CHAPITRE II. — DE LA COCRB1TRE DBS SI7BFAGBS
perpendiculaire au plan verticaU qui ait pour longueur M'S; et Thypot^nuse du triangle rectangle ainsi forme sera la projection de Tasymptote sur le plan tangent^ et ce sera aussi (n^ 751) la tangente meme de la section que forme ce plan dans le tore. Enfin, pour obtenir cette tangente sur le plan horizontal, il faudra projeter le cdte M'c^ de ce triangle suivant M(^, puis 61ever une perpendiculaire &X = M'6, et la droite XM sera la tangente de la branche MAre. La tangente X^'M de Tautre branche MHRE s*obtiendrait par le moyen de la seconde asymptote, mais cela se reduit k prendre &}f' = ^X; ainsi, quant a la m^thode /^nz/i^z^^, on voit que la construction de ces deux tangentes n'exigera qu'un trfes-petit nombre d'operations fort simples.
735. Revenonsa une surface generale S. Apres avoir determine, paries methodes precedentes, les tangentes ou les premiers elements des deux lignes de courbure relatives a un point quelconque M assigne sur cette surface, il faudrait, pour obtenir le cours entier de ces lignes, repeter des operations semblables sur un point M^ tres-voisin de M, et choisi sur Tune des deux tangentes dejk trouvees; puis, agir de meme pour un point Ms voisin de Ms* et place sur Tune des deux directions que comportent les lignes de courbure relatives k ce dernier point; et ainsi de proche en procbe. Mais la complication etles incertitudes d'une pareille marche font assez voir que la determination complete des lignes de courbure est un probl^me qui est generalement insoluble par des operations purement graphiques ; c*est done k Tanalyse qu'il faudra recourir pour se procurer des donnees certaines sur cette matifere, quand la surface ne tombera pas dans un des genres examines aux n^ 707. •• 711 ; et nous aliens exposer les beaux resultats auxquelsilfo/i^eest parvenu dans I'exemple d'un ellipsoide k trois axes in^gaux (*).
736. [Fig. i440 Soient a, 6, c les trois demi-axes de Tellipsoide donn^, entre lesquels nous supposerons les relations a> b>c. Adoptons, pour plan horizontal de projection, un plan parallMe aux deux axes les plus grands, et choisissons le plan vertical parallele a Taxe maximum et k Taxe minimum; alors, si (0, 0') est le centre de la surface, et que Ton d6crive sur les demi-axes OA = a, OB = 6, une ellipse (ABDE, A'D'), ce sera le contour apparent de Tellipsoide sur le plan horizontal; tandis que le contour apparent relatif au plan vertical sera Tellipse (A'C'D'F, AD) decrite avec les dfemi-axes O'A' = a, O'C' = c. La troisifeme ellipse principale, qui a pour demi-axes b et c, se trouve projet^e sur BE et C'F'; et nous I'avons rabattue ici suivant EC. Quant aux excentricit^s de ces trois ellipses, on les trouvera graphiquement par les relations connues
= Va* - b\ ^ = yja} - c% t^ — sjb* - c»
ainsi il deviendra facile de construire, par le secours de quatrifemes proportionnelles, les deux distances
(*) ^o/^z le chap. XVI de noire Jnalyse appliqwie a \a geometric des trois dimensions,
Geometrie Leroy. 3o
wv lesquelles, copime demi-axes, on decrira \mp ellipse auxilicUre acS, puis une hyperbole ctuxiliaire ociy. Ensuite^ on portera sur les axes de la projec^on yeftic^le, d^ux distances
avec lesquelles, comme demi-axes, on decrira une nouvelle ellipse auxiUaire XX Z' qui se trouvera toujours en dehors de Tellipsoide, puisque ses deux axes sont evi*> deipment plus grands que a et c.
737. Cela pose, I' analyse apprend que les lignes de courbure de la premiere espece sont projetees horizontalement suivant des hyperboles TU, LS, KR,..., et yerticalement suiyant des ellipses T'U', L'S', K'R',.., qui se construisent avec les donnees precedentes, cpmme il suit. Apres avoir choisi sur OA un point T arbitraire, mais situe entre pt a, on trace les deux coordonnees Te et 60 de Tellipse auxiliaire a§; puis, avec rabscjsse OT cpmme axe reel, et avec Tordonnee OB comme axe imaginaire, on decrit une hyperbole TU. Ensuite, on (projette le point U oil cette hyperbole va couper le contour apparent ABD, en U', a' partir duquel on trace les deux coordonnees U'tt et tt^ de Tellipse auxiliaire X'Z'; puis, avec Tabscisse O'U' et Tordonnee 0'? comme demi-axes, on decrit une ellipse f T'U' qui est la projection verticale de la ligne d(B courbure deja projetee horizontalement suivant TU. bn sent bien que cette ligne de courbure est gauche^ xxa^x^ fermie\ et qu'elle offre des parties symetriques au-dessus et au-dessous, en avant et en arriere des plans principaux de I'ellipsoide, ce qui fait que ses deux projections n'occupent qu'uqe pqrtion limitee d*hyperbole ou d'ellipse.
