CHAPITRE PREMIER

THl^bRiMES DIYEBS.

Nous r^unissons ici diverses propositions relatives k des thteries ant^rieures, mais qui n auraient pas eu alors d*applicatioD prochaine, tandis qu^eHes nous deviendfbnt utiles dans la t^erspective, les Oinbre^ ^t la St^rdotomie.

74S. Lotiqu'tiri eyKndre pSnStf^ dans uhe sphSre par une courbe plane, la seeahde btatiche de Vintersectioh est Sgalement plane; d'ailleurs celte courbe de sortie^ cfui est un cefcle ^gat k la courbe d'entr^, se trbuve perpendicuiaire an plan qui serait mene ^ angle droit sur la courbe d'entr^e et paralielement aux generatrices du CyKud^e.

{Fig. 145.) Cdnduisons par le centre de la sphere un plan de projection qui soit paraN^le aul generatrices du cylindre et per[iendiculaire k la coUtbe d'entrie ; alors cette courbe, qui est n6cessairement un cercle, s'y trouvera representee par la corde AB» egale ^ son diam^tre, et les generatrices CA, FB sortiront de la spbfere par les points A^ et B% evidemment situes sur le meine grand eercle que A et B ; tandis qu'une arete quelconque DM sorlira de cette surface par un point dont la project tion W tomhera Sur la droite k'W. En effet, toutes lei cordes parall^Ies AA', KB% MM',..., comprises dans la sphere, seraient ditisees en deut parties egales par le plan OR, mene du centre perpendiculaif ement il teur directiod commune : done les ordonnees EA, PM, IB sont respectivement egales k EA', PM% IB'; et des lors il e^t certain que les trois points A', M', B' se trouvent en ligue droite, ptiisque A, M; B remplissent dejk cette condition. D'od il resulte que la courbe de sortie est pfojetee sur la droite A'M'F, et qu'ainsi eUe est plane; d'ailleurs elle satisfaii bien anit autres conditions de Tenonce, d'apr^s le choix du plan de projection employe iet, et attendu que le diametre A'B' est evidemuMtnt egal au diametre AB.

GHAPrniB 1. "- TH^siMICS PiVBRS. 3q3

Observons que si le cyliodre penetrait dans la sphere par un graad cercle» tel qup aOb, la courbe de sortie serait 1* autre grand cercle a'06'; et pour constrqire plus ais^ment cette deroifere courbe, qui se rencontrera dans Tepure des Ombre$ d'une niche^ \\ suf&ra d'employer un plan de projection qui soit parall^le ftux rsiyopf d^ lumiere et perpendiculatre k la courbe d'entree» puisque, sur un4el plaq, U cpiirbe ie sortie se projettera suivant une droite.

746. Dans V intersection d'un cdne a»ec une spkens^ si la courbe d'entrde est fh^HS^ la courbe de sortie Vest pareillemenL

{Fig. 1 46.) Adoptons pour plan de la figure celui qui» passant par Iq pentre 4p la sphere et le sommet du cone, se tropve en meme temps perpendiculair^ ^ I9 courbe d*entr^e, et designons-le sous le nom de pl^n horizontal. La courbe d-^iatr^e, qui est necessairement un cercle, sera projetee sujvant une corde AQ de la ^pheirfiy et si S est le sommet situe dans notre plan horizontal^ les d^ux aretes SA> SQ irQQt evidemment sortir de la sphere par les points a, b ; mais, en putrfi, jp dfs qqe la droite ab est la projection totale de la courbe ^e sortie. £n effet, si^ par le point de la surface conique qui est projete en m, on mene un plan vertipal A'^B\ pai:alle)e k AB, il coupera le cdne suivant un ceccle du diam^tre A'B'» que nous rabattrpps ici suivant A'^'B'; et Tordonn^e m'mda c6ne ^tant moyenne prpportioi^Qf^lle pntcp les deux parties de oe diamktre, nous aurons

nim' = k!m.m&.

Mai§ )^^ ^em^ triangles mh'a ^t n(Si'b spnt semblables, puisque Tangle A' 6g^Ie

r^pgle S^B, qui ^ pour mpsqf^e |p meme arc qpe Tangle o^B; (jonc ces trjangjes

49ftperfin| I'egalije sj^jyafl^ :

A'm./nB' = a7n.mft, d-oti mm' = am . mft.

