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or Tegalite entre la premiere et la derniere de ces fractions indique que les ordon^* nees verticales des points (0, a') et (S, 9') sont proportionnelles a leurs abscisses compt^es du point (T, T'); done ces trois points se trouvent en ligne droite. 624. 11 suit de la que les tangentes (DT, DT), (<?9, (^fi'), (^?, f ^')--^ a«x
GDAPITBB V. -— smVUS BB SITBPA€BS eAU€HE8. ^53
helices decrites par les divers poiots de la generatrice (D0» 'D'd')^ s'appuient toutes 8ur les deux droites fixes (TO, T'a') et (DO, D'tf) ; et d'ailleurs» comme ces tangentes soDt evidemment paralleles a un meme plan vertical DT, il en resulte (n® 549) qu'elles forment, par leur ensemble, un parabohide hyperboUque qui touche la surface de Fhelicoide tout le long de la g6neratrice (DO, Wd').
625. C'est a ce resultat que nous serious parvenus si, d*apres la methode generale du n^ 577, nous avions voulu former V hyperboloide de raccordement le long de la droite (DO, M'd') ; ear, en definissant rhelicoide comme au n^ 615, par le moyen des trois directrices (ABCD..., A'B'CD'...), (a€yc^..., a'6Y^---)» (0, O'Z'), cet hyperboloide auraiteu lui-meme, pour directrices, les droites (DT, D'T'), (c^S, ^6'), (0, O'Z'); et puisqu'elles sont evidemment toutes trois paralleles a un meme plan vertical, cette derniere surface degenere (n^ 553) en un paraboloide byperbolique, qui est celui dont nous avons parle tout a Theure.
626. Ce paraboloide a pour plan directeur du premier systeme de generatrices, leplan vertical DT; quant au second systeme, le plan directeur devrait passer par (TO, T'a') et par une parallele k (DO, D'rf'). Or, si Ton fait partir cette parallfele du point (0', a'), il est aise de voir qu'elle ira percer le plan horizontal en D; de sorte que TD sera encore la trace horizontale du second plan directeur, et il sera incline d'une quantite angulaire egale k ofA'O', ce qui acheve de fixer sa direction. On voit ainsi que les deux plans directeurs sont k la fois perpendiculaires au plan vertical OD qui contient la generatrice de Thelicoide; d'oii Ton peut conclure que t'cuve du parabohide (n^ 572) est horizontal et parallele a DT.
Pour toute autre generatrice que (DO, D'd')^ il est evident que le paraboloide de raccordement demeurerait constant de former et prendrait seulement une position analogue par rapport a la nouvelle generatrice.
627. {Fig. 1:24.) Troiwer U point de contact de VheUcoide gauche ^ OA^ec un plan donne qui passe par une gineratnce connue. Ce probleme, qui serait utile dans la Perspective et les Ombres^ pour trouver la courbe de contact de Thelicoide avec un cone ou un cylindre circonscrit a cette surface, pourrait se resoudre comme on I'a indique n^ 585 et 587; ou, plus simplement, par les precedes des n^ 586 et 588, si Ton commeufait par substituer a Tbelicoide le paraboloide de raccordement le long de chaque generatrice. Mais les operations graphiques sont encore tres-laborieuses, et nous aliens donner une methode beaucoup plus courte, fondee sur la remarque du n^ 622 (*).
Soit y f la trace horizontale du plan donne qui passe par la generatrice (DO, H'd) ; apres avoir construit le triangle rectangle TDO, qui determine la tangente de The- Uce au point (D, D') de la generatrice proposee, menez par le point t une parallele tQ k DO, puis une perpend iculaire Q^\ cette derniere fera connaitre le point [d, (^) od la plan donn^ touche Fhelicoide. En effet, pour construire le plan tangent relatif
(*) Cette m^tbode a ^t^ indiqu^e dans le Traite des Surfaces reglees par M. Gascheau, ancien ^Idve de VEcole Polytechnique.
s54 LivBE Tfi. — im simvAdss GArrnKs.
a ce point {&, i^), il faudrait (n^ 621 et 622) tirer. dans le triangle ODT, la droilit* e^fl perpendiculaire sur &0, puis prendre &^ egale k DV, et la ligne 9§ serait la trace de ce plan tangent sur le plan de naissanee «'&>' de Thelice passant par (^, e^). Or il est evident que, d'apres les constructions employees ci-dessus, la ligne $S, se trouvera parallele k Y/; ainsi, le plan donn^ et le plan tangent pour le point {^, &') auront leurs traces horizontales parallfeles, et, comme ils passent tous les deux par la droite (ODV, d'D'V), ils co'incideront certainement Tun avec I'autre.
