LlVftf: VIII. -— COURBVBE BBS LIGNES IT DES SURFACiSS

Q'S', Q'^S",.,., des plans normaux; et ces droites, qui se coupent evidemment deux ji deux, forment ainsi (n® 178) Varite de rehroussement UV de cette surface developpajble. D'ailleurs, puUCfue chaque generatriee QS est perpendiculaire au plan osculateur coFrespandant MM'M", et passe par le centre de courbure oil se coupent les deux normales egales KO etK'O, il en resulte evidemment que les angles KDO et K' DO 9 formSs par deux tangentes de la ddveloppee a/^ec la gSneratnce intermddiaire QS,.w/ir egaux; et, par suite (n®187), on pent affirmer que chaque devehppde DD'P''... deviendra une Ugne droite, quand on developpera la surface polaire envek>ppe des plans normaux. Cela revient a dire (n^ 187) que cette developpee est la Ugne la plus courte qui puisse etre tracee sur la surface polaire, entre deux de ses points; par consequent, un til qui, attache en K, serait tendu et plie librement sur cette sur^ce developpabLe, prendrait de lui-meme la forme d'une des developpees KDD'D"..., puisqu'k causr le son elasticite, ce fil ne pourra demeurer en equilibre sur la surfece qu'autant qu'il aura suivi la route la plus courte.

( Q'apres cela, dit Monge^ on congoit comment il est possible d'engendrer^ par UQ ipouvement continu, une courbe qujelconque a double courbure. Gar, apres avoir execute la surface polaire touchee par tons les plans normaux de la courbe, si, du point don^6 dans Tespace et par lequel la courbe doit passer, on dirige deux fils tangents a cette surface, et si, apr^s les avoir plies sur la surface en les tundant, on Les fixe par leurs autres extremites, le point de reunion des deux fils, qui aura la facuUe de se mouvoir avec le plan tangent a la surface polaire, sans glisser ni sur Tun des f}ls ni sur Tautre, engendrera dans son mouvement la courbe proposee. »

659. II est interessant d'observer ici que la courbe UV, arete de rebroussement de la surface polaire, a pour plans osculateurs les plans normaux de la courbe pri^ mitive AMB; car les tangentes aSQ, a'S'Q' sont toutes deux dans le plan P'. D'oii it suit, d'apres la note du n** 655, que Tangle de torsion de UV estegal a Tangle de contingence de x\B ; et reciproquement. Tangle de contingence de UV est egal a Tangle de torsion de AB, attendu que les plans normaux de la courbe UV sont perpendiculeires aux tangentes aSQ, a'S'Q', et consequemment paralleles aux plans osculateurs de AB. Toutefois, il faut se garder d'etendre cette reciprocite a la grandeur meine de la torsion ou a /a cambrure de UV qui n^egalera pas la courbure de AB, non plus que la courbure de UV n'egalera la cambrure de AB ; car, d'apres le n^ 653, il resteraita diviser les angles indiques ci-dessuspar les elements respectifs aa' et MM\ lesquels ne sont pas, en general, de meme longueur.

660. {Fig. i3o») Lorsque la courbe AMM'... sera sphdriqu^^ c'est-a-dire situ^e entierement sur une sphere d'un rayon quelconque, tons les plans normaux P, P', P",..., iront passer necessairement par le centre de cette sphere, et leur enveloppe, qu la surface polaire qui est le lieu de toutes les developpees de AMM'..., se reduira ici aun cone dont le sommet sera place au centre de la sphere en question. Ce point unique pourra done etre consider^ comme ^tant une developpee particulifere de la courbe AMM'...; et en effet, un fil attache k ce centre pourra tourner autour de ce point sans s'allonger sensiblement, tandis que son autre ex-