EXEMPLES DIVERS DE SURFACES GAUCHES
Si**. Conoide droit.
596. (Fig. xoii.) Nous avons dit (n^ 520) qu'un conoide etait la surface engendriepar une droite mobile^ quis'appuie constamment sur ur^E droite et sur une courbe JixeSy en demeurant parailele a unplan donnd. Ici, nous prendrons ce plan directeur pour le plan horizontal de projection, et pour directrices, Tellipse (AZ'H, AH) et la verticale (O'Z', 0); cette demifere etant perpendiculaire au plan directeur, le conoide sera droit. Les diverses generatrices se construiront bien ais^ment, puis«-
(*) Cette demonstration fort simple, et purement synthdtique, est due k VL.J.Bineu
a44 LIVfiE VII. — - DBS SUfiFACES 6ADCHRS.
qu'il suffira de conduire un plan horizontal arbitraire B'G', qui coupera I*axe au point (0, 0") et Tellipse au point (B'B), (G'G); puis, en joignant ces points, on trouvera (OB, O'B') et (OG, 0"G') pour deux generatrices du conoide, etlesautres s'obtiendront d'une maniere semblable.
597. II est certain que celte surface sera gauche; car, quelque rapproch^s que soient deux points B' et C pris sur la directrice, les generatrices correspondantes (BO, B'O") et (CO, CO'') ne seront point paralleles, puisque leurs projections horizontales se coupent en : et d'ailleurs ces generatrices ne pourront se couper dans I'espace, atlendu qu'elles sont situees dans des plans horizontaux difTerents. En outre, il faut observer que ces droites, prolongees indefiniment, formeront une seconde nappe projetee dans I'espace angulaire aOh; et que la verticale (0, O'Z'), suivant laquelle se coupent les deux nappes de la surface, sera une ligne de stricUon, attendu qu'elle indiquera la direction de la plus courte distance entre deux gene* ratrices quelconques.
598. Le plan tangent de ce conoide, pour un point (M, M') donn6 sur une generatrice, s'obtiendra en appliquant ici la melhode generale indiquee au n^ 580. Je trace done la tangente B'T au point de I'ellipse oil aboutit la generatrice en question (0MB, O'M'B'); et, comme Tautre directrice (0, O'Z') est une droite qui est elle-meme sa propre tangente, je la conserve, et je fais glisser sur celte verticale et sur la tangente B'T la generatrice (0MB, O'^M'B'), toujours horizontale : par la, j'obtiens un paraholoide de raccordementy dont une seconde generatrice du nieme systeme est evidemment la droite TO, tracee dans le plan horizontal de projection. Alors, je coupe les deux generatrices OT et (0MB, 0"M'B') par leplan vertical MP, ksiAemmexii parcdlele aux deux directrices^ lequel devra donner (n® S|51) pour section dans le paraholoide une droite du second systeme, qui sera (MP, M'P'). Celapose, le plan qui passera par les deux droites (MP, M'P') et (MB, M'B'), situees Tune et I'autre sur le paraholoide, sera bien le plan tangent de cette surface auxiliaire, et aussi du conoide propose, puisque ces deux surfaces seraccordent (n^576) tout le long de la generatrice (0MB, 0"M'B'). Or il est facile devoir que ce plan aura pour trace horizontale la droite Pa, parallele a MB, et pour trace verticale la droite aB', qui doit se trouver aussi parallele k M'P'; ainsi, PaB' est le plan tangent du conoide pour le point (M, M').
599. Si Ton voulait avoir le plan tangent relatif a un autre point (N, N') situe surlameme generatrice, le paraholoide d^jk construit servirait encore ; il suffirait de le couper par le plan vertical NQ, parallele aux deux generatrices, et la section, qui serait la droite (NQ, N'Q'), combinee avec la generatrice (NB, N'B'), fournirait leplan Q6B' pour eel ui qui touche le conoide en (N, N'). On reconnait ici que les divers plans tangents de cette surface, le long de la generatrice (OB, OB"), sont bien distincts les uns des autres, quoiqu'ils contiennent tons cette generatrice; et, par suite, leurs traces horizontales sont toutes paralleles a OB. Enfin, si Ton assignait le point de contact en (0, 0"), le plan tangent deviendrait le plan vertical OBB'.
600. II est bon d'observer que toutes les droites B'T, M'P', N'Q',, .. , doivent
CUAPITRE V. — BXEHPLBS DB SURFACES GACCHES* 2^5
aller rencontrer la verticale O'Z' en un meme point que j'appellerai ci>'; car ce sont les projections d'autant de generatrices du paraboloidct appartenant au second systeme, et qui doivent toules s'appuyer sur la genera trice du premier mode (OO'w'). D'ailleurs, comme les droites M'F, N'Q',.... seraient evidemment les tangentes des sections faites dans le conoide par les plans verticaux MP, NQ,..., la relation precedente s'accorde bien avec la nature de ces cobrbes, qui sont ici des ellipses ayant toutes un cuce commun O'Z'. Eiles se construiraient aisement, en projetant sur le plan vertical les points oil chaque plan, tel que MP, rencontre les diverses droites OA, OB, OB', . . . , du conoide.
