CHAPITRE

DE LA (CObftBUBE DES SUBFACES.

694. Deux surfaces sbat dites otculatrices Tune de Tautre, lorsque tout plan mene par la normale commune les coupe jsuivant d^ux courbes qui %qvX oscuiatrices enire elles (b? 650), ou bien qui ont le mSme rayon de courbure. Mais on doit sentir que, parmi toutes les spheres qui peuvent toucher une siuiface S en un point donne, aucune nesauraitlui etre osculatrice; puisque la courbure d'une sphere est nniforme tout autour de sa normale, tandis qu'il n'en est pas ainsi d'une surface quelconque. Alors, pour estimer la courbure de cette derniere en un point donne, on eherche les rayons de courbure des diverses sections normales, et, par leur compara^son, on acquiert des notions precises sur la forme plus ou moins aplatie de la surface autour du point considere, ainsi que sur sa position par rapport k son plan tangent. Or il existe, entre les rayons de courbure de ces sections normales, une loi bien remarquable que nous aliens d'abord etudier sur les surfaces du second degre.

685. {iFig. i3i.) Dans un ellipsoide dont les trois demi-axes sont OA = a, dB == 6, 0C= c, considerons specialement Un sommet C, pour lequel la normale est Taxe COZ, perpendiculaire aux tangentesCX et CY des deux ellipses principales CA et CB. Si nousmenons par ce point un troisieme plan normal YCZ, dont la trace, sur le plan tangent XCY, soit CV, il coupera la surface suivant une ellipse CD, qui aura eyidemment pour demi-axes OC = cet OD = d. Or on sait (n° 200) que les rayons de courbure, au sommet C des trois ellipses CA, CB, CD, ont pouir grandeurs respectives

CG==^=R, CH = ^ = R', Cl = -=p; c e c ^

et comme le demi-diametre d de Tellipse ADB aura toujours une longueur comprise^ entre a et 6, on voit qu'en supposant a<i, le rayon p se trouvera toujours plus grand que R, etplus petit que R'; c'est-a-dire que de toutes les sections normales faites par le sommet C, la courbe CA est la section de courbure maximwn^ puisque son rayon R est le plus petit (n® 653) , et la courbe CB est la section de courbure rrdnimum, puisque son rayon R' est plus grand que tout autre.

D'ailleurs, si Ton d6signe par y Tangle que fait le plan normal YCZ avec le plan principal XCZ, (f sera aussi Tangle compris entre Taxe OA et te diametre OD de Tellipse ADB; et Ton sait que la longueur de ce diametre est donnee par Tequation

a5 = icos»y-h^sin>.

a'jG uvBE vni. — coubburb nm ucmss et hbs suifaces.

Done, en multipliant tous les termes par c, et ayant egard aux valeurs pr^c^dentes des rayons p , R^ R', il viendra

(i) i = i.cos«y-h~sin«y,

relation qui permettra de calculer ioiinediatement le rayon de courbure p d'une section normale quelconque passant par le sommet C» quand on connaitra Tangle f de cette section avee une des deux sections principcdes, et les rayons de courbure R etR' de ces dernieres courbes.

686. {Fig. iSn.) Gonsiderons maintenant un hyperboloide a une nappe^ dont Tellipse de gorge est CAFE qui a pour axe les deux axes reels de la surface, savoir : OA=a, OC=c; tandis que I'axe imaginaire est une horizontale 06 = 6, perpendiculaire au plan de Tellipse que nous regardons ici comme le plan vertical de la figure. Le rayon de courbure de cette ellipse, pour le sommet G, sera une ligne

CG == — = Rf et celui de Thyperbole BGL contenue dans le plan des deux axes OC

et 06, sera GH — = R"; mais il se trouvera dirige au-dessus du plan tangent XCT

au lieu d'etre au-dessous comme GG. Maintenant, menons par le point G un plan normal quelconque YGZ, qui forme avec le plan principal XGZ un angle design^ par 9 ; si cet angle est assez petit, la section sera une ellipse GDF qui aura pour axes OG=c, OD = rf, et ce dernier sera evidemment un diametre de Tbyperbole ADE contenue dans le plan des deux axes horizontaux OA et 06. Or on sait que ce diametre est lie avec les axes de Thyperbole, par la relation

j, = icos«y-isin»9;;

si done on multiplie tous les termes par c, et qu'on observe que le rayon de courbure au sommet G de Tellipse GDF est /? — > on en conclura

(a) ^ = lC0s^?~g/Sin*9,

relation qui rentre pr^cis^ment dans la formule (i), pourvu qu'on y regarde comme vdgatif ce\\i\ des deux rayons principaux R, R', qui se trouvera dirig^ aurdessus du plan tangent (^).

687. Gela pos6, tant que Tangle tf sera peu difTerent de zerj>, il est certain que le premier terme du second membre de la formule (n) prevaudra sur le terme negatif,

(*) Ordinairement, on adopte rhypothtee contraire, parce que I'analyse fournit une valeur positive pour le rayon de courbure d*une courbe situ^ aurdessus de sa tangente, du moins quand on compte les ordonnto positives de has en haui. Mais, comme nous avons dirig6 ici i*aie des z positifs de hatu en has, la convention faite dans le texte s'accorde bien avec Tanalyse ; et nous avons pr^fi^rd cette disposition, parce que les sections normales sent plus commodes k figurer quand on les place au-dessous du plan tangent.

CHAIPITUI U. «- DB LA GOUKBUBB DBS 8UBPACB8. ^nn

et ^u'ainsi le rayon de courbure p de la section normale CDF sera positif, ce qui annonce que cette courbe sera convexe^ c'est-a-dire situee au^-dessous du plan tangent XCT. D'ailleurs, - itant ^videmment moindre que ^^^ ^ » et k plus forte rai-

son moindre que |r > il en r^sulte que le rayon variable p sera plus grand que R,

et qu'il augmentera continuellement avec 9 , jusqu'a ce que cet angle ait acquis la valeur » determin^e par I'^quation

cos'w sin**> j> % A . ^ /R'

"T" = "R^* dou tanga>=±:Y/^.

Si done on trace sur le plan tangent XCY, ou sur le point horizontal (*) parallMe k celui-la, deux droites O'P, O'Q, qui fassent avec O'X' des angles 6gaux a co, alors, quand le plan secant normal arrivera dans la position OT, il coupera I'hyperboloide suivant une ligne dont la courbure sera nuUe, puisque p deviendra infini : et, en effete on doit voir que cette section sera Tune des deux generatrices rectilignes qui passent par le sommet C, attendu que, d'apres les valours de R et R^ Texpres-

sion de ta revient a tang go = - •

688. {Pig- 1 33.) Lorsque Tangle (p sera devenu plus grand que (a, et que le plan normal aura pris la position O'W, alors la formule ( 2 ) montre que le rayon p aura une valeur negative ; de sorte que la section correspondante se trouvera con^ ewe, c'est-k-dire situee au-dessus du plan tangent, et ce sera une hyperbole dont le rayon de courbure p ira en diminuant num^riquement, jusqu'k ce que Ton ait

9 = 9o^ d'oii p=— R'=CH.

Ce dernier r^sultat se rapporte an plan normal 0' Y', qui coupe la surface suivant rhyperbole principale BCL.

689. En continuant cette discussion depuis f = 90^ jusqu'k f = 36o^, on retrouverait successivement des r^sultats analogues, puisque la formule {2) ne renferme que les carres de sin 9 et cosf . D'oii Ton doit conclure, 1° que les deux plans normaux P0'/>, QO'^ partagent la surface autour du point (0', C) en quatre regions distinctes : dans les deux angles PO'Q et pO* q opposes par le sommet, toutes les sections normales sont convexes, ou situees au-dessous du plan tangent XCY ; et dans les deux autres angles PO' q, Q0'/>, toutes les sections normales sont concedes, ou situees au-dessus de ce plan tangent; d'ailleurs le passage des unes aux autres se fait par deux sections rectilignes PO'/i, QO'^, qui sont les generatrices de rhyperboloide situees dans le plan tangent XCY. 2^ Le rayon de courbure R de la section principale CAF est le minimum de tons les rayons positifs, lesquels varient

{*) Nous employons ici, outre la figure en perspective sur le tableau vertical XCZ, une projection horizontale £aite sur un plan perpendiculaire k la normale GZ, afin de fiBdre mieux apercevoir les iimites (jui apparent les sections convezes des sections concaves.

depuis p = R justju'k p =cc; tandis que le rayon de courbure R' de I'aiitfe s^ctioil principale BtlL est le minimum des rayans negatifs : ou bien» ed tenant compte dti signe de ces derniers» on pourra dire que — R' est un maximum, maifi seulen^ent par rapport aux rayons negatifs qui varient'depuis p = — R' jusqu'k p = — oo .