628. HELICOIDE a plan directeur. La definition gen6rale du n® 610 suppose que ^ droite mobile glisse sur une helice et sur son axe^ enformant avec ce dernier un angle constant^ mais quelconque : lorsque cet angle est droits toutes les positions de la gen^ratrice se trouvent evidemmentpara/fe'fe^ au plan horizontal qm deyient ainsi un plan directeur de la surface; et celle-ci, toujours^awcAe, rentre alors dans le genre desconoides droits (n** 520). II est facile de voir comment toutes les propriites reconnues dans Thelicoide gauche general se reproduiront, avec des simplifications remarquables, dans riielicoide particulier qui nousoccupe; c'estpourquoi nous nous contenterons d'indiquer la forme de ce dernier, en employant un seul plan de projection, comme dans laySg^. 126, qui doit nous servir plus tard a repr6senter une vis. On y aper^oit Thelice directrice ABCDE..., et les diverses positions Ao, Bi» C:2,...» de la droite mobile; puis, on demontrera plus facilement encore qu'au n® 614, que tout point a de la gen^ratrice decrit une helice aSyc^s... concentrique avec laprendire^ et qui a fe mime pas etle mime plan de naissanee que celle-lk.
629. Quant au plan tangent de cet helicoide, pour un point assigne sur une generatrice, il se construira aussi en cherchant, comme au n® 621, le pied de la tangente a I'helice qui passera par le point donne; et ce pied se determinera encore au moyen du triangle rectangle ODT de la^?^. 12/i : mais, dans le cas actuel, les traces horizontales des divers plans tangents le long de la generatrice 01), partiront des points T, 6, f ,..., etseront toutes paralleles a OD, puisque cette droite horizontale se trouvera commune k tous ces plans.
630. {Fig. 124.) D'ailleurs, la droite (TO, T'a'), sur laquelle et^ient situ^s (n*^ 623) les pieds des tangentes aux diverses jbelices, se reduira icji a Ija ligne TO tracee dans le plan horizontal; et le paraboloide de raccordemefit (n'''' (B21' et 626) aura pour ses deux plans directeurs le plan vertical DT et le plan ^prizontal luimeme.
631 . Enfin, le problfeme du n® 627 se rteo^dra biea sin^pleaiant icU puiaqiufi etant donnee pour trace horizontale du plan assigne, unp droite t0 parallele k OP, le point 6, oil cette trace rencontrera la ligne TO^ perai^M^a de tirer la perpeodiculaire 0&, qui fera eonnaitre le po^nt 4e contact & qifp Ypn chierch^t.
La surface dont nous parlous ici est employee, non-seulement pour former la vis k^t rectangukure^ mais encore dans les escaliers dits vis a jour circulaircf et vis a noyau plein.
GIIAPlTftB r. ^ EXEMPLES DE SUBFACES GAUCUES. 2l55
% 5. De la Vis a jiht triangidcdre.
632. [Fig. 125.) Imagiiions lin triailgle li^ocele aAa', dont la base aa' coincide toujours avee line arete d'un cylindre vertical a basfe cii^culaire, ^t d6nt le plan, palf»sant constaniinent par I'axe de ce. cylindre, tourhe uniform^ment autour de cfettfe droite; puis, concevons qUe ce triangle s'eleve en meme temps de quantites proportionrielles aux espaces angulaires decrits par soli plan mobile, et de telle dorte qu'au bout d*une revolution totale, le triangle generateur se soit 6leT6 d'une hauteur egale k sa base aa'^ c'est-k-dire qu'il ait pris la position a! k'(x!\ Alors, 1(9 solidb eng(Bndl*e pai* ce triangle tnobile sera X^JUet de la vis dont le cylindre primitif est le noyau.
