A'B'CD'E
673. Pour determiner cet belicoide, j'observe que sa trace horizontale sera precisement la devetoppante du cerde inconnu abode. ^. (n^ 453), et que cette courbe devra 6tre tangente aux traces de tous les plans normaux. Or le plan normal relatif au point (A, A') ayant ^videmment une trace AOI qui passe par le centre 0, le rayon 01 contiendra necessairement Torigine de cette developpante; tandis que la trace N'N, perpendiculaire k 01, r^pondra au premier quart de revolution de eetre d^eloppante; par eonsequeiit, sa distance an centre, c'ett*a^ire 01 ou en^ devra se trouver precisement ^^o/sau^iiitriife/d^c/iro/^/tJnmcei Maia dejk il existe une relation semblable entre la sous-tangente ET et le quart de cercle AE; done le rayon OA de ce dernier doit avoir avec ET !e m^e rapport qu'aura le rayon inconnu Oa avec 01. D'aprfes cette remarque, on tirera la droite A'(^ parallele a ET, puis i' a' parallfele k E'N', et cette seconde parallMe determinera la grandeur O'a! que Ton doit donn^ an rayon du cerele demande abcde\ ensuite, on construira Thelice [abode. ..^ a'b'dde'...) de mSme pas que Thelice primitive, et ce sera l*ar6te de rebroussemeni de Th^coide en question. Cette saiface aura d'ailleurs pour trace horizontale la developpante onvrAxi cercle abode... ^ etpour generatrices les tangentes de la laouvelle keliee, tellesque (en, E'N"), (A^^t AV), ksqoelles representent les intersections coasecutives des plans mormaux iafiniment voisins, menes a I'helice (ABGD..., A'B'C'D\«.).
674. {Kg. 12^.) Pour trouver le rayosi de courbure de cette derni^re ligne au p«»ttt (E, E') par exemple, il faut abaisser de ee point {nou du n"" 656) ime per* pendiciilaire (EOtf, E') sur la generatrice (e/i, E'N'), qui est dans le plan normal corvespondant an point assigne. Or, eomme cette perpendiculaire aboutit evidemmeat an point (e, E')v el que des resultats semblables arriveraient pour tout autre plan normal, nous en eonclorons ces deux theoremes bien remarquables : i^ tauie hOke a base cittmbun (ABCDE,.., A'BX D'E'...) apourlieu deses centres de cour^
217^ UVRE Tin. — COURBVRE DBS LIGNES BT DES SURFACES*
bure une imtre kelice [abcde..., a'ftVrfV...) determinee comme ci-dessus; 2® k rayon de courbure de la premiere hiUce est constant, et dgal a la somme OE H- Oe des rayons des cyUndres oil sont situSes ces deux courbes,
675. R6cippoquement, on pirouvera, par des considerations semblables, que la seconde helice {abode..., a!V d d' d..^ a pour lieu de ses centres de courbure la premifere helice (ABCD..., A'B'C'D'..,); et que le rayon de courbure de celle-lk est aussi constamment egal a la somme Oe-F OE. Cela tient k ce que le plan normal E'N'N de la premiere helice est le plan osculateur (n^ 465) de la seconde; et qu'aussi le plan normal de celle-ci, qui serait E'T'T, perpendiculaire k la tangente (en, E'N'), se trouve le plan osculateur de la premiere: de sorte qu'il y a une complete reciprocite entre ces deux helices, et les angles de contingence et de torsion (n^655, 654) dans Tune, sont respectivement egaux aux angles de torsion et de contingence dans Tautre. Ce resultat est un cas particulier de la relation generate que nous avons fait remarquer au n^ 659 ; mais, comme nous Tavons observe alors, il ne faut pas en conclure que la torsion meme, ou la carnbrure de la seconde helice, soit egale a la courbure de la premiere, ni reciproquement; carles elements correspondants AB et ab de ces courbes ne sont pas de meme longueur.