SOO. {Pig. 1 33 et 1 34.) Les propositions que nous venons de d^montrer pour un sonimet reel d'un ellipsoide ou d'l^n byperb.oloide a une nappe, sont ^gajement vraies pour toute surface S, eipour un point quelconque ijt de cette surface dont la . normale est MZ. G*est-k-dire que, parmi toutes les sections normales passcuU par ce \ point, ily en a toujours deux, MA et MB, nommdes sections principales, dont la premiere a un rayon de coitrbure MG = R qui est minimum, et la seconds un rayon de courbure MH = R' qui est maximum : ces deux sections principaies sont situdes dans des plans XMZ, YMZ, perpendiculaires entre eux ; et quand unefois on connatt la position de ces plans et les rayons priNjCIPaux R, R', le rayon de courbure p de toute autre sec-' tion normqJe MD passant par le mime point, est donne par laformule

(3) i I.cos'"(p4-g7 8in»(p,

ob (f designe Tangle du plan de MD avec le plan de MA, et ou ii faudrait regarder comme nigatif tQ\\y\ des deux rayons principaux R, R', qui serait dirige au^-dessus du plan tangent XMY, si la surface etait non com^exe, c'est-a-dire traversfefe pair son plan tangent en M.

Ce tbeoreme important, du k Euler, n'est guere possible ^ demontrer d'une maniere complete et rigoureuse, au moyen de considerations pui*ement synthetiques; c*est pourquoi nous preferons de Tadmettre ici comme un resultat du balcill diiTerentiel {*) ; mais c'est I'unique emprunt que nous ferons a Tanalyse, et nous allons ensuiie developper, par la geometric seule, les consequences interessantes dont ce theofeme est susceptible.

691 . Lorsque les deux rayons principaux MG = R, MH == R', sont positift^ comme dans \^Jig. i33, la formule (3 ) montre que p est constamment positif, t[ael que soit Tangle 9; done alors toutes les sections normales se trouvent au-dessoutf du plan tangent XMY, au ihoins dans les environs du point M, et la surfece est eon-^ vexe en ce point. D'ailleurs, en supposant que R < R', il est facile de voir que R eftt alors le minimum absota de tons les rayons de courbure des sections normales passant par M, et R^ le mxiximum absolu de tons ces memes rayons; en effet, la fo^ mule (3), ecrite tour a tour sous Tune et Tautre des formes suivantes,

montre qu'on a toujours, quel que soit Tangle f ,

-<^ et ->il>-< d'od /J<R et p>

(*) Voy^ezX Amdyse nppUquee a la gejmetrie des trots ditnensions, chap. XVI.

ClUPrntE 11. — BE |«A GPCBBeiB BES SUBPAGBS. 279

pes coDsequences semblables auraient lieu, si les deux rayons principaux etaient negatifs a la fois; seulement alors, la surface se trouverait plaeee au-dessus du plan tangent, tout autour du point M.

692. Lorsque, pour un point particulier M d'une surface queleonque, il arrive que les deux rayons principaux R, R', sont egaux et de meme signe, la fornrale (3) 3e r^duit evidemment, et Tangle (p disparait; de sorte qu'on trouve /9=R pour toutes les sections normales passant par ce point, autour duquel la surface presente pne courbure uniforpie dans tons les sens, comme celle d'une sphere. Ces points particuliers se nomipent des ombiUcs, et nous en ferons remarquer plusicurs de ce genre dans Tellipsoide (n*^ 739); mais il est deja evident que, quand la meridienne d*une surface de revolution coupe I'axe sous un angle droit, ce point est toujours un ombilic.

693. Lorsque les deux rayons principaux sont de signes contraires, comme dans ^^,fi8' '^4» oil MG = R, qui se rapporte a la section (MA, M'A'), se trouve positif, et ou MH = R', qui se rapporte a la section (MB, M'B'), se trouve negatif, alors la formule (3), ecrite avec le signe de R' en Evidence, devient

(4) i = ^cos>-.^,sin^9.

Elle montre d^jk que p sera tantot positif, tantot negatif, suivant la valeur de Tangle 9 ; c'est-a-dire qu'il y aura des sections normales situees, les unes au-dessous, les autres au-dessus du plan tangent XMY; ainsi la surface sera non corwexe, ou a courbures opposies. Pour determiner les limites de ces diverses sections, chercboas la valeur psfrtieuli^re a> de Tangle f , qui satisferait k T^quation

g- cos^ ^ "" R"' sin* CD = o, d'oii tang w = ±:

puis, traQons sur le plan tangent XMY, ou sur le plan horizontal (*) qui lui est parall^Ie, deux droites M'P, M'Q, qui fassent chacune avec M'X' un angle egal a 0^. Alors, pour toutes les valeurs de y comprises entre 9= — oi)ety = -f-c«), comme aussi pour toutes celles qui tomberont entre y = i icP — &> et 9 = i8o^-*- w, la formule (4) donnera evidemment des valeurs de p, qui seront positives; c'est-a-dire que toutes les sections normales comprises dans les angles diedres PM'Q et p^'q seront situees au-dessous du plan tangent horizontal XMY. Au contraire, lorsque la valeur de 9 tombera entre w et 180**— w, ou bien entre i8o**-i- w et 36o**— co, la formule (4^ donnera pour p une valeur negative ; ce qui prouve que toutes les sections normales, comprises dans les deux angles diedres PM'^ et QM'/?, seront situees au-dessus du plan tangent XMY, au moins dans les environs du point M.

(*) Nous employons encore ici, pour plus de clart^, une perspective sur un plan vertical, etune projection sur UD plan horizontal ; si d'ailleurs on veut fixer ses id^es par un exemple, on peul regarder la surface qui nous occupe comme dtant la gorge d'une poulie dont Taie serait horizontal et projel^ suivani (B'L\ G). Le point consid^r^ (M, M') est alors sur le cercle de gorge (EMA, E'M'A'), et la section (BML, i'Bf'L') e^t un demi-cercle qui sert de mdriciien au tore de cette poulie.

aSo UTBK Tin. «- ceviBimB ms usms et im subpaces.

694. {Fig. 1 34.) Enfin, lorsque 9 recevra une des valeurs 9=±:«>, on (p = iSol^±<M>^ le rayon p devenant infini dans la formale (4)» il s'ensuit que les deux plans normaux Umites VWp^ QM' q, couperont la surface suivant des courbes qui, sans £tre rectilignes, comme cela arrivait dans Thyperboloide (n^ 687), seront du moins tres-aplaties dans les environs du point M, et y offriront une cour^ bure nulle; e'est-k-dire que chacune aura en cet endroit deux elements communs avec sa tangente qui sera precisement la trace M'P ou M'Q du plan normal Umiie sur le plan tangent XMY. Ainsi, on pent dire que les deux plans normaux VM'p et QM'^ partagent la surface en quaire regions distinctes qui sont tour a tour comexes et concaves.

En resume, dans les surfaces non convexes, les rayons de courbure positifs varient, d'apres la formule ( 4)f depuis p = h- R jusqu'a p = -h 00 ; et les rayons negartifs, depuis p = — R' jusqu'k p = — oo . Done ici, R sera un minimum relativement aux rayons de la premiere classe, et — R' un maximum analytique pour ceux de la seconde classe, en tenant compte de leurs signes; mais si Ton voulait seulement parler de leurs grandeurs absolues, R' serait aussi un minimum.

695. Remarque. Si Ton compare, dans une surface quelconque, deux sections normales dont les plans comprennent entre eux un angle droit, leurs rayons de courbure seront donnes par les formules

1 = lcos*9 + iysin'?), i = ^ cos*9'-4. iysin*^',

avec la relation 9 ' = 9 + 90^; d'ou il suit qu'en ajoutant ces Equations membre k

membre, on aura

ce qui montre que la somme des courbures de deux sections perpendiculaires Tune i Tautre, quel que soit Tangle <p , est toujours constante et Sgale a la somme des deux

GOUKBURES principoks. La somme 7 + ^ ^ ^^^ nommee quelquefois la courbure de

la surface; mais il vaudrait mieux appliquer cette denomination k la moiti^ de cette somme, qui se trouverait ainsi une moyenne arithm^tique entre la courbure maximum et la courbure minimum, D*un autre cot^, M. Gauss a designe sous le

m^me nom de courbure de surface^ la quantity ^ ou la moyenne geom^trique

entre les deux courbures principales. Quant a la construction graphique des sections principales et de leurs rayons de courbure, nous attendrons, pour en citer des exemples, que nous ayons parle des Ugnes de courbure^ parce que ces derniferes offriront k la geometric des secours fort utiles [*).