Cette demifere relation prouve que Tordonnea rab^ttue aHi¥aQt mnn! ^ppait^ppt avwi au ceeclp vertical decrit sur ah camme diametre; $t puisque qe pqpv^au cprclQ est evideipm^nt sur U sphere proposie, nous an conaluron^ que le ^PUYip^t dP Tprdpnnee Tnm\ ou le point du cdne qui est projete en m» se trouvP en iparpe tisptp^ suit \^ ^bere. Conune on en dirait autant de tout aut^e ppiut du c0ne pfpjete qn n sur cib^ il est certain que le plan vertical ab coupe le c^pe et la spbkre spiyant un circle unique^ lequel est la secqnde branche de leur intersection qu la cow^e de soriie; ce qui demontre le theoreme annonce.

747. Gbservons que le cercle vertical ab est precisement ce qu'on appelle la seor tipn a^u^paraUele du cone SAB ^ ^asecirculaire; car la preipi^re copdition que doit remplir cette section^ c*est d'etre perpendiculaire au plan principal du cope, c'estk-dice a celui qui, passant par le sommet S et le centre C de la b^^ circulaire AJ^, se trouve en outre perpendiculaire k cette base : or ce plan coincide ividemiuent avec celui de notre epure, lequel contient les points S, O, et le rayon OC. Ensuite, la section anti-parallfele doit former, sur le plan principal, un triangle Sa6, semblable et

3o4 LnmB IX. — auditioxs.

non parallfele a SAB; condition qui est encore rempHe, puisque nous veaons d'observer que les angles SAB et Sba avaient la meme mesure.

748. Lorsque deux cylindres du second degri $e couperU suwant une premiere courbe plane, la courbe de sortie est aussi plane.

{Fig. 1 4? • ) Supposons que Tellipse EMM'FN'N soil la courbe d'entree, commuQe aux deux cylindres (les memos raisonnements seront applicables k une hyperbole ou k une parabole ; alors, en menant divers plans qui soient paralleles aux generatrices des deux cylindres k la fois, ils traceront dans Tellipse des cordes MN, M'N%..., paranoics entre elles, et chacun de ces plans coupera d'ailleurs les deux cylindres suivant quatre droites. Cellos qui repondront au plan secant MN, savoir MAetNB, Maet N6, formeront, par leurs intersections, un parallelogrammeMnNm, dont les deux sommets m et n appartiendront evidemment k la courbe de sortie; de meme, cette courbe passera par les points m' et n' ou se coupent les quatre aretes ATA' etN'B', Wa' et N'^^, contenues dans le plan secant M'N'; et ainsi desautres. Or toutes les diagonales m/i, m'n\...^ sont ^videmment parallfeies; elles passeront d'ailleurs par les milieux des cordes MN, M'N',..., et, par suite, elles rencontreront toutes le diamfetre EF conjugue avec ces cordes. Done ces diagonales formeront, en s'appuyant sur la droite EF, une surface necessairement plane^ qui contiendra toute la courbe de sortie mm'Yrinx ainsi, cette derni^re satisfait bien k Tenouce du theoreme.

749. On voit d'ailleurs que la courbe mmlYn'n sera de meme esp^ce que la courbe d'entree; car, pour des abscisses communes OP, OF,..., les ordonn^esMP et /wP, M'P' et m'F,..,, seront evidemment proportionnelles ; de sorte que les deux branches de I'intersection seront ici deux ellipses ayant un diamfetre commun EF. II est clair aussi qu'aux extremites de ce diam^tre, les tangentes ET et EV des deux courbes, ainsi que les aretes des deux cylindres, se trouveront toutes paralitica aux plans secants employes ci-dessus; par consequent, les cylindres proposes auront deux plans tangents communs et paralUles.

750. Lorsque deux surfaces du second degri ont UN AXE cOMMUN, en grandeur et en position^ elles nepeuventse couper que suwant deux courbes planes, quipassent r une et I' autre par Vaxe commun .

