CHAPITRE I. — GOVRBVEE ITT D1£vELOPp£e8 I»E8 LtG!tES

tremit^ demeurera sur la courbe AMM^.•, dont tous les points sont k une distance constante du centre.

661. Enfin, si la courbe AMM'..- ^taitpfan^, tous les plans normaux P, F, P*',..., seraient perpendiculaires au plan de cette courbe, aussi bien que leurs intersections consecutiVes QS, Q'S',...; de sorte que Tenveloppe de ces plans normaux se reduirait a un cylindre^ sur lequel seraient situees toutes les dd^^eloppdes quadmettrait encore la courbe plane AMM'. ... En outre, chacune de ces developp6es DD' D". . . serait alors une helice; car ses diverses tangentes, ou les rayons de developp^e KD, K'D',..., formeraient tous des angles egaux (n® 659) avec les droites paral- Ifeles QS, Q'S',..., qui sont les generatrices de ce cylindre. D'ailleurs, le Ueu des centres de courbure 00' 0^... redeviendrait ici une viritahle developpSe, puisque cette courbe serait la section droite du cylindre enveloppe, et qu'on peut dfes lors la regarder comme une helice dont le pas est nul : mais cette ligne 00' 0"... serait, parmi toutes les d6velopp6es de la courbe AMM'..., la seule qui fftt plane. Ainsi, par exemple {^g. 96), la spirale developpante de cercle ABCDL... a pour d^velopp6e plane le cercle A67(JX... ; tandis qu'elle admet pour d^vetopp^es gauches toutes les helices qui, comme {ASy&k..., A'S'7'<^X^..), out leur origine au point (A, A').

662. {Pig. 129.) Observons ici que le cercle osculateur aMS de la courbe plane AMB traverse ordinairement cette courbe, c'est-k-dire que s'il se trouve en dehors a gauche du point M, a droite il sera en dedans de la courbe. En effet, ta partie rectiligne OK du fil qui entoure la developp6e 00' 0"... va continuellement en augmentant k mesure que Ton deroule ce fil; done les rayons de courbure qui precedent OK sont plus petits que cette droite, et ceux qui le suivent sont plus grands; done aussi Tare MA de la courbe proposee sera embrasse par Tare de cercle Moc, tandis que M'^B se trouvera en dehors de M"6, du moins dans les environs du point consider^ M. Cependant, lorsque la developp^e presente un point de rebroussement, comme cela arrive aux sommets d'une ellipse {/ig. 76), alors le rayon de courbure devient un minimum ou un maximum^ et le cercle osculateur se trouve^ tant a droite qu*k gauche du point de contact, plac6 en dedans de la courbe, ou bien en dehors. Dans ce cas particulier, le cercle osculateur acquiert un contact du troisifeme ordre avec la courbe.

663. {Fig. i3o.) Une eirconstance analogue se presente pour le plan osculateur MM'M'' d*une courbe gauche AMB ; c'est-4i-dire que ce plan traverse ordinairement la courbe^ en laissant au-dessous de lui Tare MA, et au-dessus Fare M"B» parce que la torsion des Elements, produite (n^ 6S4) par la difT^rence d'inclinaison des plans osculateurs consecutifs, pers^vfere en general dans le m^me sens. Cependant, comme, par suite de la continuite de la courbe proposee, Tinclinaison du plan osculateur ne varie que par degr6s infiniment petits, s'il existe un point singulier ou cette torsion change de sens, cela ne pourra arriver qu*autant que Vangle de torsion aura pass^ par zero ; et dans cet endroit de la courbe, trois elements conseeutifa serimt aitute dans un meme plan odeulataur, lequal se farouvera alors tout entier au-dessus de la courbe AMB, ou bien tout entier au-dessous.