§ a. Conoide circonscrit a une sphere
601. [Fig^ ia3.) Imaginons une droite mobile qui^ restant toujours horizontale, s'appuie sur une droite fixe (AH, A'H') et sur une sphere (RI, OT) a laquelle elle demeure tangente : la surface ainsi decrite sera encore un conoide, dans lequel la directrice curviligne sera remplacee par une surface que devront toucher les diverses generatrices. Pour obtenir ces dernieres, on menera un plan horizontal quelconque CS', qui rencontre la droite fixe au point (G, C), et coupe la sphere suivantun cercle du rayon E'S'; alors, en conduisant a la projection horizontale de ce cercle les deux tangentes CM et Cm, ce seront deux generatrices du conoide, qui seront projetees verticalement suivant la droite unique Cm\ D'ailleurs, si Ton projette sur cette derniere droite les points de contact M et m en M' et m', puis si Ton repute des operations semblables pour tons les plans horizontaux qui peuvent couper la sphere donnee, on obtiendra une courbe fermee
(RLMNPQRjp/im/R, R^'M^NT'C'RY/^'^'/wTR')
pour la ligne de contact de la sphere avec le conoide circonscrit : cette courbe, si elle avait ete connue primitivement, aurait pu remplacer la sphere directrice.
602. Afin d'obtenir plus de nettete dans notre epure, nous avons suppose ici que les generatrices du conoide etaient terminees a leurs points de contact avec la sphere, ce qui laisse visible toute la partie de cette surface, situee au delk de la courbe de contact par rapport a la droite (AH, A'H') ; mais, en de<;a de cette droite> il existe une seconde nappe du conoide, dont la partie superieure et visible sut leplan horizontal se trouve formee par les prolongements BX, Cjx, Dv,..., des generatrices inferieures B/, Cm, D/i,..., de I'autre nappe, et reciproquement. D'ailleurs, pour completer le contour apparent du conoide sur le plan horizontal, il faudrait tracer les convhes erweloppes des droites AR, B/, Cm,..., et GR, FQ, EP,...; courbes qui seraient fournies immediatement par les intersections successives de ces generatrices, si, en les multipliant davantage, nous n'avions pas craint de jeter quelque confusion dans Tepure.
603. ki, la droite (AH, A'H') n'est plus une ligne de suiction^ comme cela arrivaitdans I'exemple du vP S97; mais, par les raisons citees dans cet article, on verra que la surface actuelle est encore gauche^ aussi bien que tous les conoides.
a46 LIVBE Vn. — DBS gVSFACES GArCHES.
604. Cherchons le plan tangent relatif a un point quelconque (V, V) aitue sur la (i^eneratrice (CM, CM'); et coranie ici la seconde directrice est une surface et non une courbe, empjoyons la methode du n® 581. Je construis done, (J'^^bord, une tangente de la sphfere au point (M, M'), et, pour plus de simplicite, j'adopte la tangente du meridien, qui est evidemment (RMT, Z'M'T'); puis, en faisant glisser surcette tangente etsur la directriee rectiligne(AH, A'H') la droite (CM, CM'), toujours horizontal e, je forme un parabolo'ide qui raccordera [vl^ 576) le conoide tout le long 4© cette generatrice : d'ailleurs, une seconde position de cette droite mobile sera evidemment la ligne TH, situee dans le plan horizontal de projection. Cela pose, je mfene par le point (V, V) un plan parallele aux deux directrices (AH, A'H') et (MT, M'T'); ce plan, qui a pour trace horizontale la ligne XY, facile k irouver, doit donner, dans le paraboloide, une section rectiligne (n^ 551), laquelle est, par consequent, la droite (aV, a'V) : alors cette droite, jointe k (CVM, CV'M'), determinera un plan aS/, qui sera tangent au paraboloide, et aussi au conoide primitif dans le point (V, V).
605. Ce plan, quoique tangent au conoide, doit couper cette surface (n^512 et 585) ; et Tintersection totale se composera de la droite (CVM, CV'M') et d'une courbe passant par le point (V, V), laquelle s'obtiendra aisement en cherchant les points de rencontre du plan aS/ avec les diverses generatricss du conoide que nous avons construites.
% Z. Le Biais passiy dit Come de vache.
