CHAPITRE v. *- EXFJIPLES OE SCRFACES GAVCHBS

se trouvera dans le plan tangent de la surface S. D'ailleurs, comme ce d^placement simultane de toutesles normnles altfere settlement la position de la surface 2, et non sa forme, il suffira d'examiner quelle est la nouvelle surface 2' produite par les diverses droites MT, M'T\ M"T", ..., qui sont tangentes k S, et qui satisfont en outre k la condition d'etre tontes perpendicidaires a la g^neratriceG.

Pour cela, je fais glisser la droite G sur trois quelconques de ces tangentes, savoir : MT, M'T', M"!"'; et, comme ces directrices sont evidemment paralleles a un meme plan, je forme ainsi un paraboloide (n^ 553) qui, ayant les memes plans tangents que la surface S aux points M, M', M', touchera cette surface (n® 575) tout le long de GMM' . Or je dis que les auires tangentes M*'T'^, . . . , sont pareillement situees sur ce paraboloide; car si je le coupe par un plan perpendiculaire kGM et mene par le point IW, on sail (n^ 551) que la section sera une droite M^'R qui, it cause da raccordement etabli entre S et le paraboloide, se trouvera contenue dans le plan tangent de la surface primitive S, c'est-k-dire dans le plan GM*'T"' : d'ofe 11 suit que les deux droites IWR et WV coincideront entierement, puisqu'elles seront Tune et Tautre perpenJiculaires k GlVr, et placees toutes trois dans un mfime plan GM'^T*'. Done WTT est bien situee sur le paraboloide que nous avons construit avec les trois premieres tangentes. D'ailleurs, comme ce raisonnement s*appliquerait k toutes les autres tangentes de S, pcrpendiculaires a la g6neratrice G, il demeure prouve que la surface 2', lieu de ces tangentes, est un paraboloide hyperbolique;, et la meme conclusion s'etend a la surface 2, formee par les normalesMN, M'N',..., puisque celle-ci ne differe de 2' que par sa position dans Tespace (*).

Ce tb^oreme, remarquable par sa grande generalite, puisqu'il subsists pour toutes les surfaces gauches, servira k assigner la nature de& joints normauxdans les voutes ou la douelle sera gauche, et a pr^voir aussi la forme des sections faites dans ces joints par ces divers plans.