759- [J^^S^ 1 44-) Qu^nt aux ligy^es (|e courbure de la seconde espece, elle$ se projettent liprizontalement et verticalement sur des ellipses (yMV, y'M'V), (y^NI, VN'r),..M qui se construisent de la maniere suivante. Apres avoir pris un point arbitraire V entr^ a et A, on trace les deux coordonnees V(^ et (^^ de Thyperbole auxiliaire cry; puis, sur les droites OY et 0({/ comme demi-axes, on decrit une ellipse (p V9. Epsuite, pn projette le sommet 9 ou tp de cette courbe, sur Tellipse principale r^batti^e suiyant EC", et Ton releve le point ^" en 9' sur le plan vertical ; alors, en tra^^ant les deu^ coordonnees 9'fjL et |xW^ de Tellipse auxiliaire X'Z\ on obtient les deux denji-axes O'W et O'y' de I'ellipse cherchee y ' V W, dont une partie seulement reQoit la projection verticale de la ligne de courbure qui est aussi fermie et gauche.
739. Etudions maintenant les variations de forme que subissent les lignes de courbure de$ deux esp^ces, lof:sqH.e Ips points T et Y s'eloignent pu se rapp|*ochent de a. Quand le point T est en 0, et le point Y en A, la projection de la premiere ligne de courbure se reduit evidemment a la droite BOE, et la seconde devient Tellipse ABD, ee qui montre que les deux ellipses principales EC" et ABDE sont ellesmimes des lignes de courbure; en efTet, les normales de Tellipsoide menees par tons les points de Tune ou de Tautre de ces courbes sont situees dans leur plan, et ne
CHAMTtS U. — Vt 1.A MUftSimS VSS SUWAGBi. ^99
pedrent mahquer de se couper cons^cutivetnent. Lorsque les points T et Y s^ f^p~ proebent de a^ I'hyperbole TU et Telli^se YMf se resserrmt de plus en plas, et quand ces points sont arrives en a, la seconde se r6duit evidemment k la portion de droite aco, tandis que la premifere est remplaeee par les portions rectilignes dtA et a>D$ de sorte qu'ici les deux lignes de codrbure viennent ^ eoincider, et leur tnsemble fournit Tellipse principale (AD, A'Cli'). On voitdonc que ie jjointa et Mn homologue a> determinent, sur rellipsdide^ quatre points siiiguliers (a, a.')^ ^oc, 0^')^ (oDy <k)'), (ci>, &>''), pour lesquels les Hgiies de courbure des deux esp^ces viennent se confondre, codime Ie montrb aussi la projection verticale oti les ellipses ^T'U' et f'V'W s'buvrent de pliis en plus, Tune dans Ie sens borizontal, Tauti^e dans Ie sens vertical; 6u plutot, dans ces quatre points, la direction Atos ligbes de courbure devient rnd^termin^e, comme Ie prouve I'analyse^ et la courbute de la surface est uni/orme autour de cbacun d'eux; de sorte qiie ce sdnt quatre ontbHA^^ tels que noUs les avons definis au n^ 692.
740. L'analyse prcinve encore que, sur Ie plan vertical, touted ies ellipses; des deux series se trouvent i/»m^ dans Ie losange X'Z'X^'Z'', qui touche Tellipse pHneipale A'CDT' precis^ment aux quatre ombilics. D'ailleub il est intfi^eiisant de savoir que les lignes de courbure de Tellipsoide ^oiit pr^cisiiment les intersections de cette surface avec les divers byperboloides ^ iine nappe et k detix nappes, qiii auraient les monies foyers que cet ellipsoide. C'est ce qui resulte du beau tbl6or^me dh kM. Binee, d'aprfes lequel les lignes de courbure d*(ine surface dii second degi*e sont les intersections de cette surface avec les surfaces du second degr^ hbmo/ocabs dels! prettiiere, tnais d'un genre different; et ces trois Series de surfaces se coupent partout K angles droits. M. Dupin a d^montrd aussi qtie» quand trois series d^ stirfaces quelconques se coupent orthogonaleinent, letirs intersections tnuttieiles sont respectitement leurs lignes de courbure.