676. Si Ton veut exprimer par Tanalyse la grandeur des rayons de courbure p et /»' de ces deux helices, il n'y a qu'a poser
OA=R, Oa = r, angle r = w, N' = 90^ - w = «', 0'E' = |A;
etle triangle rectangle A' <?' a', que nous avons trace sup Tepure, fournira evidemment la relation r = R tang^ w, d'oii Ton deduira
p = R + r=R(i + tang^o)) = R(i + ^,)
pour la premiere helice ; et pour la seconde,
p' = rn- R = r(i -h tang^co') =r^i 4- 1^)-
677. {Fig. 138.) Main tenant, construisons une 6?eVe/b/)/7eederhelice (ABCD..., A'B'C'D'...), en menant d'abord, par un point arbitraire (E, E') de cette courbe, une droitequi soit situ6e ( n*^ 657 ) dans un plan normal E'N'N relatif a ce point; ou bien une tangente a la surface polaire, enveloppe des plans normaux, laquelle surface est ici Thelicoide developpable qui a pour arete de rebroussement I'helice {abcde..., a'Vdd'e' ..»). Afin d'ar river k des resultats plus symetriques, choisissons pour cette premiere tangente le rayon de courbure (Ec, E'), et rappelons-nous qu'aprfes le developpement de cet helicoide, la developpee cherch^e deviendra une ligne droite (n*^658) qui devra 6tre le prolongement ind^flni de (Ec, E'). Si done nousvoulonsdevelopper cet helicoide sur son plan tangent E'N'N, ilfaudra (n*'467) rabattre les tangentes (ne, N'E') et (Na, N'a') suivant nt et Na"; puis, elever k leurs extr^mites deux perpendiculairesEcd eta'' u qui determineront parleurrett-
GHAPITBB I. — €OUaBDRB BT DivELOPP^ES DES LI6NES, 2^3
contre le centre « et le rayon ws (*) du cercle eX suivant lequel se transformepa Thelice {abcd...y a'b'dd\..); d'ailleurs, sur ce developpement, la droite indefinie fi>€7r representera la transformee de la developpee cherchee.
Quant k la position que prendra^ sur ce developpement, la generatrice quelconque (A(?, AV) de Thelicoide, nous Tobtiendrons en prenant Tare de cercle sri de meme longueur que Tare d'helice {eh, E' A'), longueur qui est donnee (n® 468) par Thypotenuse du triangle E'tq'tq"', dont la base E'vj' egale Tare horizontal eh; et alors la generatrice cherchee deviendra la tangente tqtt. Or, cette derniere allant rencontrer la transform^e cDe de la developpee, au point tt, il s'agira de reporter la distance y^tt sur la generatrice primitive {hv, AV); pour cela, on prendra rhypoteauseE'7r''==Y}rr, et la base E'tt de ce nouveau triangle rectangle etant portee de h eap, fournira ividemment la projection horizontale p, puis la projection verticale p\ d'un point de la developpee cherchee, laquelle sera {epx, E'p'x').
678. Ainsi, un fil enroule sur cette branche suivant la direction {xpeE, x'p'E') decrira par son extremite (E, E') la partie superieure (EFGH..^ E'FG'H'...) de Thelice donnee, du moins jusqu'a une certaine limite que nous allons determiner; et le rayon de des^eloppie aboutissant au point {p,p') sera la tangente (H/?, H'/?'). Quant a la partie inferieure (EDCB..., E'D'C'B'...), elle aura pour developpee uue autre branche (ePX, E'P'X') qui se construira comme la premiere, ou plutot qui s'en deduira imm6diatement, en cherchant des points (P9 P') places symetriquement avec (/>,/>')•
679. II y aura sur le developpement de Theiicoide une tangente \p, parall^le k la transformee cjett de la developpee : done, si nous rapportons le point X sur I'heiice, en prenant Tare de cercle eA/ egal k la base E'X' du triangle rectangle E'X''X' dont rhypotenuse est Fare sX rectifie, la generatrice (/r, Vr') de rhelicoide correspondraa X/9, etn'ira plus rencontrer la developpee [epx, E'p'x') qu*k I'infini. Toutefois, ce n'est pas Ik Tasymptote de cette branche ; car une pareille droite doit nonseulement rencontrer la courbe en un point infiniment eioigne, mais aussi lui etre tangente. Or, puisqu'au point (p,/>'), situe sur la generatrice {hv, AV), la tangente etait (H/?, H'/?'); pour le point infiniment eioigne situe sur (/r, /V) la veritable tangente, ou V asymptote , partira du point (L, L'), diametralement oppose k (/, /'), etsera la droite {Lz, Vz')^ parall^le a (/r, /V).