(*] Pour completer ies notions pr^dentes, nous ajouterons que si, par la tangente MV (fig. i33), on faisait une section oblique dont le plan formftt un angle avec la section normaie MD qui passe par It

CHAPITRB n. — DE LA GOVRBURE DBS SERFAGES. a8t

696. {Fig* 1 35). Pour chaque point lA d'une surface quelconque?t^ on peutcort" stndre une surface du second degri 2 qui soil osculatrice de%{n^ 684 ) , tout autour de ce point. Supposons d'abord que la surface donnee S soit convexe en M, et que MA et MB repr^sentent ses deux sections principales, ou les sections normales de cour-hure maxirrwm et minimum, lesquelles ont pour rayons MG = R, MH = R'. Sur la normale MZ, prenons une distance arbitraire MO = c, que nous adopterons pour un des axes d*une ellipse MA' qui> tracee dans le plan de la section MA, devra lui fttre osculatrice : pour remplir cette condition, il suffit de choisir le second axe OA' ==: a de telle sorte que le rayon de courbure de Tellipse au sommet M soit egal ^ R, ce qui donne la relation

2!=R, d'oii a = \/R?;

ainsi le demi-axe OA' = a se determinera en cherchant une moyenne proportionnelle entre R et c. De meme, dans le plan de la section MB, construisons une ellipse MB' qui lui soit osculatrice, et qui ait pour ses demi-axes OM = c et OB' = 6; ce dernier se determinera encore par la relation

7 = R', d'oii ft = VR^.

Cela pos^, les deux ellipses MA' et MB' d^terminent compl^tement un ellipsoide 2 qui aura pour ses trois demi-axes OM, OA'^ OB', attendu que le plan de la courbe MB est perpendiculaire sur celui de MA; et je dis que cet ellipsoide sera osculateur de la surface S, ce qui se reduit k prouver (n^ 684) que tout plan normal MOD coupe S et 2 suivant deux courbes MD etMD' qui ont le meme rayon de courbure. Or, en appelant p et /?' les rayons de ces deux sections, ils seront donnes (n^ 690 et 685) par les formules

1 = i- cos«f 4- ^ sin»9), ^ = J cos*?) + Jsin>9),

lesquelles prouvent que p = p', d'apres les valeurs pr^c^dentes de a et 6.

697. On doit observer que Tellipsoide 2, osculateur de S pour le point M, n'est pas unique, puisque la longueur de Taxe c a ete choisie arbitrairement; ainsi, en

mtoie tangente MY, le rayoii>de courbure p, de la section oblique aundt avec le rayon p de MD la relation

suivante :

P, = pcos©,

laquelle exprime que p, est la projection de p sur le plan de la section oblique; ou bien, que la sphere d^crite avec le rayon p sera couple, par le plan dela section oblique, suivant un petit cercle qui sera pr^cis^ment le cercle osculateur de cette section. Cost le th^or^me dA k Meunier^ pour la demonstration duquel nous renverrons k notre Analyse appliquSe, chap. XVH ; en faisant seulement observer ici que, d*apres la formule pr^c^ente, les sections obliques faites dans une surface quelconque seront toujours comexes on concapes en m^me temps que la section normale qui passera par la mSme tangente.

GSomStrie Leroy. 36

2^2 hWVWB TIU. ^ COURBUEB DBS U6HBS BT DES SDKFACBS.

prenant c = a = R, ou c = b = ^\ on le rendrait de revolution^ mais non pas autour de la normale MZ. D'ailleurs, nous aurions pu employer deux hyperboles, ou deux paraboles, pour courbes osculatrices des sections principales MA etMB; et la surface osculatrice de S serait devenue un hyperboloide a deux nappes, ou un paraboloide elliptique, qui sont tous les deux des surfaces convexes.

698. {Fig. 1 36.) Soit maintenant une surface S non convexe, dont les sections principales MA' et IVIB ont des rayons de courbure de sens opposes, MG = R» MH=R\ Gonstruisons, comme ci-dessus, une ellipse MA' qui soit osculatrice de MA au point M, et dont les demi-axes soient MO = c, longueur arbitraire prise sur la normale, et OA' = a, ligne determinee par la relation a = y/Rc; mais, pour courbe osculatrice de la section MB, nous ne pouvons plus adopter une ellipse, car il n'existe pas de surface du second degre qui admette deux sections de ce genre, situ^es Tune au-dessous et Tautre au-dessus du plan tangent. Nous construirons done une hyperbole B'ML', qui ait pour demi-axe reel la ligne MO = o, et pour demi-axe imaginaire une droite OB"' = b, perpendiculaire au plan de Tellipse, et telle, que le rayon de courbure de cette hyperbole (n^ 200) verifie la relation

ft»

7 = R', d'oii 6 = VR'c-

Alors, Tellipse MA' et Thyperbole MB' determineront completement un hyperboloide k une nappe 2, lequel sera bien osculateur de S au point M (n^ 684); car tout plan normal qui fera un angle f avec MA, coupera S et 2 suivant deux courbes dont les rayons de courbure p et p' seraient donnes (n^ 693 et 686) par les formules

-= -cos*? - grsm«y, ^ = ^cos^? - -.sin*y,

lesquelles prouvent que p = p\ d'apres les valours precedentes de a et b. Nous aurions eu encore un hyperboloide osculateur de S, mais tourne en sens contraire, si nous avions mis Tellipse a la place de Thyperbole, et reciproquement; d'ailleurs* on ne doit pas oublier que Taxe c, dirige suivant la normale MG ou MH, pent recevoir une longueur arbitraire. Enfin, si Ton avait adopte deux paraboles pour courbes osculatrices des sections MA et MB, on aurait obtenu, pour surface osculatrice de S, un paraboloide hyperbolique.

699. UGJiESJ)ECOVRBVM, sur une surface quelconque. {Fig. i35.) MONGEa nomm6 ainsi la suite des points pour lesquels les normales de la surface S vont se rencontrer consecutivement, et nous allons demontrer qu*a partir de chaque point M donn^ sur S, il n'existe en general que deux lignes de courbure MaU, M6V, les^ quelles se coupent a angle droits et sont tangentes aux sections principales MA, MB (n^ 690), dont elles different neanmoins, puisque ordinairement elles ne sont point planes, comme ces dernieres. Commra^ons par etudier ces lignes de courbure au sommet d*une surface du second degr^.

oiAiprrKv n« *— »B LA coummK vns nvwAam. ^83

700. {Pig. 1 3 1.) Soient CA et CB les deux dectioos principftles qui de C6ilpent au sommet C d'un ellipsoide^ pour lequel la normale de la surface est GO; en menant un plan parallele au plan tangent XCY, et k une distance Ga> infiniment petite, il donnera une section elliptique aS£» dont les sommets a et S set ont places sur CA et CB ; et si Ton prend sur cette courbe un point quelconque N different de a et S^ i je dis que la normale NK de Tellipsoide ne rencontrera pas la normale CO relative au sommet C. En effet, cette dernifere est projetee au centre co de la petite ellipse, tandis que NK, qui doit etre perpendiculaire k la tangente NT» se projettera sur le plan de cette meme ellipse, suivaot une droite NK', encore perpendiculaire k NT : or on sait qu*une normale NK' de Teliipse aSs ne va point passer par le centre ca; done la normale NK de la surface ne rencontrera jamais Cg>, quelque pr^s de C que aoit pris )e point N; k moins qu'on ne le choisisse en a ou S, sur une des deux sections principales CA ou CB, parce qu'alors la normale de Tellipsoide serait projet^e suiyant Tua des axes aca ou ^o), lesquels vont passer par le centre o).

II resulle de la que, pour le sommet C d'un ellipsoide, il n'y a que deux lignes de courbure qui sent dirigees d'abord suivant les elements Ca et C6 des deux seetions principales. D*ailleurs, pour ee point particulier, il arrivera que les deux lignes de courbure coincideront totalement avec les sections CAF et CBF; paree que les normales de I'ellipsoide, menees par tons les points de la courbe CA, sont situ^es dans le plan de cette courbe, attendu que les tangentes des sections horizontalest pour les sommets a. A,..., se trouvent toutes perpendiculaires au plan deTellipse CAF. Les memes motifs s'appliquent k Tautre section principale CBF.

701. Dans I'hyperbolo'ide a une nappe de lay£^. i32, on verra aisement qu'nne section parallele au plan tangent XCY, et placee au-dessous k une distance infiniment petite, fournirait une hyperbole dont les deux sommets reels a et s seraient sur ACE; tandis que si cette section etait au-dessus de XCY, ce serait une hyperbole renversee dont les sommets reels S et X se trouveraient sur BCL. Or, comme la normale de la surface se projetterait encore sur la normale de Tune ou de Tautre de ces hyperboles, et que cette derniere droite ne va passer par le centre qu'autant que le point df contact coincide avec Tun des sommets, on en conclura, comme ci-dessus, que 11 normale OGH de Tbyperboloide en C ne peut etre rencontree par une normale infiniment voisine que quand cette derniere part d'un point de la section principale CA ou CB. II est done demontre qu'au sommet G de Thyperboloide, il n'y a encore que deux lignes de courbure, lesquelles coincident entierement avec ACE et BCL, par les memes raisons que dans rellipsoide.