HSf?. U est evident que, d'apr^s ces conditions et le n^ 446, le soromet A du triangle d^crit une h^liee ABCDEFA'B^.., qui appartient a un cylindre concentriqueavecle premier, etdont le pas estegal a aa'\ d'ailleurs, comme les cotes A a et ka! reneotltrent toujours Taxe, en faisant des angles constants avee cette droite, il en r^sulte (n*' 610) que les deux faces du filet sont des portions de deux heiicoides gaudies, dont la nappe superieure de Tun (n^ 616) forme la face inferieure du filet, tandis que la face superieure de ce filet appartient a la nappe inferieure de Tautre helico'ide.
634. Pour representor completement cette vis, il faudra d'abord construire (n'' 451), au moyen d*un plan horizontal que nous avons supprime ici, la projection verticale ABCDFA'B'*.. de Thelice decrite par le point A, en observant que fe pasAA' de cette hdlice doit Stre pris egal a la base aa' du triangle donne. Ensuite, les divisions ^gales de ce pas, qui sont ici au nombre de dia:, devront dtre reportees sur I'axe, k partir des points o et 1 6 oil cette droite est rencontree par les cotes A a et Aa'; ce qui produirait en general deux series distinctes de points de division : mais ici elles n'en forment qu'une seule, attendu que nous avons choisi le triangle Aaa\ de liianifere que ses cdtes comprissent, sur I'axe, un nombre exact des division^ du pas de I'helice. Cela pos6, en joignant le premier point de division B de I'helice aver ieis points i et 17, le poitit Cavec:? et 18, le point D avee 3 et 19,..., on obtiehdru ^yideminent les diverses positions du triangle gen6rateur.
635. Toutefois, il faut terminer ces droites aux points 6 et §', 7 et 7', ^ et ^\...^ 0(1 elles vont rencontrer le noyau cylindtique de la vis. Or, ceux-ci n'6tant autre chose que les positions successives prises par les points a et a^ du triangle mobile^ il resulte du n^ 614 que la courbe projetee sur aSy(pa'&... est une hdice de meme pas que ABCDFA'...; par consequent, on determinera cette nouvelle helice en coupant les generatrices iiidefinics par des horizontales menses des points 4 et i4« 5 et i5,6et 16,... D'ailleurs, comme le pointa'est common aux deux triangles aAa'et a' A' a*, il arrivera necessairement que Thelice aSyoaf&Y... sera aussi produite paf les intersections des cotes B& et B'S', Cy etC'7',..., c^qui offrira une verificatioh des constructions pr^cedentes. Cette helice formera ainsi rar4ie rentrante de la vis, landis que C arite saiUaMe sera rhelice projetee sur xYBCDFA'...
.356 MVBE VII. ^ DES SCRFACBS GAUCHBS.
636. [Fig. 125.) Quant au contour apparent des deux faces du filet, on doit bien observer qu'il n*est pas forme par deux generatrices rectilignes, mais par deux courbesXY etay, qui sont (n** 617) les erweloppes des projections des generatrices, et qui ont pour asymptotes les generatrices particuliferes A a' et A' a'. Toutefois, vu que les portions des deux helicoides gauches qui forment le filet sont peu etendues et assez 61oignees de Taxe, les lignes XY et xy pourront etre ici tracees approximativement comme deux droites convergentes avec a' A et a' A', et qui devront toucher, Tune les deux arcs AYB et a'X' 6', Tautre les deux arcs A'jFet a'xtf. D'ailleurs, de ces deux branches du contour apparent, la premiere XY cache une partie de la seconde xy, laquelle doit alors se terminer en un point z, situe a la hauteur de a', k cause de la forme sym6trique de ces deux courbes.