680. On voit par Ik que la branche de developpee {epx, E'p'xf) , quoique infinie, ne pent servir qu'a decrire la portion d'beiice (EKL, E'K'L'); et quand le point generateur (E, E') du fil mobile est arrive en (L, L'), il faut que ce fil prolonge en sens contraire (LZ, V Z') , et fixe k son extremite opposee, recommence k se plier
(*) Ce rayon w doit se trouver ^gal k E^, puisque c*est \k le rayon de courbure (n"" 67i) de I'h^lice {eAcd...^ a'^'c'^'...), etquecette ligne ne doit pas changer de courbure, quand on d^veloppe la surface dont elle est TarSte de rebroussement (n"" 479, note), Ainsi il aurait mieux valu rabaltre une seule tangente suivant jic, puis Clever la perpendiculaire cw ^ale iE^, laquelle aurait suffi pour tracer le cercle cX : c*est la marcfae que nous avons d^j4 conseill^ au n"" 468.
C^omStrie Leroy. "55
^74 LIVRB Vni. — COURBURE DES LItiNES ET DB9 SURFACES.
sur une nouvelle branche (YQ6, Y'Q'6") qui a la meme asymptote, et qui servifa kd^crire un second arc d'helice (LAB, L'A'B"), egal au precedent. Pour construire cette nouvelle branche de developpee, dont la projection horizontale doit etre 6?id^mment symetrique de epx^ on prendra Tare lb = le, puis on d6crira la circonfelencepVqQ, sur laquelle on placera le point Q a gauche du rayon 06, comoie le point/>6tait place a droite du rayon Oe; enfin, on projettera Q en Q', en 61evaat ce dernier au-dessus de Thorizontale B"6" de la meme quantity dont le point// est abaisse au-dessous de E'X'.
681. A la branche de d6velopp6e (YQ6, Y'Q'i") suee^dera une troisiiime branche {bqy, V'q'y) dont chaque point {q^q') se construira comme precedemment, et d'une maniere que notre epure rend assez visible ; cette troisifeme branche servira \ decrire un nouvel arc d'helice (BES, B"E"S"), toujours egal aux precedents, etainsi de suite. L*asymptote de cette dernifere branche serait encore parallele k la generatrice de Thelicoide, qui partirait du point diametralement oppose k (S, S"); mais il sera plus simple de Keener au cercle la tangente SWU, qui coupera LZ au point W, situe sur le rayon Oi : et comme ce point sqrait projet^ en W sur la premiere asymptote, il faudra placer le point W a la meme hauteur audessus de Wh'\ puis tirer la droite W"U' de manifere k former avec la verticale le meme angle que W Z.
. 682. Quant a Tasymptote (V?, V'?') de la branche (ePX, E'P'X') , sa projectioii horizontale a une position symetrique de Vz; et sa projection verticale etant evi^ demment parallele a Y'^', il sufQra de la mener par le point V place au-dessous de E', comme le point V' est au-dessus.
685. {Fig. ia8.) Pour mieux saisir la liaison de ces diverses branches de la developpee totale d'une helice, et bien comprendre la description de cette courbe par un mow^ement continu, sans etre oblige de transporter le point d'attache du fi| mobile, d'une branche sur Tautre, il n'y a qu'a se representer une droite indefinie et t>j/7ea:i6/e, placee d'abord dans la position horizontale (Ee, E'), laquelle roulq, $(m$ glisser, sur la branche {epx^ E'p'x') en lui demeurant tangente. Daqs ce mouyement, le point generateur (E, E') commenc^rsi par decrire Tare d'helice (EKL, E'K'L'), et lorsqu'il sera parvenu en (L, L') , la droite mobile sera devenue I'asymptote (Lz, Vz') ; mais, comme au meme instant cette droite touchera a Tinfini la seconde branche (iY, 6"Y'), si elle recommence a rouler en sens contraire sur cette derniere branche, pour se rapprocher de la position horizontale (BftW,B"t"), e point generateur decrira, dans cette seconde periode de son mouvement non interrompu. Tare d'helice (LAB, L'A"B"). Puis, si de la position horizontale (B6, B"t") , la droite mobile vient a rouler sur la troisifeme branche {bqy, b"q'y), fe point g6n6rateur decrira un nouvel arc d'h6lice (BES, B^E'^S"), jusqu'k ce que la droite ait prisla position de I'asymptote (SWU, S" W"U'); d'oii elle passera, sans interruption, sur une quatrieme branche qui a la meme asymptote, et ainsi de suite.
Si Ton eprouvait quelque difliculte a suivre ces divers mouvemen(s dans I'espace,
CHAPITKB II. ^ DB LA CMTBMITHB MBS «UftPACBS. ^j5
on pouirait d'abord les ^tudier 8ur ujo/a sinmoide (n^ 451, nott), eourbe plane dont la developpee, situee dans sod plan, offre ainsi des branches infinies qui aat» deux k deuxy une asymptote commune.