702. {Fig. 1 35.) Revenons maintenant a une surface generale S que noussupposerons d'abord convexe, autour du point quelconque M que Ton considere. U existe toujours (n° 696) un ellipsoide 1 qui est osculateur de S en M; et si Ton coupe ces deux surfaces par un plan parallele au plan tangent, et infiniment voisin» non-seulement tous les points de la section aNS ainsi obtenus seront commuos a S et a 2, mais encore les normales de ces deux surfaces, pour chacun des points a, N, S,..., seront les memes. En efiet, ona vu que deux sections MD^ MD\ contenaes

a84 UVBB TIU. — COVBBUBB DBS UCHBS ET DCS SOBPAGIS.

dans un mdme plan normal quelconque, etaient osculatrices ; c*est-^-dire qu'elles avaient deux tangentes consecutives communes, Tune en M, Tautre en N : done cette derniere tangente N9, jointe avec la tangente NT de la courbe aN6, determinera un plan qui touchera hn mime temps S et 2 au point N, et, par suite, la perpendiculaire a ce plan sera une normale commune aux surfaces S et 2. Gela pose, il a ete prouve (n'' 700) que sur Tellipsoide 2, la normale MO du sommet ne pent etre rencontree par une normale infiniment voisine qu'autanl que celle-ci part du point a situ^ sur MA', ou du point 6 situe sur MB : done aussi , sur la surface S, il n'y a que les deux normalesaG etSH qui aillent couper la normale MO; et, par consequent, il n'existe, a partir du point M, que deux lignes de courbure doni ks premiers SISmerits Ma et MS sont communs aux sections principales MA et MB.

Maintenant si, a partir de a, on voulait trouver un point infiniment voisin of dont la normale allat couper la precedente aG, il faudrait choisir ce nouveau point sur une des deux sections principales relatives a a; or, en general, aucune de ces deux dernieres ne serait dans le plan de MA; par consequent, la premiere ligne de courbure M aa'U sera gauche ordinairement, et elle se trouvera seulement tangente a la section principak Ma A. Une consequence analogue a lieu pour la seconde ligne de courbure M€y, qui touchera la section principale M§B, mais differera ordinairement de celle-ci dans le reste de son cours; et, d'ailleurs, ces deux Hgnes de courbure MU et Y se couperont a angle droit en M, comme les deux sections principales auxquelles elles sont tangentes.

705. [Fig* i35.) En outre, les portions MG etMH de la normale primitive MO, determinees par sa rencontre avec les deux normales voisines, et que Monge a nommees les rayons de courbure de la surface au point M, ne sont autre chose que les deux rayons principaux definis au n" 690. En efTet, les droites MG et aG etant normales a la surface S, le sont necessairement a la courbe MA ; et comme elles sont d'ailleurs dans son plan, leur rencontre G est bien le centre du cercle osculateur (n"* 650) de la section MA : de meme, H est le centre de courbure de la section MB; mais la denomination adoptee par Monge tient a une propriety qu'il importe de faire ressortir.

Si du point G comme centre, avec une des normales GM, Ga, qui sont egales (n^ 650), on decrit une sphere, elle touchera la surface S en deux points consScurl^Meta, puisque deux de ses rayons sont normaux a S; et il en arrivera autant pour la sphfere decrite du point H, avec le rayon HM = H§. Tandis que si, avec le rayon de courbure MI = NI d'une autre section normale MND, on decrivait une sphere, elle toucherait la surface S seulement en M, et non en N; car le rayon NI ne serait pas normal a la surface S, puisque nous venons de prouver que la veritable normale NK ne pent aller couper MO. Ainsi, les portions MG et MH de la normale en M sont les rayons de deux spheres qui seules peuvent avoir deux plans tangents consecuufs communs avec ^^ et dont la courbure exprime le maximum etle minimum de courbure que presentent les diverses sections noimales autour du point M. Ton* tefois, il ne faut pas dire que ces deux spheres sont osculatrices de S; parce que le

CBAPrnut n. — ]» LA coumbubb jh» subfaces. ^85

double contact qu'elles ont chacune avee celte surface n'a lieu que dans une direc^ tion, et non tout autour du point M, comme Texigerait le veritable caractere de I'osculation generale (n"^ 684).

704. II faut aussi se garder de croire que MG soit le rayon de courbure de la ligne de courbure M ally c'est-k-dire le rayon du cerclequi aurait aveccette ligne deux elements communs. En effete il est bien vrai que les deux droites MG et aG, etant normales k la surface, sont aussi telles par rapport a la courbe MuV : mais pour que leur rencontre G donnatle centre de courbure de Mali, il faudrait que ces normales fussent situees toutes deux dans le plan osculateur de cette courbe (n" 650) ; ce qui n'arrivera que dans le cas particulier oil MU coincidera avec MA, ou du moins lorsque MU et MA auront un contact du second ordre.

705. {Fig. 1 36.) Pour une surface non con vexe, on d^montrera d'une maniere toute semblable Texistence et les proprietes des deux lignes de courbure relatives k un point quelconque M, en construisant (n^ 698) Thyperboloide osculateur de cette surface en M, en y appliquant ce que nous avons prouve pour la rencontre des normales au sommet d'un hyperboloide (n^ 701). Seulement ici, les deux centres de courbure G et H seront places Tun au-dessous, I'autre au-dessus du plan tangent ; mais toutes les relations precedentes seront egalement vraies.

706. Lorsque le point M, consid^r6 sur une surface quelconque, sera un ombiUc (n® 692), le nombre des lignes de courbure deviendra indefini, comme celui des sections principales auxquelles elles doivent Stre tangentes ; mais cette circonstance particuliere ne se presentera jamais dans les surfaces non convexes, puisque, quand mSme les rayons principaux seraient egaux en grandeur absolue, ils ne seraient pas identiques quant k la position.

707. Apres avoir ainsi demontre generalement Texistence de deux lignes de courbure pour chaque point d'une surface quelconque, il est bon de citer divers exemples oil la determination de ces lignes s'effectue immediatement.

{Fig. 1 39 et it\o.) Dans une surface de revolution decrite par un meridien quelconque AME, cemeridienestlui-meme une premiere ligne de courbure pour cha* cun deses points, tel que M; car les normales de la surface MG, aG, a'G',..., se trouvant contenues toutes dans le plan meridien (n^lSO), irontse couper consecutivement sur la developpeeGG'G''... dela courbe MA. La seconde ligne de courbure passant par le point M, est evidemment le parall^le MSY, puisque toutes les normales de la surface qui partent des points M, S, Y,...^ vont aboutir (n"* 130) au mdme point H de I'axe. Ajoutons qu'ici les deux rayons de courbure de la surface sont : I® le rayon de courbure GM du meridien; 2^ la portion MH de la normale comprise entre le point considere M et Taxe de revolution.

708. Quant aux deux sections principales de la surface (n^ 690), relatives au point quelconque M, la premiere est encore le meridien MA; car le plan de cette section doit contenir le normale MG de la surface, et I'element Ma de la ligne de courbure qui lui est tangente (n® 702); et cette coincidence entiere entre la section principale et la ligne de courbure se reproduira evidemment toutes les fois que

^86 UVKB Vlll. -- COUKMiaK Wm UGSSS BT DBS SmTACES.

o^te detnihre sera plane et que son plan renfermera la normale dela surface. \a secpnde section principale pour le point M ne coincide plus avec Tautre ligne de courbure M6V, parceque celle-ci, quoique plane, ne renfermepas la normale MH; ipais on obtiendra aisement cette seconde section principale M6B, en conduisant ^uivant MHG un plan secant perpendiculaire au plan de la premiere section MA, etla courbe M§B aura un Element M§ commun avec le parallfele MSV. D'ailleurs, les deux rayons de courbure des sections normales MA etMB seront (n^ 703) las rayons de courbure MG et MH de la surface.