a68 LIYBE Till. — GOURBUEE DBS UGNISS ET DES SCSFACXS,

664. Construire leplan osculateur relatifa un point assignS sur une courbe gauche. {Fig, 5i .) Soit N le point assigpe sur la courbe gauche VNU, laquelle devra etre

definie par ses deux projections. Si, pour obtenir approximativement deux tangentes infmiment voisines, on menait celle du point N, et une autre extrimement voisine, deux droites aussi rapprochees determineraient, avec peu de precision, les traces du plan qui les contient. II vaudra done mieux construire diverses tangentes a la courbe VU, pour le point N et pour d'autres situes a de m^diocres distances, en arriere et en avant de N; puis chercher les traces de ces tangentes sur le plan horizontal, par exemple, et reunir tons ces points par une courbe continue ALD, qui sera la trace de la surface developpable lieu de toutes les tangentes a la courbe VU. Alors, comme on sait (n° 181) que le plan tangent de cette surface est le plan osculateur de son arete detebroussement, il n'y aura qu'k mener la tangente L6 a la trace ALD, et le plan NLd sera le plan osculateur demande.

665. Construire le rayon de courbure relatifa un point donnisur une courbe gauche. Soit M le point donne sur la courbe gauche que nous designerons par A ; con-

struisons, comme ci-dessus, le plan osculateur n correspondant au point M, et projetons-y la courbe A, qui deviendra une autre ligne B ayant ^videmment deux Elements communs avec la premiere. Des lors, la courbure de A ^tant la meme que celle de B en M, la question sera reduite k trouver le rayon de courbure d'une courbe B, qui ^^i plane.

666. {Fig.^ i4i.) Pour r^soudre ce dernier probl^me, soient MN la normale de B au point donne M, et MC, MC,..., diverses cordes partant de ce meme point. Si, par le milieu de la corde MC, on lui mene une perpendiculaire IP, et que par le point P, oil elle va couper la normale MN, on eleve sur cette derniere droite une perpendiculaire Pa = MC; puis, si Ton repete des constructions analogues pour les autres cordes, la courbe aa'a"66' ira couper la normale MN en un point 0, qui determinera le rayon de courbure MO de la ligne proposee. En effet, lorsque la corde MC diminue de plus en plus, Tordonnee Fa" decroit pareillement, et la perpendiculaire TF approche davantage d'etre normale a la courbe MB ; done, le point oil la ligne auxiliaire aa'6 ira couper MN, sera bien Tintersection de cette normale avec une normale infiniment voisine ; et, par consequent, le rayon de courbure de la ligne B pour le point M aura bien pour longueur MO [*).

667. itant donnee une courbe quelconque A, construire une de ses diveloppeest et le lieu des centres de courbure.

On menera divers plans normaux k cette courbe, par des points assez rappro-* ches; et apres avoir construit leurs traces sur les deux plans de projection, on de* crira une courbe a tangente a toutes les traces horizontales, puis une courbe § tangente a toutes les traces verticales. Ces deux courbes a, S seront evidemment les

(*) Cette m^thode est lirde de la GSom^trie des courbes, par M. Bergery; et elle offre Tavantage, que la courbe auxiliaire vient couper k angle droit la normale donnee. ce qui fixe nueox la position do point cherch^

CBAFITBB I. -^ COVEBURB ET wtnStJWPisS DBS VUOftS. 269

traces de la surface polaire 2^ au lieu de toutes les d^veloppees de A.(n^ 658) ; et Ton obtiendra diverses generatrices 6, 6% G'',..., de cette surface developpable, en joignant deux a deux les points oil les courbes aetS sont touchees par un meme plan normal. Gela pos^, du point de depapt M» choisi k volonte sur la courbe A, on mfenera une tangente MD k la surface 2, puis on effectuera le developpement de 2 sur un plan quelconque^ oil la developpee cherch^e, devant etre une ligne droite (n^ 658) 9 ne sera autre chose que le prolongement indefini de MD. Alors, en marquant les points oil cette droite MD rencontre chacune des generatrices y, /, 7^9..., de 2 developpee, puis rapportant ces points sur les generatrices primitives 6, G', G't...» on obtiendra la developpee qui est tangente au rayon MD. En faisant varier cette droite, qui a pu etre tracee de bien des manieres, on trouverait d*au«tres developp^es de la courbe A.