{Fig. \lfi*) D'apr^s Thypothese admise, les deux surfaces auront le meme c«entre, et en faisant passer par ce point notre plan horizontal de projection, que nous choisirons d'ailleurs perpendiculaire k Taxe commun (0, O'C), il coupera les deux surfaces donnees suivant deux courbes du second degre et concentriques ABDE et abde. Or, si ces derniferes se rencontrent en deux points 6 et H, il y en aura necessairement deux autres, I et E, diam^tralement opposes aux premiers, et qui seront encore communs aux deux courbes. Alors le plan vertical GI coupera les surfaces .proposees suivant deux courbes qui co'incideront compl^tement, puisqu'elles auront les m^mes demi-axes OG etO'C; done cette section commune sera une des branches de Tintersection totale des deux surfaces, et I'autre branche sera la section aussi commune, faite par le plan vertical HK.

CHAPiTRfi t. — tnionkm^ss i^itebs. 3o5

Ges raisonnements sont applicabies k toutes les surfaces du second degr^ qui ont un centre, qu'elles soient ou non de meme espece, pourvu que Taxe commun soit en meme temps reel ou imaginaire dans les deux surfaces a la fois.

751. Si la premiere n'avait pas de centre, son axe unique serait infini; et, par consequent, la seconde devrait, pour satisfaire a Tenonce du theoreme, etre aussi un paraboloide ayant le meme sommet. Alors on couperait ces deux paraboIoide& par un plan perpendiculaire ^ Taxe commun, et ces deux sections, qui auraient evidemment le meme centre, se rencontreraient en quatre points diametralement opposes, tels que G et I, H et K dans la figure prec^dente; d*ou Ton conclurait que le plan conduit par ]a droite 61 ou HK, et par I'axe commun, coupe les paraboloides suivant deux paraboles qui, ayant meme axe, meme sommet et un point commun G ou H, se confondront necessairement.

752. On pent generaliser le theoreme du n^ 750, en Tappliquant k deux surfajces du second degrd(\m ont deux plans tangents communs etparalieles. En effet, la droite qui joindra les points de contact de ces plans sera un diametre commun aux deux surfaces; le plan diametral conjugue avec ce diametre, devant ^tre parallele aux plans tangents donnes, se trouvera le mfeme pour la premifere et la seconde surfece, et il coupera celles-ci suivant deux courbes concentriques, telles que ABDE et abde : de sorte que le plan mene par GI ou HK, et par le diametre commun, produira dans les surfaces proposees deux sections qui devront encore coincider , attendu qu'elles auront deux diametres conjugues communs en direction et en longueur; done ces surfaces se couperont suivant deux courbes planes .

753. [Fig. i49«) Un cas particulier de ce theoreme se presenie dans la rencontre de deux herceaux ou cylindres, qui ont le mime plan de naissance et la mime montee. En effet, si les deux ellipses AMNB et amnb, dont les axes verticaux sont egaux, representent les bases de ces cylindres qui sont ici rabattues autour des axes AB et ab situes dans le plan horizontal de la naissance, on voit d'abord que les quatre generatrices AG, BH, aG, &K, se rencontrent en formant le parallelogramme GHIK. Ensuite, si Ton coupe les deux cylindres par un meme plan horizontal, on obtiendra quatre aretes partant des points M, N, m, n, et qui se rencontreront necessairement en des points projetes sur M', N', M", N"; or je dis que ces projections tomberont precis^ment sur les diagonales du rectangle GHIK. En effet, les deux ordonnees/^m et PM etant ^gales, on sait que les abscisses ap et AP sont entre elles comme les deux axes ab et AB, ce qui donne la proportion

Ga:aM'::GK:KI;

d'oii Ton conclut que le point M' est en ligne droite avec G et I. On prouvera semblablement que N" tombe sur la meme diagonale, tandis que N' et M" sont sur la droite HK : ainsi, Tintersection totale des cylindres proposes se composera des deux ellipses situees dans les plans verticaux GI el HK. Tons ces raisonnements s'appliqueraient identiquement au cas oil les generatrices des deux cylindres se rencontreraient obliquement, avec le soin de prendre pour base du premier une section

Geometrie Lerojr, , -^9

3o6 LIYEE IZ« «— ADMTHM».

faite par un plan vertieal parallele k aGH, et pour base du second une seetion ver^ ticaie parallele a AGK,

