LITRE VII. — DES SURFACES GAUCRES

portion (M'N^ MN) dela generatrice, on obtiendrait ud paraboloide hyperbolique (n^ 595 )y qui serai t propre a former le joint normal die^ cette petite voute.

§ 4* ^^ HeUcoides gauches.

610. {Fig. 124.) Apres avoir construit une helice a base circulaire (ABCD. .•, A'B'CD'H'A^H"), imaginons une droite mobile (AO, AV) qui glisse sur cette helice et surson axe (0, O'Z'), enfonnani (taiUeurs un angle constant avec eel a^e : nous produirons ainsi un helicoide qu'il ne faut pas confondre avec theUcoide d^eloppable deja considere au n^ 456 ; car celui dont il est ici question est gauche, comme nous allons le demontrer, apres avoir appris k construire les diverses positions de sa genera trice.

611 . Pour obtenir celle qui passera par le point quelconque (F, F') de Thelice, prenons sur I'axe vertical un intervalle a/\ egal a la difference de niveau des points (F, F') et (A, A'), et la droite (F/', FO) sera la generatricedemandee; car elle formera, avec I'axe et le rayon du cylindre qui aboutirait au point (F, F'), un triangle rectangle evidemment egal a AVO' : de solrte que les angles aux sommets de ces deux triangles seront bien les memes, comme Texige la loi de mouvement citee plus haut. Mais, pour rendre cette operation plus uniforme et plus simple, on observera que le trace de Thelice primitive a dejk conduit (n^ 451) a diviser la circonference ABCH.., et le pas de Thelice A' A" en un meme nombre de parties egales, ici quatorze; par consequent, si Ton commence par marquer sur Taxe vertical, a partir du point a', des intervalles a'b\ h'c\ dd\ rfV, e!f\ . . . , tons egaux aux divisions dii pas de I'helice, il n'y aura plus qu'a joindre par des droites les points correspondants B' et h\ C et d , D' et rf',..., pour obtenir les projections verticales B'ft', CV, D'rf', . . . , des diverses generatrices projetees horizontalement sur les rayons BO, CO, DO , . . . .

612. D'apres cette construction, il est evident que deux generatrices, quelque rapprochees qu'elles soient, ne se trouveront jamais dans un meme plan. Car, i^ elles ne sont point paralleles, puisque leurs projections horizontales se coupent en 0; 2^ elles ne se coupent pas, puisque les points situes sur la verticale y seront places k des hauteurs diiferentes : done cet helicoide est une swrfojce gauche.

615. Puisque les divers triangles rectangles formes par chaque generatrice avec Faxe et le rayon du cylindre qui aboutit au point correspondant de Thelice, sont (n^ 611) tous egaux a Ma'0\ il s'ensuit que la portion de la droite mobile, comprise entre Taxe et Tbelice directrice, conserve toujours la meme longueur; par consequent, on pent aussi regarder Thelicoide gauche qui nous occupe, comme engendr^ par une droite de longueur constante (AO, A' a') qui glisse sur une hdlice a hose circulaire et sur son axe.

614. Dans ce mouvement, oil la longueur de la generatrice et son inclinaison sur I'axe demeurent in variables^ il est evident qu'un point quelconque (a, a') de cette droite mobile, reste a une distance constante aO de I'axe vertical (0, O'Z'),

GHAP1TRE y. — RXCHPLBS DE SURFACES 6AUCHES. ^49

c'est-Ji-dire que ce point se meut sur le cylindre droit -qui a pour base le cercle aSy.... En outre, eomme les deux extremit^s de la g^neratrice s'el^vent, a la fois, d'une quantity 6gale afb\ ou afc\ ou a'd\..., il en sera de inline du point (a, a'), dont les ordonnees verticales, comptees a partirduplan horizontal a!(^\ seront toujours egales aux ordonnees du point (A, A') au-dessus du plan A'O'. Or celles-ci sont, par la nature de I'helice que parcourt le point (A, A'), proportionnelles aux arcs AB, AC, AD,..., ou bien aux arcs aS, ay, ac?,...; done aussi ces derniers sont proportionnels aux ordonnees des positions qu'oecupe le point (a, a!) au-dessus du plan horizontal o'oi)', lorsqu'il se projette successivement en S, y, c^,... ; par consequent (n® 446), la courbe

decntepar un point quelconque (a, a')dela generatrices pendant son mowement^ est une helice de mime pas que Vhdlice primitive ^ mais tracee sur un cylindre concentric que au premier.

