entre eux comme leurs hauteurs (580), et l’on aura rect. aôC'D' : rect. abcd t: BC : bc.

Multipliant ces deux proportions termes par termes , et remarquant que le rectangle auxiliaire disparaît comme

SURFACES DES FIGURES

facteur commun nuE deux termes du premier rapport, on obtient

rect. ABCD : rcct. abcd :: AB x BC ; ai x ic, ou, ce qui est la même chose,

rect. ABCD AB x BC AB BC

rect. abcd ab x bc ab bc '

582. Cette proportion nous donne les moyens de calculer la surface demandée; en effet, supposons, pour fixer les idées, que AB contienne ab cinq fois, et que BC contienne bc sept fois , on aura