709. Dans un cylindre k base quelconque, la g^neratrice rectiligne qui passe par le point consid^r^ sera evidemment une premiere ligne de courbure ; car, le plan tangent ^tant commun tout le long de cette generatrice, les diverses normales seront parallMes entre elles, etcontenues des lorsdans un meme plan, quoiqu^elles n'aillent ici se rencontrer qu'k I'infini. Cette gen^ratrice sera en meme temps une premiere section principale, parlaraison generale citee au numero precedent; et la cowrbwre de la surface sera nulle dans le sens de la generatrice, paisque le rayoft de courbure Iburni par la rencontre de deux normales voisines se trouyera infini* Ensuite, si par le point considere on mene ua plan perpendiculaire a la generahtrice, la section orthogonale ainsi produite sera la seconde ligne de courbure, puisque les normales du cylindre relatives aux divers points de cette courbure se trouveront Evidemment dans son plan, et iront se couper sur la d^veloppee de cette section orthogonale dont le rayon de courbure devient ainsi le rayon minimum de la surface; c'esl-a-dire que /a coi^frure waximwnAxii cylindre a lieu dans le sens de la section orthogonale, laquelle est aussi evidemment (n^ 708) la seconde sectiM principale.

710. On verra de meme que, dans un cdne a base quelconque, chaque gteeratrice rectiligne est k la fois une ligne de courbure et une section principale^ dans le sens de laquelle la surface offre une courbure nulle; puis, comme toutes cas gen^atrices doivent etre couples k angles droits par les lignes de la seconde courbure, ces derniferes seront les intersections du cone avec des spheres dont le centre commun sera place au sommet. Quant a la seconde section principale, relatives un point donnE sur une generatrice, on Tobtiendra en menant, par la normale du cone en ce point, un plan secant perpendiculaire a la generatrice.

711. S'il s'agit d*une surface developpable quelconque, la generatrice rectiligne sera encore k la fois une ligne de courbure et une section principale dont le rayoa de courbure se trouvera infini, attendu que le plan tangent de la surface est com* mua tout le long de cette generatrice. La seconde section principale pour un point donne M s'obtiendra en menant, par la normale en ce point, un plan secant perpendiculaire a la generatrice qui y passe ; et la seconde ligne de courbure qui doit couper k angles droits toutes les generatrices sera une devehppante de Tarete de rebroussement de la surface. Ainsi, dans Thelicoide developpable de la^^. ^f^ les generatrices rectilignes sont les lignes de premiere courbure, et les lignes de se** conde courbure sont les sections borizontaLes, telles que ABCDLMPQ...; ear cette

GBAMTRB U.^<-^ DB LA COCSBITIIB OK8 SVftPAClS. ^87

spirale coupe a angles droits toates les generatrices, et elle est bien tine developpante (n^^eeij de Fhelice {ASy&..., A'&fi'...).

712. {Fig. 143.) Lorsqtte la surface propos^e S sera gauche, la gen^ratrice GMP ne sera plus une ligne de courbure, puisque les normales le long de cette droite, loin de se rencontrer, ferment un paraboloide hyperbolique (n^ 595) \ maisGMP se trouvant dans le plan tangent en M sera precisement la section d'un des deut plans normaux limites ( n^ 694 ) qui separent les sections normales plac6es au-des-^ sous du plan tangent, d'avec celles qui sont situ^es au-dessus. Or, comme le plan tangent en M coupera la surface gauche suivant une seconde branche Ma , si on lui mfene sa tangente MQ, qui sera la trace du second plan normal limite, et que Ton divise par moities Tangle PMQ et son supplement au moyen des droites MA etMB, ces dernibres seront les traces des deux sections principales sur le plan tan^^ gent, et ce seront aussi les tangentes aux deux lignes de courbure partant de M.

713. Des resultats semblables auraient lieu pour une surface S qui, satis etr^ gauche, serait non convexe, parce que le plan tangent d'une telle surface la cou->perait necessairement suivant deux branches passant par le point de contact, et dont les tangentes indiqueraient encore la position des plans normaux limites; d'oii Ton conclurait, comme ci-dessus, la direction des sections principales et des lignes de courbure en ce point.

714. [Fig. i4^.) Apr^s ces divers exemples, rentrons dans la theorie g^nerale, et concevons qu'k partir d*un point M, pris a volonte sur une surface quelconque S, on cherche, parmi les points inflniment voisins, les deux seuls M' et K pour les* quels les normales vont couper celles de M ; puis, qu'k partir de M% on fasse la meme recherche qui fournira les points M'' et K', et que Ton continue k operer semblablement pour les points M'%..., K, K',..., R, R^•..; onobtiendra ainsi deUx series de lignes de courbure

MM'U, KK'U', RR'U", . . . , et MKV, M'K'V, M'K'T", . . . ,

lesquelles partageront la surface proposee en quadrilat^res curvilignes, dont led cotes se couperont toujours a angles droits (n® 702), et indiqueront les directions des deux courbures de la surface^ c*est--k-dire les directions oil elle presentera, autour de chaque point, une courbure maximum ou minimum (n° 703).

715. Maintenant si, par tous les points d'une des lignes de la premiere cour-* bure MU, on couQoit les diverses normales de la surface S, ces droites^ qui se reneontreront consecutivement, formeront une surface developpable dont Tarete de febroussement GG'G", tangente k toutes ces normales, sera la suite des centres de la premiere courbure de S, relatifs a la ligne MU. Observons, d'ailleurs, que cette arete de rebroussement s^ra une de^^eloppde (n^ 657) de la ligne MU, et que cette demifere se trouvera aussi une ligne de courbure (n^7ll) pour la surface deve-> loppable formee pa^ les normales en question. En operant ainsi pour chaque ligne KU', RU", TU'^, . . . , de la premifere courbure, on obtiendra une serie de surfoces dereloppaMes, chacune normale k S, et dont les aretes de rebrousefement GO'C". * . ,

a88 LIVBB Vlll. — GOVSBVRE DBS UOMIS BT DBS SVBPACB.

G, G'l 6' ...f formeront, par leur ensemble, une surface 1 lieu des centres de la pre^ miere courbure de S, et a laquelle toutes les normales de cette demiere seront tangentes. De meme, il existera une seconde surface 2' Heu des centres de la seconde courbure de S, et qui sera formee par les aretes de rebroussement telles que HH'H". . . , de toutes les surfaces developpables produites par les normales menees le long de chaque ligne de seconde courbure, MV, M'V, M^'V",...; et cette surface 2' sera encore touch^e par les memos normales que 2.

716. Ordinairement, les lieux 2 et 2' de tons les centres de courbure ne seront autre chose que deux nappes distinctes d'une memo surface courbe, assujetties k une generation commune, et representees par une Equation unique. Mais, quelquefois aussi, ce seront deux surfaces independantes ; comme dans les surfaces de revolution, oil la nappe 2' des centres de courbure relatifs aux parallMes se reduit k Taxe de revolution lui-m6me (n"" 707), et oil la nappe 2 des centres de courbure relatife aux divers m^ridiens est une nouvelle surface de revolutiion engendree par la rotation de la developp^e plane du meridien (n^ 707) autour du memo axe. Au reste, les deux nappes des centres de courbure de la surface S sont, par rapport k celle-ci, ce que les developpees sont par rapport aux lignes courbes.

717. {Fig. 1 42*) II fstut bien observer que les surfaces developpables, normales k S le long des lignes de premiere courbure MU, KU', RU'\..., sont tangentes k la seconde nappe des centres 2', tandis que la premiere nappe 2 est touchee par les surfaces developpables qui passent par les lignes de seconde courbure MV, M'V, M"V%.... En eflfet, les normales parties de M, M', W\ se coupent sur la premiere nappe 2 en G, G', aussi bien que les normales parties de K, K', E'', qui se coupent en G| , G'^; mais la rencontre des normales de M k K, de M' a K\ deM'^kK"', se fait en H, H^, H,, sur la seconde nappe 2': done cette nappe est le lieu des intersections consdcutives de toutes les surfaces developpables de la premiere serie, ou bien elle est leur enveloppe (n^ 190), et consequemment elle se trouve tangente k chacune d'elles. On verra de meme que la nappe 2 est Ven>^ veloppe de toutes les surfaces developpables relatives aux lignes de la seconde courbure. ^

718. Ce qui precede montre que deux surfaces developpables normales kS, et qui appartiennent k la meme serie, ou qui passent par deux lignes de courbure de la meme esp^ce, comme MU et KU', se coupent suivant une courbe HH^ H, qui est situee sur la nappe des centres de Tespece opposee. Mais si Ton compare les surfaces developpables de series difTerentes, on verra qu'elles se coupent deux k deux suivant une normale de S, comme GMM'U etGMKV, qui out pour intersection la droite MG. De plus, cette intersection se fait toujours a tmgle droit, puisque les plans M' MG et KMG, qui sont evidemment tangents k ces deux surfaces developpables, se trouvent perpendiculaires Tun sur Tautre, attendu que les elements MM' et MK des deux lignes de courbure sont perpendiculaires entre eux et k la normale MG.