Ces remarques, qui s'appliquent k chaque angle rentrant du filet situ^ k gauche, et qui se reproduiront d'une maniere inverse pour les angles rentrants situes a droite, suiiisent sans doute pour que le lecteur se rende compte aisement des diverses ponotuations par lesquelles nous avons exprime, sur notre epure, les parties visibles ou inmibks de la vis en question. Nous ajouterons seulement que le rectangle UYvii represente le parallel ipipede qui forme la tete de cette vis.
% 6. De la Vis a filet carrd.
637. {Fig. 1^6.) Le filet de cette vis est engendre par un rectangle AoXL dont leplan, qui passe par I'axe d'un cylindre droit et circulaire, tourne uniformement autour de cet axe, tandis que le rectangle s'eleve le long des aretes du cylindre, de quantites proportionnelles aux espaces angulaires decrits par son plan mobile. II en resulte ^videmment que les points A et L d^crivent, dans ce mouvement, deux helices egales, dont le pas commun AA' ou LL' pent etre choisi arbitrairement, pourvu qu'il egale au moins le double de AL, afin de laisser un libre passage au filetsaillant de Tecrou qui engrene avec la vis. D'ailleurs, les deux c6tes Aa et LX, qui s'appuieront toujours sur ces helices et sur Taxe, en coupant celui-ci sous un angle droit, engendreront des faces gauches qui appartiendront (n^ 628) k des hilicoides apian directeur; tandis que le cot^ AL decrira une zone cylindrique, qui terminera ext^rieurement le filet de cette vis.
638. Pour representer graphiquement la vis a filet carre, il faut d'abord construire les deux helices de meme pas ABCDEFA'F'... et LMNPQRL'R'..., en se servant (n^ 451) d'un plan horizontal que nous avons supprime ici; puis, tracer semblablement sur le cylindre du noyau les deux autres helices aSy&€(pa\.. et Xjx^jo..., qui sont produites (n^ 628) par les points a et X, et dont le pas commun oca' doit 6galer AA'. Ces deux derni^res courbes sont les intersections du noyau de la vis avec les faces inferieure et superieure du filet, et elles servent a limiter les portions des generatrices BS etM/x, Dc^ et Ptt, Ycf etRp,..., qui appartiennent k ces deux faces gauches. Enfin, on pourra ajouter quelques-unes des aretes du cylindre ext6rieur, telles que BM, CN, DP,....
CHAPITRB V. — EXEMPLES DE SURFACES GAUCUES. ^Sn
639. Parmi les diverses lignes dont nous venons de parler, le lecteur discernera aisement celles qui sont visibles de celles qui se trouvent cachees. Nous avons trace les unes et les autres completement dans la premifere spire du filet, en les ponctuantd'une maniere convenable a leur position; mais, dans les autres spires, nous n'avons conserve que les lignes visibles, afin d'offrir ici un resultat tout a fait conforme a celui que presenterait au spectateur la vue de I'objet en relief.
§ 7- i)u Conoide de la voAte d'arites en tour ronde.
610. [Fig. 127.) En ^cartant les circonstances qui sont specialement relatives ^ la stereotomie, la question se.reduira ici a trouver Tintersection d'un tore avecun conoide, courbe dont les tangentes donnent lieu a des recherches nouvelles, et qui trouveront des applications utiles dans la Coupe des pierres. Le tore est engendr^ par la revolution du demi-cercle B'C'6' qui, releve dans le plan vertical B'o), tourne autour de la verticale g>), et forme la surface inteneure de la voute principale qu'on nomme un herceau toumant. Une porte pratiquee dans cette premiere voi]lte, et limitee aux plans verticaux F/ et G^ qui convergent vers Taxe de la tour, est recouverte par un conoide dont la gen^ratrice rectiligne demeure toujours horizontale, en glissant sur la verticale o) et sur une seconde directrice form^e de la manifere suivante. On rectifie Tare AOD suivant sa tangente aOrf, et sur cette droite, comme grand axe, on decrit une demi-ellipse A"C"D" dont le demi-axe vertical 0"C" est ^gal au rayon OB ou O'B' du tore; puis, en imaginant que cette ellipsCt placee d'abord dans le plan vertical aOdy soit rouUe sur le cyUndre droit AOD ^ de manifere que ses abscisses coincident avec les arcs de cette circonference, et ses ordonnees avec les aretes verticales du cylindre, cette ellipse deviendra une ligne k double courbure projetee sur AOD, et que Ton adopte pour la seconde directrice ou pour la base du conoide.
