FW = |FO, E£ = |EO, DS=|DO
ou bien
OI = i-OB, OK = |OC, OS=:|OD,....
D'apres cela, on voit que, pour un point quelconque W de la spirale, on aurait la
relation gen^rale
DW AF pa
OF=AG^ ^^ R = iV
en appelant p le rayon vecteur de ce point, u Tangle corrpspondant mesure dans le cercle qui a pour rayon Tunit^, et R le rayon donne OA. Ainsi, puisque Tequation precedente prouve que p et a croissent proportionnellement, la courbe est bien une spirale (TArehimide; mais pour y introduire, suivant I'usage, le rayon vecteur constant R' qui correspond a la premiere revolution totale, il n'y aura qu*a prendre
R'=:i4R, etilvien4ra /> = R— •
La fraction ^ exprime ici le rapport du pas de Tbelice A' A'', avec la hauteur O'rf que nous nous sommes donnee arbitrairement, pour fixer la premiere generatricc de FlieUcoide gauche*
621 . {Fig. 1 24* ) Duplan tangent pour un pomt donni sur une generatrice quelconque (DO, H'd'). Supposons d'abord que le point assigne soit (D, D'), sitqe* sur Fhelice directrice : alors, en tirant la droite DT 6gale i Fare AD, et perpendiculaire
^^2 LIVBS VIL — MES SDBFAGES GAUCHES.
surDO, on sait (n^ 449) que le point (T, T') sera le pied de la tangente a Fhelice; par consequent, le plan tangent relatif au point {D, D') se trouvera determine par I'ensenible des deux droites (DO, D'rf') et (DT, D'T'), et ce plan aura evidemment pour trace horizontale la ligne VT.
Maintenant, soit (^, ^) un point quelconque de la menie generatrice. On sait (n** 614) que par ce point il passe une helice dont la naissance (a, a') se determine en decpivantl'arc c^a, et projetant a en a' sur la generatrice Aa\ D'ailleurs, sans tracer cette courbe, sa tangente est facile a construire ; car, si aprfes avoir mene la droite TO, on tire &d parallele a DT, il est evident qu'on aura &S = &a: done, en projetant 6 en 6' snrXe plan de naissance (da^' ^ on obtiendra le pied (d, ^') de la tangente cherchee, qui sera (c?S, c^S'). Cela pose, le plan tangent au point (c^, c^) de rhelico'ide, devant contenir cette tangente ainsi que la generatrice (c^O, $' d') qui vient percer le plan horizontal uiloi au point (^, §'), il aura evidemment pour trace, sur ce plan de naissance, la droite |d ; et sur le plan horizontal primitif, sa trace sera Yr, parallele a ^0.
On opererait semblablement pour un nouveau point (({;, ^l^') de la generatrice (DO, D'rf'), en employant toujours le triangle rectangle TOD, dans lequel on tracerait, parallelement k DT, la droite ^^ qui fournirait le pied (^, ^') de la tangente a rhelice passant par le point ((p, ^').
622. II importe ici de remarquer que, pour tons les points d' une mime genera-^ trice (DO, D'rf'), les triangles rectangles TDV, fic?^,..., auront des hoses egales DV = &^= ... En effet, la hauteur du point (D, D') au-dessus de (A, A') est evidemment la meme que celle du point (c^, e^) au-dessus de (a, a'); par consequent, les portions D' Y' et &'S,' de la generatrice sont egales, et il doit y avoir aussi egalite entre leurs projections horizontals DY et c^|. Mais Tangle a la base, Y ou ^, de ces triangles est variable; tandis qu'il serai t constant et la base variable^ pour les divers points d'une meme helice, attendu qu'en passant du point D aux points G, B,..., les cotes DY et DT varient dans le meme rapport.
Il resulte de la que les plans qui touchent Thelicoide dans les divers points d'une meme helice sont egalement inclines sur le plan horizontal.
625. Obseryons encore que, pour tons les points d'une meme generatrice (DO, D'rf'), to pieds des tangentes aux helices sont tous situes sur la droite (TO, T'a'), ce qui permettrait d'obtenir la projection verticale Q' sans recourir (n^ 621 ) au plan de naissance a'w'. En effet, les hauteurs des deux points (0, a') et (5, 5') au-dessus du plan horizontal primitif fournissent evidemment les rapports egaux