Pour construire cette helice, il suffirait, apres avoir d^crit le cercle du rayon Oa, de projeter les points S, 7, c^,..., en S', 7', <^,..•, sur les generatrices dejk trac^; mais, afin d'eviter la rencontre de lignes trfes-obliques, il vaudra mieux couper ces generatrices par des horizontales elevees au-dessus de a'co^ de 1,2, 3>---f fois I'intervallea'6'.

615. D'aprfes cette propri^te, on pourrait aussi definir Thelicoide gauche comme engendre par une droite qui glisse constamment sur deux hdlices concentriquesj de rayons indgaux^ mais de m&m^ pasy et sur Paxe commun de ces deux courbes. Par la, on assignerait trois directrices a la surface, et les autres conditions enoncees aux n^ 610 et 615 se trouveraient remplies d'elles-memes.

616. II est evident que Thelicoide gauche admet encore une nappe supdrieure^ laquelle serait engendree par le prolongement a!\]' de la droite {a!A!y OA) qui a dejk decrit la nappe inferieure, Cette derniere est la seule que nous ayons voulu representer ici, afin d'en laisser voir plus distinctement la forme; toutefois, nous ferons observer que non-seulement les deux nappes auraient de commun la droite (0, O'Z'), m^\^ qu^ elles se couperaient encore suis^ant une ou pbisieurs helices demSme pas que r hdlice (ABCD, A'B'C'D'.--). En effet, si Ton compare deux positions de la gen^ratrice qui soient situees dans le meme meridien, telles que (AO, A!a'\i') et (OH, h'W)^ on voit qu'ellesse coupent en un point u! commun aux deux nappes, et qui restera constamment sur Tune et sur Tautre, lorsqu'il sera entrain6 par le mouvement simultane de ces deux droites autour de Taxe. Or nous avons demontre (n^614) que, dans ce mouvement, un point quelconque a' ou u' de la gen^ratrice decrivait une helice concentrique avec (ABCD, A'BX'D'...) et de m^me pas que celle-ci : done, c'est bien une telle courbe qui formera Tintersection des deux nappes de rhelicoide; et il existerait d'autres sections analogues, si Ton prolongeait les generatrices assez loin pour que A'a'U' rencontrat h^W^ h^Wy...^ ea des points u!\ u"",..., qui d^criraient encore des helices communes aux deux nappes.

G^omitrie Leroy. . 3 2

a5o |JVft|{ VII. — DDK SVftrACIES fiAt'CHES,

617. {Fig. I «40 Bepresentation gritphique delasurface. Elle est donnee par Xtn^ semble des generatrices successives que nous avons construites; etsi Ton restreinl rhelieoide a sa nappe infirieure, et que I'ou termine les generatrices aux points oil elles s'appuient stir Thelice directrice (ABCD,...» A'B'CD'...), le contdur apparent de la surface, sur le plan horizontal, se reduira au cerde ABCHLA.

Quslntau plan vertical de projection, le contour apparent se composera d*aboni des portions A'B'CD'G'H'L' et P'Q'A"B"C'T"H"L" de Thelice directrice; puis, de di verses courbes symetriques X'Y'B', a?'yL', X"Y"B",..., qui seront les erweloppes des projections verticales des generatrices. En effet, les droites A'a', B'6', C'c', D'rf', formant avec Taxe O'Z' des angles qui vont toujours en diminuant, produiront par leurs intersections successives un polygone dont la convexite sera tournee vers I'axe; etsi Ton con^oit ces generatrices multipliees indefiniinent, ce polygone deviendra une courbeX'Y^B', tangente k chacune de ces droites, et qui aura pour asymptote la generatrice particuliere d S! dont Tinclinaison sur Taxe est maximutn en projection verticale. Gette courbe touchera aussi I'axe 0'Z\ qui est lui-meme la projection d'une generatrice de la surface, en un certain point X\ situe entre d' et e'\ puis, elle continuerait a avoir pour tangentes les prolongements des generatrices E'^', pys G'^\ Whly dont la derniere serait une nouvelle asymptote. Mais, comme ici la nappe superieurede Thelicoide n'existe pas, la courbe enveloppe des generatrices se reduira a la partie comprise depuis le point X', jusqu'au point (situe vcrsB') Ott la g^deratrice de rhelieoide se trouve en projection verticale, tangente a la sinusoide A'B'G'D'; seulement, dans cette derniere partie, la courbe enveloppe seconfondra sensiblement avec la droite B' h\