641. Cela pose, pour obtenir Tintersection de ce conoide avec le tore, coupons ces deux surfaces par divers plans horizontaux. Celui qui passera par le point M' du meridien Ji'Cb\ coupera avec le tore suivant deux cercles decrits avec les rayons wF jet wp'^ puis, si Ton cherche sur Tellipse les points M" et N'' qui sont a la meme hauteur que M', et que Ton prenne les arcs OP et OQ egaux aux abscisses 0"P" et 0''Q'', les points P et Q seront evidemment les projections des points ou la base du conoide est rencontree par le plan secant horizontal; et, par suite, les sections faites dans cette surface seront deux droites projetees sur a>P et wQ. Or ces droites rencontrent les deux sections circulaires en quatre points M, m, N, n, qui appartiennent k Tintersection des deux surfaces, laqueUe se composera de deux branches a double courbure, projetees horizontalement sur GMO/j/'etFNO/n^.
642. Observons, i^ qu'en prolongeant le conoide en arrifere de Taxe vertical oj, il rencontrerait une seconde fois le tore suivant deux autres branches GaOs/a et FaOa^a, qui sont symetriques avec les premieres et se construisent par les m^mes operations; ^^ que les deux nappes du conoide sont censees terminees ici aux deux
GSometrie Lerojr, ^^
a58 Liviuc VII. — DEs surfaces gauches.
cylindres verticaux B'GBF..., et b' ghf... qu'elles coupent suivaot dcs courb^s ?i double courbure, qui ne sont autre chose que des ellipses roulees sur ces cylindres, et ayant toutes pour demi-axe vertical le rayon du tore : c'est cc qui resulte evideinment de la proportionnalite des arcs horizontaux BG et BF, ou bg et hf, avec les arcs OA et OD; 3** que, pour faire servir le tore et le conoide a former une vodte d'arites^ il faudrait supprimer entierement toutes les portions interieures des generatrices rectilignes et circulaires, lesquelles sont ici ponctuees comme etant invisibles.
645. [Fig. 127.) II estk remarquer que cbacune des courbes planes, telles que GO/, qui rQQoivent la projection horizontale des courbes d*arete, est .une spirale d'Archimede. En effet, d'apres la construction qui a fourui (n^ 641) le point quelconque M, Tare OP et la droite PM sont respectivecnent ^g^ux aux abscisses .O'^P" et O'F des deux points l\r et M', qui repondent a une meme ordonnee v^rticale dans Tellipse et dans le cerole meridien du tore ; or, ces deux courbes ayaat ^jn ^e vertical cominun, on sait que de telles abscisses sont entre elles dans ;le ^apport du ^and axe au petit axe : par consequent, nous aurons la proportion
OP:PiM::OA:OB.
Mais, si Ton prend un arc OX qui soit avec OA dans le rapport wO avec OB, nous pourrons remplacer la proportion precedente par celle-ci :
OP:PM::OX:Oa.; et enfaisanl la somme des antecedents el celle des consequents, il viendra
XP:«M::XO:wO,
r6sultat qui montre que le rapport de Tare XP au rayon vecteurwM demeure constant pour tous les points de la courbe GOM/« ; par consequent, cette courbe est une spirale d'Archimfede, dont Vorigine est sur le rayon wX qu'elle touche en se prolongeant suivant une autre branche coy, sym6trique de la premiere. Pour avoir le pas de cette spirale, c*est-Ji-dire le rayon vecteur qui correspond k une revolution entifere, il sufGra de construire une quatrifeme proportionnelle & aux trois lignes suivantes : Tare XO, la circonference totale, et le rayon wO; alors on pourra, selon Tusage ordinaire, compter sur la circonference du rayon c^ les arcs qui mesurent le mouvement angulaire du rayon vecteur mobile.