668. Si du point M on abaisse une perpendiculaire sur la generatrice G, qui se trouve dans le plan normal relatif k M, le pied de cette perpendiculaire sera le centre de courbure de A pour le ptfint M (n^ 656, note); et le lieu de tons les centres de courbure s'obtiendrait en repetant cette construction pour divers points Wf M'',..., de la ligne donnee A.

Ces diverses operations seront ordinairement tres-laborieuses, mais elles deviendront assez simples dans plusieurs cas mteressants, comme cela arrive pour les deux exemples que nous aliens etudier, et qui serviront d'ailleurs k eclaircir la generalite des considerations precedentes.

669. {Fig. 1 01 .) &tant donnie une developpante sphdrique^ projetee sur DMPGQF, trower le lieu de ses centres de courbure, et Vune de ses developpSes.

Nous avons dit, au n^ ^95, que cette epicycloide particuliere est engendree par un point m d'un cercle mobile S'', dont le plan roiUe sur un c6ne fixe S' AE, pendant que son centre coincide perpetuellement avec le sommet S' de ce cone ; on a vu aussi, au n^ 495, que \eplan normal de cette courbe, pour un point quelconque (M, M'), est le plan. S' AY dans lequel se trouve alors le cercle mobile, et qui est tangent au cdne fixe S'AE. II s'ensuit donc^que ce cone est precisement la surface \ polaire, enveloppe de tons les plans normaux, dont nous avons parte au n^ 658, et j sur laquelle doivent etre places toutes les developpees et tons les centres de courbure de la developpante spherique DMPGQF. Ainsi, d'apres la note du n^ 656, si nous abaissons du point (M, M') la perpendiculaire (MR, M') sur la generatrice de contact S'A du plan normal, le pied (R, M') de cette perpendiculaire sera le centre de courbure correspondant k (M, M') et la vraie grandeur du rayon de courbure sera RM. Semblablement, lorsque le point generateur se trouvera projete enN^, epoqueoii le contact du cercle mobile est arrive en A5, la perpendiculaire NsRs» abaissee sur la generatrice OAg , sera le rayon de courbure, et R5 la projection du centre de courbure : sa projection verticale serait facile k obtenir. Enfin, pour le point P, qui repond k un quart de la revolution du cercle mobile, le rayon de courbure sera PO, egal kS''A; de sorte que le lieu des centres de courbure aura pour projection horizontale une courbe a double noeud DRR»OR«G..iO...F que nous

370 uvw Till. «- cmmMM M» uevn bt bbs trarAcn.

n'avons pus acb6v6e, afia d'dviter la ooofusioiit mais qui pasaerait deux fois par le point 0, et doDtla partie OR«GO repond a un arc 6itue sur la nappe superieuredu C6116 S'A£t

670. Pour suppleer it ia projection Terticale que nous n'avons pas voulu tracer ici, nous allona construire sur le plan du cercle mobile les positions occupees succesaivement par tous les centres de courbure. Or, d'apres la m^thode expos^e cideesus poar le point quelconque (M, M') de la developpante sph^rique, on doit Toir que si Ton tire les rayons S^a4 , S^a^, S^a^y..,, qui representent les generatrices suivant lesquelles le cdne est touche successivement par le plan du cercle mobile, et qu'on leur mfene les perpendiculaires mr^ , mr^ , mr^ , . . . , parties du point ginerateur m^ ces perpendiculaires seront les longueurs precises des divers rayons de courbure ; et leurs pieds, qui forment evidemment one circonfiferenee de cercle, iront coincider tour a tour avec les vrais centres de courbure de la d^yeloppante apberique, lorsqu'on fera rouler le cercle S"A sur le cdne S'AB* II en seraitde m^e si Ton ployait le plan de ce cercle po jr Tappliquer sur le c6ne, par une op^ ration inverse de celle qui sort a d^velopper cette surface; de sorte que la circonf<&« rence mrr^r^S"r^... pent dtre regardee comme la transform^ du lieu des centres de courbure, lorsqu'on developpe le cdne S'AB qui contient reellement tous ces CMitresf).