719. Or le plan M'MG, tangent k une surface deyeloppable de la premise

CIIAPITRB U. — J»B LA GOVBBUU OSS SUBFACES. 389

serie, doit toucher (n** 717) la secoade nappe des centres 2'; et de oieme, le plan KMG sera tangent k la premiere nappe 2 : done, puisque ces plans sont rec* tangulaires, toutes les fois que I'on considerera ces deux nappes d'un point de vue ^ pris k volont^ sur S, les contours appctrents de ces deux nappes paraitront toujours se couper k angles droits.

720. Observons encore que le plan M'MG est le plan osculateur de I'artte de rebroussement GG'G..., situee sur la nappe 2; or, puisque ce plan est perpendiculaire sur KMG, qui touche cette nappe (n** 717), il s*ensuit que la courbe GG'G'"..* a tons ses plans osculateurs normaux a la nappe 2; et, par suite (n"" 189), cette courbe est la ligne minimum entre deux de ses points sur la surface 2. La meme consequence a lieu pour toutes les autres aretes de rebroussement situees sur cette nappe, comme aussi pour toutes celles qui composent la nappe 1\

721. Si les deux nappes -2 et 2' se coupent quelque part, elles se couperont k angles droits, d*apres ce que nous venous de dire ; et leur intersection 9 s'appelle le lieu des centres de courbure sphdrique, parce que cbaque tangente a la courbe $ sera une normale de S, qui ira percer cette surface en un point X pour lequel les deux courbures auront ^videmment mSme rayon et meme centre; de sorte qu' elles seront egales, comme cela arrive en cbaque point d'une sphere. Aussi, Tensemble de toutes les tangentes k T intersection $ ira percer la surface S suivant une courbe Xk'V\.. qui se nomme la ligne des courbures sphdriques^ et qui coupe n^cessairement toutes les lignes de courbure de premiere et de seconde esp^ce.

722. € II est bien evident, > dit Monge^ c que la ligne des courbures sph^riques sur la surface S est une developpante de la ligne des centres de courbure spherique 9. Ainsi, apr^s avoir fixe un fil en un des points de cette intersection des deux nappes des centres, si, en le tendant, on le fait mouvoir de mani^re qu'il s'enveloppe sur cette intersection, et que la partie rectiligne du fil soit toujours tangente k cette courbe, un des points de ce fil parcourra la ligne des courbures spheriques. Mais si, en tendant le fil, on ne s'assujettit a aucune condition, et Ton suppose qu'il n'exerce aueun frottement sur les nappes des centres, dans quelque position qu'on le consid^re, il sera divise en trois parties : la premiere sera enve« loppee sur une partie de Tintersection des deux nappes ; la seconde sera pliee et tendue sur la nappe des centres dont le fil se sera rapproebe, et sera appliquee sur une des aretes de rebroussement (* ) dont cette nappe est le lieu, et ces deux parties de courbe se toucberont k leur point commun ; la troisi^me partie du fil en ligne droite sera tangente k cette arete de rebroussement, et normale k la surface S ; enfin, Fextremit^ du fil sera sur cette surface m£me. Ainsi, en agitant le fil constamment tendu, on pourra transporter le meme point du fil successivement sur tous les points de la surface. On voit done qu'une surface quelconque pent etre engendree par les deux mouvements continus du point d'un fil tendu qui s'enveloppe sur les

(*) Paurce que cette ar^te est la courbe minimum entre deux desee points, commo nous Tavons demon tr6 n» 720.

G^mf^trie Letray* -J 7

ago uvBE vm. -^ goubIubb bM immcs vr *bs simMCEs.

nappes des centres^ de mdnie qu'une courbe plane peut 6tre engendree par te point d'uD HI tendu qui s'enveloppe sar ia developp6e 4e la courbe. »

723* < YoyoDs actuellement, » continue Monge, c quelques exemples de Putilit^ dont ces g^neralit^s peuvent etre dans certains arts. Le premier exemple sera pris dans Tarchitecture.

> Les yoAtes construites en pierre de taille sent composies de pieces distinctes, auxquelles on donne le nom generique de voussoirs. Chaque voussoir a plusieurs faces qui exigent la plus grande attention dans rexecution t x^Isl face qui doit fsAte parement» et qui> devant etre uae partie de la surface visible Ae la voAfe^ doit etre executee avec la plus grande precision : cette face se Aomme doudlle; n^ les faces par le^quelles les voussoirs consecutife s'appliquent les nns centre les autres : on les nomoie generalement /oi/itt. Les joints exigent aussi la pli» grande exactitude dans leur execution; car la pression se transitiettant d'lin voussoir 4 rautre perpend iculairement a la sur&ce du joint, il est n^cessaire que les deux pierres se touchent par le plus grand nombre possible de points^ afin que poor chaque ^int de contact la pression soit la moindre, et que pour tous die approche le plus da I'ega* lite. 11 faut done que dans chaque voussoir lea joints approchent le pliis de la veri-* table surface dont ils doivent faire partie $ et pour que cet objet soit plus facile a remplir, il faut que la surface des joints soit de la nature la plus simple et de Texe* cution la plus susceptible de precision. C'est pour cda que Ton fait ordinairemeot les joints plans; mais les surfaces de toutes les voutos ne comportent pas cette dis^ position, et dans quelques-unes en blesserait trop les convenances dont nous parlerons dans un moment, si Ton ne donnait pas aux joints one surface courbe« Dans ce cas, il faut choisir parmi toutes les surfaces oourbes qui pourraient d'ailleurs satisfaire aux autres conditions^ celles dont la generation est la plus simple^ et dont Tex^cution est plus susceptible d'exactitude. Or, de toutes les sur-r fatces courbes, celles qu*il est plus facile d'executer sont celles qui sont engendr^es par le mouvement d'une ligne droite, et surtout les surfaces developpables; ainsi, lorsqu'il est necessaire que les joints des voussoirs soient des surfttces courbes, on les compose, autant qull est possible, de surfaces developpables.

> line des principales conditions auxquelles la foume des joints des voussoirs doit satisfaire, e'est d'etre partout perpendicuiaires a la surface de la voute que ces viHissoirs composent. Gar, si les deux angles qu'un memo joint fait avec la surface de la voute etaient sensiblement ioegaux, celui de ces angles qui excederait Tangle droit serait capable d'une plus grande resistance que Tautre; et dans Taction que deux voussoirs consecutifs exercent Tun sur Tautre, Tangle plus petit que Tangle droit serait expose a eclater, ce qui, au moins» d6fermerait la voute, et pourrait memo alterer sa solidite, et diminuer la duree de Tedifiee. Lors done que la surface d'un joint doit etre courbe, il convient de Tengendrer par une droite qui soit partout perpendiculaire a la surface de la voute; et si Ton veut de plus que la surface du joint suit developpable, il faut que toutes les normales a la surface de la voute, qui couiposent, pour ainsi dire, le joint, soient consecutivement deux a deux dans

C9APIT1UB n* — n^ Ul CPHHBHIUB BBS SURFACCft. ^T

un merne plan- Or nous venons de voir que cette condition ne pent etre rempliet a moins que toutes les normales ne passent par une m^e ligne de courbure de la surface de la voute ; done, si les surfaces d^s joints des voussoirs d'une voute doivent etre developpables, il faut necessairement que ces surfaces rencontrent oelles de la voute dans ses lignes de courbure.

» D'ailleurs, ayec quelque precision que les voussoirs d'une voute soient ex6cut^s, leur division est toujours apparente sur la surface ; elle y trace des lignes tres-sensibleSy et ces lignes doivent etre soumises a des lois generates, et satisfs^ire a des convenances particuli^res, selon la nature de la surface de la voute* Parai) les lois generates, les unes sont relatives a la stabilite, les autres a la duree de I'edifice ; de ce nombre est la r^gle qui present que les joints d'un meme voussoir soient rectangulaires entre eux, par la meme raison qu'ils doivent etre eux-memes per^ pendieulaires a la surface de la voAte. Aussi le^ lignes de division des voussoirs doivent etre telles, que celles qui divi&e&t la voOte ^ assises soient toutes perpendiculaires k celles qui diyisent une ipeme assise en voussoirs. Quant aux convenances particulieres, il y en a de plusieura sortes, et notre objet p'est pas ici d'en faire Tenumeration ; mais il y en a une principale, c'est que les lignes de division des voussoirs qui» comme nous venous de le voir, sont de deux esp^ces, et qui doivent se rencontrer toutes perpendiculairemeAt* doivent aussi porter le caractere de la surface a laquelle elles appartiennent. Or il n'existe pas d'autre ligne* sur la surface courbe, qui puisse remplir en ipdme temps toutes ces conditions, que les deux suites de lignes de courbure, et elles les remplissept completement. Ainsi, la division 4'une voute en voussoirs doit done toujours etre faite par des lignes de courbure de la surface de la voute, et les joints doivent ^tre des por* tions de surfaces developpables formees par les normales k la surface qui, eon* sider^es consecutivement, sont deux a deux dans un meme plan ; afin que pour chaque voussoir les surfaces des quatre joints et celle de la voute soient toutes rectangulaires.