606. {Fig* laa.) Cette surface, employee quelquefois k vouter un passage biais compris entre deux 'plans verticaux paralleles AC et BD, a pour generatrice une droite mobile qui s'appuie constamment : i° sur le cercle vertical ( AZ'B, AB) ; a® sur un second cercle (CZ'D', CD), 6gal et parallele au premier; 3*^ sur une droiteO'00% perpendiculaire aux deux cercles precedents, et meneepar le centre du paralle*logramme ABCD. Pour consbruire les diverses positions de la generatrice mobile, on m^nera par la droite 00' un plan quelconque OO'E'; il coupera les deux cercles aux'points (K', E), (L', L), et en les joignant par une droite (EL, E'L'), ce sera une generatrice de la surface en question. De meme (M'N'O', MNO") sera une autre position de la droite mobile; et, quand cette ligne viendra passer par les deux points des circonferences qui sont projetees en Z', elle se trouvera horizontale, et ne rencontrera plus la directrice 00' qu*k Tinfini. Au dela de celte position, la generatrice mobile s*inclinera en sens contraire, et ira couper la directrice 00' derrifere le plan vertical (*)•
(*) n y aurait, k la v^rit^, un autre moyen de faire remplir k la droite mobile la condition de s'appuyer constamment sur les trois directrices assignees. Car, si cette droite, passant toujours par le point fixe 0, glissait sur le demi-cercle supSrieur (AZ' B, Afi), elle rencontrerait n^cessairement aussi la mo\l\6 tnfirfeiire du second cercle, et rfeiprnquement; de sorte que la surface ainsi produite strait im odne du second degr6. Mais, comme on aper^it bien que la position de cette surface n est point propre k former nmk vixkle qui recouvre Tespace ACDB, nous n^Ugeons ici ce mode de g^n^ration.
CBAPITBE V. — EXEnPLBS DE SURFACES GACCHES. 2^'J
607. La surface ainsi produite est gaucJie. En effet, pour passer de la position (M'N'O', MNO') ^ une position infiniment voisine, la generatrice pent 6tre censee glisser sur les deux tangentes M'T' et (N'V% NV ) ; et comme evidemment ces tangentes ne sont pas dans un meme plan, 11 en arrivera autant pour deux generatrices
• voisines. D'ailleurs, deux generatrices quelconques se trouvent dans des planj? menes suivant 00', et ne pourraient se couper que sur cette droite; or elles vont la rencoijtrer en des points differents, comme on le voit par les projections horizontales BD, KL, MN,..,- H est bon d*observer que ces diverses projections for meront, par leurs intersections successives, une courbe enveloppe de toutes ces droites, et qui sera le contour apparent de la surface sur le plan horizontal. Quant a la nature de cette courbe, et a I'equation de la surface elle-meme, on pourra consulter VAncdyse appUquee a la geometrie des trots dimensions^ chapitre XV.
608. Construisons le plan tangent de cette surface gauche, pour le point (G,G') donne siir la generatrice (MNO", M'N'O'); et pour cela, formons d'abord un paraboloide auxiliaire ayant pour directrices trois tangentes de la surface qui soient parallelesd un miineplan (n^ o79) . Deux de ces directrices seront les tangentes M't' et (N'V, NV) ; la troisieme doit etre une droite parallele au plan vertical, et men6e par le point 0'" dans le plan qui touche la surface en ce point. Or ce plan tangent, devant contenir la droite 0"0' et la generatrice (MNO", M'N'O'), est pr^cisement le plan 0"0'M'; et, par suite, la troisieme directrice du paraboloide auxiliaire est (0"iUL, O'M').
Cela pose, je fais glisser sur ces trois directrices la droite mobile (MNO"', M'N'O'), et je cherche la position qu'elle prend, lorsqu'elle arrive au point (V, V) par exemple. Pour cela, je conduis par ce point et par la directrice (0"|j., O'M') un plan dont la trace horizontale est evidemment 0"Va, et la trace verticale une droite a6', parallele a O'M'; puis, comme ce plan rencontre la premifere directrice M'T aii point (6', 6), j'en conclus que (6V7, fi'V'/) est une seconde position de la generatrice (MNO", M'N'O') du paraboloide auxiliaire. Maintenant, je coupe ces deux lignes par le plan vertical GH, parallele aux trois directrices, et la droite (GH, G'H') est une generatrice (n^ 551) appartenant au second mode de generation du paraboloide; par consequent, le plan qui passera par les droites (GH, G'H') et (MNO", M'N'O'), savoir 0"PM', sera bien le plan tangent du paraboloide, et aussi de la surface gauche proposee, pour le point en question (G, G'). On observera que la trace PM' doit se trouver precisement parallele a la projection verticale G'H' d'une des droites que contient ce plan.
S'il fallait (comme dans la Stereotomie, n? 660) trouver la tangente au point (G, G') de la section faite dans cette surface par un plan vertical XY, parallMe aux cercles de tete, on n'aurait pas besoin d'achever la construction du plan tangent; car la droite (GH, G'H'), qui doit etre dans ce plan tangent, et qui se trouve deja dans le plan de la courbe, serait Evidemment la tangente demandee.
609. De la on conclura aisement la normale de la surface gauche au point (G, G'); et en construisant de meme les autres normales pour divers points de la