671. Quant k la construction d*une d^eloppie de la developpante spherique, il faut se rappeler (n**658) qu'une pareille courbe doit devenir rectiKgne lorsqu*on developpera la surface enveloppe de tous les plans normaux, laquelle est ici le cone S' AE. Si done, sur le cercle rabattu en S", on trace une droite arbitraire partant de m, telle que ma^y&y il n'y aura plus qu'k transporter sur le cdne S'AE les points a, 4, 7,..., ou cette droite rencontre les divers rayons S^'a,, S"at, S^a,,..., qui reprdsentent autant de gdndratrices de ce cdne ; or il est bien facile de retrouver lea vdritables positions de ces gdndratrices sur les deux plans de projection, et d*y rapporter, k partir du sommetS, les longueurs S*a, S^S, S"/,..., ce qui fournira les deux projections dela ddveloppde en question. Nous n'avons point effectue ces opdrations sur notre epure, afin d'eviter la confusion qui en serait rdsultde pour le lecteur; mais nous les achdverons dans le probldme suivant, oil les rdsultats offriront plus d*intdrdt.

672. 6tarU donnie une hdlice dt base circulaire (ABCDEF... A'ST'D'ET...), trouver le lieu de ses centres de courbure^ et tune de ses dSveloppies.

{Fig. 1^8.) Aprfes avoir construit la tangente (ET, E'T') de cette hdlice, menons le plan normal correspondant E'N'N, lequel pssse evidemment par le rayon (OE, E')

wrwm^r^

(*) Ca r^wKat remtrimtUe est empruiiUi k ^n M^we mt^r^sM^ do M. Th^ 0li9mn sur to esaftrts de covrbure des ^picydoYdes, ins^r^ dans le xxin* ctbier du Jovmal de Vtcol^ Pofytechni^. Toatefoi^ BOU6 croyons devoir avertir que, dans ce Uemoire, il s'est gliss^ une erreur sur la projection du lieu des eentffs de eourbufe de la developpante eph^que ; car cette projection ne aauralt Mre, corame on W dit par «a4¥frta«ce, 4i ^ihfhj^ de la pnieetien bsriioaiale da la d^lappanla apbMqaa*

du cylindre qui coiitient cette h^Uce, et fah avec Taxe vertical un angle coHiplimentaire de celui que forme la tangents. Or cette dernifere li'gne ayant une incln naison constante (n^ 450) quelle que soit la positio^ du point de contaet (E, E') sur rh^lice, il s'ensuit que tous les plans normaux de cette courbe auront pareillement une incUnaison constante, et que chacun passera par le rayon du cylindre qui aboutira au point considere sur Phelice. Par consequent, si Ton conceit que ces plans normaux soient menes par des points infiniment voisins, pris a distances ^gales sur Thelice propos^e, ils se couperont consecutivement suivant des droites qui auront toutes des positions parfaitement symetriques relativement k Taxe vertical 0; c'est-k-dire que ces droites seront dgalement inclinSes sur cet axe, et placees a la mime distance de cette verticale. D'oii je conclus que ces droites, intersections des plans normaux consecutifs, se trouveront tangentes k une nouvelle b^ice tracee surun cylindre droit k base circulaire a6c^..., dontle rayon est encore inconnu, et qu'elles formeront un hdlicoide ddveloppable (n^ 456) qui sera le Ueu des pdles, ou le lieu de toutes les ddveloppies (n^ 658) de Thelice primitive (ABCDE...,