644. La courbe FO^wy est aussi une spirale d'Archimfede dont Torigine est sur le rayon w^, et qui ne coincidera avec la prec6dente qu'autant que Tare OX se trouvera egal a un quart de cercle; pour obtenir cette coincidence, il suffirait de prendre la demi-ouverture OA de la porle telle, qu'elle eut avec le quart de cercle le mSme rapport que OB avec Oo). Enfin, les deux autres courbes 0302/2 et Fa 02^2 appartiennent encore k deux nouvelles spirales d'Archimede, qui
CHAPlTttE V. — EXEMPLES DE SURPAGBS GA17CHES. 21 Sg
touchent les memes rayons XoaX, et ?c«)^2> nfi^is <iui ont une situation oppos^e aux premieres (*).
645. [Fig. ia'7.) Ld tangente en un point quelconque M sera donn^e par Tintersection du pfan tangent an tore avec le plan tangent da conoide. Or le premier de ces plans a pour trace borizontale la droite YK, perpendiculaire ^ coM, laquelle s'obtient en ranoenant en V le pied T de la tangente M'T' du m^ridien eirculaire; quant au second plan tangent, il faut d'abord constrnire (n^ 580) un paraboloids qui raccordele conoide tout le long de la g^n^ratrice wPM. Pour cela, je mfene la tangente WT" a Tellipse plane; puis, en roulant cette courbe (n^ 640) sur le cylindre vertical DOA, la sous-tangente deviendra PT = P^T, de sorte que T sera le pied de la tangente au point P de la bizse du conoide : alors la generatrice a)P du paraboloide auxiliaire, qui doit glisser sur cette tangente et sur la verticale cd^ en demeurant toujours borizontale, prendra U position gjT quand elle arrivera au pied de cette tangente. Cela pos^, si je coupe les deux generatrices eoP et coT par le
(*) L*ana]yse conduit aassi k ces r^ultats; car, si Ton adopte pmir axe des jc la droite 6>0B, une perpendiculaire k celle-ci pour axe des j, et en6n la verticale a» pour axe des z; puis, si Ton pose
«0 = /, OB = R, OA=(rA''=fl, on trouvera (Analyse appliqude^ chap. XIV) que les ^uations du tore et du couoYde sont
Alors, en ^liminant z, il viendra, pour la projection horizontale de Tintersection de ces deux surfaces,
Nous simplifierons cette*^ Equation en y introduisant les coordonn^ polaires, au moyen des formutes X = r cosu, ^= r sintf ; car elle deviendra
sinic = ± sin ^ ^. — - 1
d'oft Ton conclut
OH bien
r=/d:5itt et r=/dt5/(tr-«).
Ces quatre Rations distinctes sont celles des quatre spirales construites dans notre 6pure; et pour ramener la premiere, par exemple, k Taxe polaire «X qui lui est tangent, il n'y a qu'a reculer Torigine des angles ir, qui se comptent ici k partir et k droite de la ligne 06>, en posant
« = B* - 1- J d'oii il r^sultera r = ~ u\
Cette dernidre Equation est bien celle d'une spirale d*ArchimMe, dont leg angles u* sont compt^ k partir du rayon «I; mais, pour y introduire le pas Ae cette spirale, c'est-ii-dire le rayon vecteur qui correspond k une revolution entidre, posbns'
— -— = d,. et il viendra r = ^^ « air
a6o LITRE VII. — DBS SURFACES OAVCHBS*
plan vertical MS, on salt (n^ 551) que la section sera une droite projetee sur MS et qui, jointe a la generatrice coM, determinera le plan tangent du parabolo'ide; done ce plan aura pour trace borizontale la ligne SK, parallele a coM. Maintenant, les traces SE et YK des deux plans tangents allant se couper en K, il en resulte que EM est la tangente cherchee.
646. Cette methode ne pent plus s'appliquer immediatement ^n point multiple 0, parce qu'en cet endroit, les deux plans tangents devenant horizontaux, ils coincident entierement, et leur intersection reste indeterminee. Mais, si Ton cherche a evaluer Tangle VME = Q que forme une tangente quelconque avec le rayon vecteur correspondant, on trouve d'abord
