MESURE DE LA SURFACE DES CORPS RONDS

275 . PREMIÈRE QUESTION. — Mesurer la surface convexe d’un cylindre droit.

SOLUTION. — On trouve la surface convexe d’un cylindre droit en multipliant la circonférence de la base par la hauteur; ce qui s’exprime par les formules

S = GxH = a7 rxRxH=7 :DxH.

274 . APPLICATION. — On a peint une tour ronde à l’extérieur, à raison de i',2S par mètre carré. Cette tour ABOD (yîÿ. 1 56 ) a i o mètres de diamètre sur 24 mètres de hauteur; que doit-on payer pour cet ouvrage?

SOLUTION. — On cherchera d’abord combien cette superficie contient de mètres carrés , puis on multipliera i', 25 , prix d’un mètre, par le nombre trouvé. La circonférence de la base est G= 3,142 X 10 = 3 1,42; donc la surface S = 3 i ,42 X 24 = 754” “’ ,o 8 ; et en multipliant i ',25 par ce nombi'c, on a pour le prix cherché

275. DEUXIEME QUESTION. — Mesurer la surface convexe d’un cône droit.

SOLUTION. — On obtient cette surface S en multipliant la circonférence G de sa base par le côté A du cône, et en divisant le produit par i. Cette surface est encore égale au produit du côté A par la circonférence C' du cercle parallèle à la base, et mené par le milieu du côté A; on a donc ces deux formules

CXA

= GxA.

276. APPLICATION. — Mesurer la surface d’un toit conique qui couvre une tour ronde ; le diamètre PQ de la base étant de io“,6o, et le côté QS = A = 1 5 mètres (/</. 1 56).

SOLUTION. — La surface

circ.PQxQS 3,i4a X io,6o >o5

= 3 ,i 42X 5,3 xi5 = 249”’-'"S7«9 o-

277. TROISIÈME QUESTION. — Mesurer la surface convexe d’un tronc de cône à bases parallèles.

SOLUTION. — On fait la somme des circonférences G et G' des deux bases; on la multiplie par le côté A du tronc du cône, on divise ce produit par 2 , et l’on a la surface demandée

XA; S=t:A(R4-R').

:byC

Autremeüt, on multiplie la circonférence C" du cercle qui serait à égale distance des deux bases par le côté A du tronc , S = C" x A.

278 . APPLICATION. — Chercher combien il entre de mètres carrés de planches dans la robe d’une poupée ABCD {fig. i 5 y) qui couvre une grille servant au barrage d’une rivière? Cette enveloppe a la forme d’un tronc de cône qui a o°‘,j2 de diamètre à sa base inférieure, et o^jSo à sa base supérieure, la longueur du côté AC=A= 2“,6 o .

SOLUTION

O /cire. AB -h cire. CD\ .

s = ) X AC

PREMIÈRE REMARQUE.— Le calcul se fait d’une manière plus expéditive par l’emploi de la ^rmule •S = TT X A X (U -H R') qui renferme cette règle; on fait Fa somme des rayons des deux bases; on multiplie cette somme par le côté A, et le produit par le rapport tt ; on a la surface du tronc du cône.

DEUXIÈME REMARQUE. — Si les données étaient : circônférence moyenne PQ = i“‘, 6 o 24 et AC = 2"’, 60 , on trouverait S = 1,6024 X 2,6 = 4 "’-“"-,i 66 .

279 . QUATRIÈME QUESTION. — Mesurer la surface d’une sphère dont on connaît le rayon.

SOLUTION. — On multiplie la circonférence C =•

anR d’un des j^rands cercles de la sphère pai- le diamètre ü = 2R, et l’on a l’aire de cette sphère S = C X D = 4 ;:R“.

Ija formule S = 4 ^R* renferme la. règle suivante : on obtient la surface de la sphèi e en multipliant le carré du rayon de la sphère par n et en multipliant encore le produit par 4-

Remarque sur la double expression de la surface de la sphère :

I ”, La formule S = C x D fait voir que cette surface est égale à celle d’un cylindre qui aurait pour hauteur le diamètre D de la sphère, et pour sa base un grand cercle de la sphère ; ^

2”, La formule S = 4 t^H* fait voir que la surface de la sphère est quadiuple de celle d’un de ses grands cercles.

281 ). APPLICATION. — On fait construire une voûte hémisplmrique de o ",38 d’épaisseur. Le rayon de l’hémispnère intérieur R = 2"', 70.

On demande : 1 “ la mesure de la surface intérieure; 2° celle de la surface extérieure.

Données : CA= 2,70 ; BA = o ,38 ; CB = 3 , 08.

SOLUTION. — La surface de la sphère étant 4 nR’, celle de l’hémisphère sera 27 tR^; donc, en multipliant le carré du rayon de la surface intérieure, ou (2,7)’ par 3,142 et par 2, on aura la surface intérieure

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a”. Le rayon de la sphère extérieure R' = 2,7 H- 0,38 = 3,08. Le carré de ce rayon = 9,4864 et la surface de l’hémisphère ‘

S' = 2;tR'* = 2 X 3,142 X 9,4864 = 29,8062 X 2,

ou

S' = 5 o '"•""■,6125 {fig. i 58 ).

281 . CINQUIÈME QUESTION. — Mesurer la surface d’une zone à une ou deux bases.

SOLUTION. — On trouve la surface z d’une zone à une ou deux bases, en multipliant la circonférence C ou 27 tR d’un {»rand cercle de la sphère par la hauteur H de la zone; z = G x H = 2t:R x H.

Ija surface de la zone à une base s’obtient encore en ajoutant le carré H'® de la hauteur au carré r* du rayon du cercle de la base de ce segment, et en multipliant cette somme par le rapports, on a ’ z = 7T X (r* + H'*).