De meme, la branche cdyV du contour apparent se tracera en la rendant tangente a Taxe entre les points n', p\ et tangente aussi aux generatrices n'N', m'M', TL', jttsqu'acequ'elletouchelasinusoideH'L'M'; etsi Ton devait la prolonger plus loin, elle aurait pour asymptote la generatrice A'H'. Enfin, on oparera semblablement pour les autres branches X^Y'B", x"f\!' (*).

618. Sections remarquables. Si Ton coupe Thelicoide gauche par un plan oiene suivant I'axe (0, O'Z'), on aura ^videmment pour section des lignes droites, qui seront autant de positions diverses de la generatrice ; etsi Ton employait, pour cou* {)er la surface, un cylindre vertical aSy&Xi:, concentrique avec Th^lice directrice, il r^sulte de ce que nous avons prouve au n^ 614, que la section serait une autre h61icea'6'y'(^X'7r'..., dememe pasque A'B'C'D'L'P'....

619. Maintenant, coupons Thelicoide par un plan horizontal quelconqueG"a^K".

(*) Nous conseillons ici de tracer les courbes X'Y'B', x'/L',...^ en les rendant simplement Ungentes & la sinuso'ide et aux projections des g6n6ratrices^ parce que ce proc6d6 offrira toute la precision graphique que Ton peut d^sirer, en muitipliant suflSsamment les generatrices qui sont trte-fladles k conflftruire. Cepen> dant, si Ton voulait deierminer les points de contact de cette conrbe, il p'y aurait qn*^ mener par chaque generatrice un plan perpendiculaire au f.lan vertical; puis, chercher le point oO ce plan serait tangent a rhelieoide, en eniployant la methode que nous exposerons au n"" 627 : alors, la suite de tous ces points de contact appartiendralt rigoureusement au contour apparent X'Y'B' de la surface: mals cette marche serait trte-laboriettse.

CIIAPITSK T. — BXmPLBS DB SCBFAGBS OIVCHES. dSf

llsufiira de projeter, sur le plan horizohtal, les points G", W", i'\ S",..., oil lepUn secant rencontre les projections verticales des generatrices de la surface, et Ton obtiendra laspirale OIKSeWG.-m qui s'ikendrait indefiniinentt si Ton prolongeait assez loin les generatrices suivantes h"B!\ /''L",.... D*atlleurs, si la nappe superieure (n° 616), formee par le prolongement des droites Wr\ Q'y',..., e^istait ici, elle serait coupee par le meme plan (i"a!'W\ suivant une autre branche Oii;c^... appartenant a la meme spirale, et ces deux branches auraient pour tangente commune le diametre AOH; car les rayons OKC, GIB soht des secantes dontles deux points do section avec la spirale se reuqissent en un seul 0, quand on arrive a la position OA.

620. La section que nous venous d*obtenir est uae tpirak (T Archimede. En eilFet« d*apres la manifere dont nous avons construit (n^ 611) les generatrices de Thelicoide, chacune de ces droites a pour diffiereace de niveau, entre ses deux extremites, an intervalle constant egal a Q'a\ qui comprend ici six divisions du pas de Tbdlice; puis, comme les points F\ B", D'\..., sont au-des$otts du plao Q/'a!' de i» 2, 3>..m de ces divisions, il en resulte evidemment que, dans Tespace, 00 a

F'W = iP/% E"£" = |E"«", D"S" = f D"rf^....

Or, les projections horizontales de ces droites devant 6tre divisees dans U m^me rapport, on aura aussi