> Avant la decouverte des considerations geometriques sur lesquelles tout ce que nous venous de dire est fond6, les artistes avaient un sentiment confus des lois auxquelles elles conduisent, et ordinairement ils avaient coutume de s*y conformer. Ainsi, par exemple, lorsque la surface de la voute etait de revolution, suit qu'elle fut en spheroide, soit qu'elle fut en berceau tournant, ils divisaient ses voussoirs par des meridiens et par des parallMes, c'est-k-dire par les lignes de courbure de la surface de la voute. Les joii^ts qui correspondaient aux meridiens etaient des plans men^s par Taxe de revolution ; ceux qui correspondaient aux paralleles Etaient des surfaces coniques de revolution autour du m£me axe : et ces deux espfeces de joints Etaient rectangulaires entre eux, et perpendiculaires k la surface de la voute. Mais, lorsque les surfs^ces des voilteo n'avaient paa une generation aussi simple, et qt)and leur? lignes de courbure ne se presentaient pas d'une maniere aussi marquee, comme dans le? voiites en sph^roides allonges, et dans un grand nombre d' autres, les artistes ne pouvaient plus satisfaire k toutes les

!I9^ UTRE VIII.— GOCSBVIIE DBS UfillBI ET DBS SUEFAGBS.

convenances, et ils sacrifiaient, dans chaque cas particuliery celles qui leur presentaient les diffieultes les plus grandes.

» II serait done convenable que, dans chacune des ^oles de G^om^trie descriptive etablies dans les departements, le professeur s*occup&t de la determination et de la construction des lignes de courbure des surfaces employees ordinairement dans les arts, afin que, dans le besoin, les artistes, qui ne peuvent pas consacrer beaucoup de temps a de semblables recherches, pussent les consulter avec fruit et profiter de leurs r^sultats.

724. » Le second exemple que nous rapporterons sera pris dans Tart de U gravure.

1 Dans la gravure, les teintes des differentes parties de la surface des objetd repr^sent^s, sont exprim^es par des hachures que Ton fait d'autant plus fortes ou d'autant plus rapprochees, que la teinte doit Stre plus obscure. Lorsque la distance a laquelle la gravure doit etre vue est assez graude pour que les traits individuels de la hachure ne soient pas apergus, le genre de la hachure est k peu pres indifferent; et, quel que soit le contour de ces traits, Tartiste pent toujours les forcer et les multiplier, de maniere k obtenir la teinte qu'il desire et k produire I'efTet demande. Mais, et c'est le cas le plus ordinaire, quand la gravure est destin^e a etre vue d'assez prfes pour que les contours des traits de la hachure soient apergus, la forme de ces contours n'est plus indiffi^rente. Pour chaque objet, et pour chaque partie de la surface d'un objet, il y a des contours de hachure plus propres que tons les autres a donner une idee de la courbure de la surface; ces contours particuliers sont toujours au nombre dedeux, et quelquefois les graveurs les emploient tons deux a la fois, lorsque, pour forcer plus facilement leurs teintes, ils croisent les hachures. Ces contours, dont les artistes n'ont encore qu'un sentiment confus, sont les projections des lignes de courbure de la surface qu'ils veulent exprimer. Gomme les surfaces de la plupart des objets ne sont pas susceptibles de definition rigoureuse, leurs lignes de courbure ne sont pas de nature k etre determinees, ni par le calcul, ni par des constructions graphiques. Mais si, dans leur jeune age, les artistes avaient et6 exerces a rechercher les lignes de courbure d'un grand nombre de surfaces difT^^rentes, et susceptibles de definitions exactes, ils seraient plus sensibles k la forme de ces lignes et k leur position, mdme pour les objets moins d^termin^s; ils les saisiraient avec plus de precision, et leurs ouvrages auraient plus d'expression.

> Nous n'insisterons pas sur cet objet, qui ne presente peut-£tre que le moindre des avantages que les arts et Tindustrie retireraient de Tetablissement d'une ecole de Geometric descriptive dans chacune des principales villes do France. >

725. DETERMINATION GRAPHIQUE des lignes de courbure. Nous avons dejk cit6 (n*^ 707, 708,...,) plusieurs genres de surfaces pour lesquels il est aise d*apercevoir imm^diatement la forme de ces lignes; mais, si Ton voulait trouver leurs directions pour un point M donnc sur une surface quelconque S, voici la marche 4]u*il faudrait suiyfe, en supposant d'abord c^tte surface cqn^exe^ |maginons, sans

CBAPITBK II. — DE LA GOVRBUKB DBS SCEFAGES. 298

le coQstruire, Tellipsoide osculateur de S au point M, lequel a deja ete represent^ dans \9ifig. 1 35; puis, rappelons-nous (n° 696) que tout plan normal coupe ces deux surfaces suivant des courbes MD, MD% qui ont le meme rayon de courbure p en M, et qu*en outre ce rayon est lie avec les demi-axes MO = c^ OD' = «? de

Tellipse MD', par la relation p = — , ou d=^cp. II suit de la que, connais-

sant p et c qui a une longueur arbitraire, on pent trouver 0D'=^ par une moyenne proportionnelle ; d'aiileurs cette derniere ligne sera toujours, pour chaque plan normal, un demi-diametre de Tellipse A'B'E' dont les axes, inconnus ici de position et de grandeur, suffiraient evidemment pour retrouver la courbure et la position des sections principales MA et MB de la surface S en M : aussi, par cette raison nous appellerons indicatrice cette ellipse A' B'E' qui est la section faite dans Tellipsoide osculateur, par un plan men6 du centre, paraUelement au plan tangcint du point M.

726. [Fig. i35 et iSy.) Pour construire cette indicatrice (*), on conduira par la normale en M divers plans secants assez rapproches les uns des autres, et apres avoir construit en vraie grandeur les sections'ainsi produites dans S, on cherchera, par la methode du n^ 666, leurs rayons de courbure p, p\ p'',..., relatifs au point M; puis, sur un plan quelconque et a partir d'un point arbitraire m, on tracera des rayons vecteurs/Tuf, md\ md'\...^ formant entre eux les memes angles que comprenaient les plans secants, et ayant des longueurs egales aux moyennes proportionnelles suivantes,

md=^cpf md' r=yfcp' f Tnd"=^\lcp''^...<,

oil c designe une longueur arbitraire, mais constante. Alors, la courbe qui passera par tousles points d^ d\ d'\..,^ sera \ indicatrice A^nX. nousavons parle plus baut; et si, aprfes avoir trace cette ellipse, on decrit avec le rayon md'' un arc de cercle qui la coupe en /, \^ drpite ma menee par le milieu de cet arc et la perpendiculaire mh seront les deux demi-axes de Tindicatrice, lesquels sont aussi ceux de Tellipsoide osculateur qui a pour troisieme axe, suivant la normale, la ligne ac. De Ik il risulte {vP^ 696 et 703) que les rayons de courbure dela surface en M auront pour grandeurs

Rtna T|, mh c c

et la position des sections principales sera aussi connue, car leurs plans devront passer par la normale en M, et faire avec le plan de la section md des angles egaux a dma etdmb; ou plutot, si Ton regarde le plan de hfig* t^j comme parallele au plan tangent de S en M {/ig. 1 35) , les droites ma et mb seront les traces des plans normaux qui contiennent ces sections principales; et ce seront aussi les projections

(*) CetrtJ marcbe a ^t^ employee d'abord par M. Dupin, dans ses D^eloppements de Geometric.

St<)l^ UVRK Vin. — €OVRBVRK 1M» LMSm BT UBS ftCBFAOES.

des tangerites aux deux lignes de courbure partant de M, dc sorte qu^ le premier Element de chacune de ces lignes sera dirige suivant ma ou mb.