741. t^our mo'fltrer une belle application de la theorie des lignes de courbure dads les surfaces du second degre, nous aliens citer ce que Mange a ^crit sur cesujet:
< S'il 6tait question de voater un espace circonscrit en projection horizont^le par une ellipse, on ne pourrait pas donner a la yoiAe une surface plus convenable que celle de la moiti^ d'un ellipsoide dont une des ellipses principale^ coincideralt avec Teinpse de la naissanfce ; et en supposant que cette voAte dilit 6tre executee en pierres de taille, il faudrait que la division en voussoirs fdt operee au moyen des lignes de courbure dont nous avons donn6 la construction, et que les joints fussent les surfaces ddveloppables normales k la voAte. Les lignes de division en voiissoirs traceraient sur la surface des cotnpartiments rectangulaires susceptibles de decoration; et ces compartiments eux-memes n'auraient rlen de fantastique, puisqu'ils ne seraient qu'une suite necessaire de la premibre donnee, qui est une ellipse; mais la destination de cet emplacement pourrait influer sur Ie choix de celui des trois axes qu'il faudrait placer verticalement.
i II n'y aurait aucune raison pour faire Taxe vertical ^gal a Tun des deux axes horizontaux; ainsi, les trois axes seraient inegaux. Dans cette hypothese, I'axe ver^
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tical pourrait etre plus graod que les deux autres, et alors la voute serait surmontie ; i] pourrait etre plus petit, et la voute serait surbaiss^e ; enfin, il pourr ait etre coin«pris entre les deux autres» et la voute serait moyenne. La voute surmontee aurait en general plus de hardiesse et plus de dignite; et si la naissance etait elle-meme a une grande hauteur, quelle que fut d'ailleurs la destination de Teinplacement, ce serait la voute surmontee qu'il faudrait employer, parce que sa grande elevation, faisant paraitre ses dimensions verticales plus petites qu elles ne seraient reellement, ecraserait trop une voute d'une autre espfece. La voute surbaissee, en diminuant le volume d'air compris dans Templacement, serait plus favorable k la voix d'un orateur. Si Templacement devait etre eclaire par deux lustres suspendus a la voAte, il faudrait que cette voute fut surmontee ou surbaiss^e, parce que, dans ces deux cas, sa surface aurait deux ombilics, places symetriquement au-dessus du grand axe de Tellipse horizontale, et que ces ombilics, rendus tres-apparents par les compartiments qui se distribueraient autour d'eux, seraient les points naturels de suspension : alors on pourrait disposer du rapport entre les axes, pour que ces points fussent espaces d'une maniere convenable.
» Au contraire, si I'emplacement devait avoir quatre grandes ouvertures, ou si la voute devait etre portee par quatre groupes de colonnes, ou enfin si, dans la decoration interieure, on employait quatre supports distribu^s symetriquement, il faudrait choisir la voute moyenne pour laquelle les quatre ombilics sont toujours dans la naissance, et placer les massifs ou les supports aux quatre extr^mites des axes, parce que c'est aux environs de ces quatre points, et loin des ombilics, que les lignes de courbure, rendues apparentes par la decoration de la voiite, et qui d'ailleurs rencontrent toutes verticalement la naissance, s'ecartent plus lentement de la ligne de plus grande pente de la surface.
742. > On s'occupe aujourd'hui de la construction de salles pour les deux conseils de la legislature : les emplacements dont on a pu disposer jusqu'a present pour de semblables salles, ont forc6 de donner a Tamphitheatre moins de profondeur en face de Torateur que sur les cotes; mais Texperience ayant prouv6 que la voix se porte a une plus grande distance en face, il parait que c*est une disposition toute contraire qu'on devrait adopter. De toutes les formes allongees qu'on pourrait donner a Tamphitbeatre, il n'y en a aucune dont la loi soit plus simple et plus gracieuse que T ellipse : il faudrait done que la salle fut elliptique, et qu'elle fut couverte par une voute en ellipso'ide surbaissee.
> Le service des assemblees legislatives exige un emplacement pour le bureau, en avant duquel est la tribune de Torateur. En plaint le bureau a un des somniets de Tellipse, on pourrait lui consacrer un espace suffisant pour la commodity du service, et Torateur se trouverait naturellement place sous un des ombilics de la voute; Tamphitheatre n'occuperait que la partie qui serait en avant. Une galerie qui ferait le tour entier de la salle, et qui serait assez elevee pour etre tres*distincte de Tamphitheatre, fournirait des places au public. La salle, qui n'aurait ni tribune ni aucune especed'irregularite, pourrait etre decoree par des colonnes, a chacune