727. (Fig. 1 36 et 1 38 . ) Lopsque la surface propos^e S sera non eameco^ autour du point assigne M, on imaginera^ sans le eonstruire, rhyperboloide osculateur qui a deja ete represente dans \^fig. i36, et Ton se rappellera (n° 686) que les rayons de courbure des sections normales faites par le sommet M de cet hyperbo- 1oide» sont li^s avec les diainfetres de la section parallble au plan tangent et passant

par le centre 0, par la relation p = — ; puis, comme ces sections normales ont la

m^me courbure que celles qui sont faites par les mdmes plans daqa la surface S, on; en deduira le precede graphique suivant :

Par la normale de S en M» on conduira divers plans secants assez pres les un3 des autres, et» apres avoir construit en vraie grandeur ces sections et leurs rayons de courbure p.p^p"^..., (n° 666) , reiatifs au point M, on cherchera les moyennes proportionnelles suivantes,

oh c d^signe une ligne arbitraire, mais constante ; puis on portera oee longueurs d^ d\ d'\...f suivant les droitesmc/, md\ md"^...^ traceessur un plan qqelconque, mais formant entre elles les mfimes angles que comprenaient les plans normaux dont on s'est servi; et V indkatrice qm passera par tons les points d^d'yd'\...^ lunsi determines, sera I'hyperbole que produirait, dans rhyperboloide osculateur* un plan secant mene par le centre parallMement au plan tangent du point M.

728. Les constructions precedentes supposent que tons les rayons /:>, p\ /?%•••« etaientpositifs: car, si Tun des plans normaux k S fournissait une section situee au^dessm du plan tangent, le rayon de courbure p^ de cette flection se trouvan( nigatif(xi^ 686, note)^ la moyenne proportionnelle V^Pa ser$^it imaginaire; resultat qui s'accorde bien, il est vrai, avec la nature des diametres de I'hyperbole cif, d\ ^'',..., lesquels ne rencontrent plus cette courbe quand ils s'ecartent au dela d'une certaine limite, mais qui exige une modification dans les operations grapbi-* ques. Lors done qu'on rencontrera des sections normales situees au-dedsua du p)an tangent de S en M, on ne tiendra compte que de la grandeur aj^solue de leurs rayons de courbure ps, p'j, p'j,..., et apr^s avoir construit les moyennes proportionnelles

on aura soin de distinguer cette classe de rayons vecteurs, pour reunir leurs extremites par une hyperbole particuliere dhd' qui sera une nouvelle branche de Vindi^ catrice^ et que Ton pent regarder comme la section que produirait, dans rhyperboloide osculateur, un plan parallMe au plan tangent, mais mene oidr-dessm du point M, et a une distance egale a c.

729. {Fig. J 38.) Cela pose, on construira le premier axe ma de rindicatrice.

CBAJ^mK U. — BE UL GOOftBVftB 0Ca MJEVAQES. %if5

en le inenant par le milieu de Tare de eercle df decrit avec ua des dianietres md^ puis le second axe m& qui est perpendiculaire au premier^ et Ton eo conclura les asymptotes mf et hzQ communes a ces deux hyperboles conjaguees. Alors, les deux rayons do eo«iri>ure de la surface S au point M (a'' 698) auront pour grandeurs

Rfna j^, mb

et les sections prineipales seront donn^es par deux plans normaux qui forineraient avec le plan eonnu relatif k md^ les angles dma et dimb; ou plutot, si Ton regarde le plan de la^^. 1 38 comme parallele au plan tangent de S en M, les droites ma etmfr seront les traces des plans normaux qui contiennent ces sections principales* et ce seront aussi les projections des tangentes aux deux lignes de courbure qui par tent de M.

730. Quant aux plans normaux Umites qui separent les sections convexes ou situees au^essous du plan tangent, d'avec celles qui se trouvent au-dessus et que Bons appellerons concai^es, noussavons (n'' 694) qu'ils coupent la surface S sui-<vant des courbes dont les rayons de courbure sont infinis au point M; done ces plans auront pour traces sur le plan tangent les diametres infinis de Tindicatrice, c'cst- ^-dire les deux asymptotes mP et mQ qui se determineront au moyen du rectangle construit sur les deux axes ma et mb. II resulte de Ik que ces asymptotes auront chaeune un contact du second ordre au moins, avec les deux sections normales Umites; et, en effet, il est aise de voir qu'elies sont precisement les intersections du plan tangent en M, avec Thyperboloide osculateur*

731. D'ailleurs, comme ce plan tangent doit couper la surface S non convexe Buivant une courbe a deux branches passant par le point M, il arrivera encore que les droites mP et /nQ seront tangentes a ces deux branches. En effet, chaeune de ces droites se trouve dans le plan tangent, et a deux elements communs avec S, d*aprteoequi a ete dit au num^ro precedent; done ces deux elements appartiennent a Tintersection de la surface par son plan tangent» courbe dont chaque branche offrira ainsi un contact du second ordre avecmP ou mQ. En outre, ce sont ces deux branches qui fourniront les limites precises des quatre regions tour k tour convexes et coooaves (n'' 694), que presente la surface S autour du point M.

732. Les considerations precedentes permettent de simplifier la methode du n^ 727 pour une surface S non convexe, en admettant que Ton sait construire les tangentes au point multiple de Tintersection de cette surface avec son plan tangent; ou en se boraant a les mener approximativement, hypothese d'autant plus plausible que la direction de ces droites sera ici mieux indiquee, parce que chaque branche de Tintersection offrira un arc presque rectiligne (n^ 731) dans les envi*rons du point considere M« II suftira, en effet, de construire cette intersection sur un plan parallele au plan tangent de S en M, de lui mener des tangentes mP et mQ au point multiple, lesquelles seront les asymptotes de Xindicaxnce^ qui n'aura pas besoin d'etre tracee ; puis, de divisor en deux parties egales les angles aigus et oblus

296 UVRS Vin. — €OI7BBIJBE DBS UGlfBS ET IffiS SURFACES.

que forment ces asymptotes : alors ces droites bissectrices ma et nJb seront les traces des plans Dormaux/^n/ic^au^, et aussi les tangentes aux deux iignes de courbure partant de M. Ensuite, il restera k construire les sections faites dans la surface S par chacun de ces plans principaux, et k trouver [yfi 666) les rayons de courbure de ces sections qui seront ceux de la surface elle-meme.

Cette marche s*emploierait avec avantage pour un point quelconque d'un hyperboloide on paraboloide gauche, puisque la section du plan tangent serait ici composee de deux droites qui tiendraient lieu des tangentes qu*il fallait mener ci-dessus approximativement. Pour une surface gauche quelconque [fig. i43)» une de ces tangentes serait la generatrice rectiligne GPM, et la seconde branche Ma de Tintersection s'obliendrait par la marche generate du n^ 583.

733. Au contraire, si Ton voulait construire rigoureusement les tangentes au point multiple de Tintersection d*une surface non convexe quelconque, avec son plan tangent, il n'y aurait qu*k determiner, comme au n^ 727, les directions et les rayons de courbure des deux sections principales pour le point de contact assign^; puis, en deduire, par le n^ 730, les asymptotes de Tindicatrice, lesquelles seraient les tangentes cherchees.

734. Application au tore. {Fig. 45.) Ce tore, repr6sente dans Tepure 45, a et^ coup^ par son plan tangent WHT relatif au point (M, M'), suivant une courbe a deux branches MHRE... et MA^... que nous avons construite an n^268. Pour trouver les tangentes de ces branches en M, nous observerons qu'ici, oil la surface est de revolution, le m^ridien A'M'R' est k la fois une premiere ligne de courbure et une section principaie ( n** 708 ) dont le rayon de courbure est R = M'w ; I'autre section principaie serait situee dans le plan oM'^, perpendiculaire au m^ridien precedent, et elle aurait pour rayon de courbure R' = M'?, c*est-k-dire la portion de la normale comprise entre le point M' et Taxe O'Z' de revolution (n° 708). Pour en dMuire Thyperboloide osculateur au point (M, M' ), il faut (n** 698) donner k Taxe riel de cette surface, dirige suivant la normale (M'«, MB), une longueur arbitraire c, que nous choisirons ici ^gale precisement au rayon M'gi>, parce qu'ilen resul tera p our le second axe reel, dirige suivant (wa, BC), cette valeur tresHsimple a = V^.R = M'w; c*est-k-dire que Thyperboloide sera de revolution, et aura pour cercle de gorge le m^ridien donne (A'M'B'a, AG). Quant k Taxe imaginaire, qui sera perpendiculaire k ce m^ridien et passera par son centre (o), B), sa longueur, d^termin^e par h = y/cR', sera la droite M'S, moyenne proportionnelle entre M'u etM'^. Maintenant que rhyperboloide osculateur est completement determine, nous sommes dispenses de construire par points Tindicatrice, puisque cette courbe n'est autre chose (n^ 727) que la section faite dans Thyperboloide par le plan ac^e paral- Ifele au plan tangent M'T'T ; ce sera done une hyperbole ayant pour axe reel coa, et pour axe imaginaire une droite egale k M'§ et elev^e par le centre (co, B) perpendiculairement au plan vertical. Les asymptotes de cette indicatrice seraient alors faciles k 6onstruire; mais comme il faudrait ensuite les projeter sur le plan tangent M"FT, cela revient evidemment k prendre M'<^= wa, puis k elever du point & une