75^. Reimarque. Lorsque deux surfaces quelconques S et S' se toucheni en an point, et qu*en outre elles se coupent suivant une courbe k deux bran^iiies qui passent par le point considere, il n'est plus possible de trouver les tangentes de ces branches au point multiple, par la methode des plans tangents, puisque ceux-ci coincident. Mais, si Ton substitue aux surfaces S et S', deux surfaces du second degre 2 et 1' qui soient osculatrices des premieres, il est evident que Tintersection de 1 avec 2' aura les memes tangentes que Tintersection de S avec S^ Or, eomme dans ehaque surface 1 ou 1\ il y aun axe co\i(/ qui est arbitraire en longueur (n^ 696), quoique toujours dirige suivant la normale au point considere, si Ton prend cet axe egal de part et d'autre, il arrivera que les surfaces 2 et 2' se couperont suivant deux courbes planes (n*' 750), dont les projeetions ^izr un plan perpendieulaire a la normale se reduiront k deux droites faciles a construire; alors ces drokes seront ^videmment les tangentes des deux branches de Tintersection de S avec S', pour le point multiple en question. Cette methode ingenieuse a et6 donnee par M. Th, Olivier, dans un Memoire insert au :2i*^ cahier du Journal de I'^cole Poly technique; et Tauteur Fa appliqu^e au conoide de la voAte d'arites en tour ronde^ dont nous arons trouve les tangentes par un autre moyen (n^ 646).

755. DES TANGENTES CONJUGUEES ou reciproques. {Fig. i5o.) Lorsqu'un cdne YMEN est circonscrit a une surface du second degr^, une artte quelconque YM de ce cone et la tangente MT, menee a la courbe de contact MEN par le pied de cette arete, sont toujours respectivement paralliles a deux diamStres conjuguds de la section faite, dans la surface, par un plan parallble au plan tangent VMT.

Pour demon trer ce th^oreme (*), adoptons comme plan de la figure le plan diametral qui passe par I'arete YM etle diametre YO, et qui coupera la surface suivant une courbe NXMY, k laquelle YM sera tangente. D'ailleursji si nous menons le plan diametral conjugu6 de YO, la section de ce plan avec la surface sera une courbe EZY, parallele et semblable (n"" 354) k NKM, et, par suite, les tangentes YT el MT se trouverontparallbles; done, le conjugu^ deOY sera une droite OZ, parallele k MT. Cela pose, les trois diamfetres OX, OY, OZ etant conjugues entre eux, il en resulte que le plan XOY de la figure actuelle divise en deux parties egales toutes les cordes paralleles k OZ : doncil en sera de memo du diametre RY', iir6 parallelement a MY; et ce diametre etant ainsi le conjugue de OZ dans la section RZY', qui se trouve bien parallele au plan tangent YMT, T^nonce du theoreme en question est justifi^, puisque OY' et OZ sont respectivement paralleles a Tarete YM et k la tangente MT*

756. Ces deux tangentes de la surface ont et^ aussi nommees reciproques^ parce que si Ton plagait sur MT le sommet d'un nouveau cdne circonscrit a rellipsoide.

(^) H est dii i M; Dopin; mais nous le ddmontroos id d*aiie mani^re dififi§rente, sans passer par rii^term^iaire d'un cylindre^

GHAPrrRB II. :^ n^THODE IKES PfAHS GOT&. ZO'J

la courbe de contact de ce cdne ^urait pour tangente la droite MV. En eff^, la ^eetioa faite dans la surface proposee par uq plan p^rallele au plan tangent en M serait encore la courbe RZY^ dont le diamfetre OZ, parallele a MT» a pour conjugu6 OT'; ainsi la tangente k la nouyelle courbe de coi^tact* qui doit, par le iheorhme pr6ci^ denty se trouver parallele k ()Y\ ne pourrait £tre que MY, qui remplit d^i cette condition.

757. (Fi^. 1 5 1.) Cette reciprocity et le th^pr^me du n** 755, surlequel elle^t fpndee^ s'etendront facjlement k un c&ne circonscrit a une surface quelcopqu0 $• Car, soient AMB la courbe de contact de ces ^enyi surfaces, MJ une de$ tangentes et YM I'arete du cone qui about^t an poin); 4e contact; cette arel^ pent letre regardee (n^ 182) comme I'intersection de deux plans tangent^ infinimej^jt voisins, menes du sommet Y a la surface, et dont les points de contact p el q ayec S 8e trouveront sur la courbe AMB. Maintenant^ imaginons rellip&o'ide ou Tbyperboloide 2, qui serait osculcUeur de S en M. Dans les environs de ce point, les surfaces S et 2 ^uront deux plans tangents conseputifs de cpn^muns; done les points /^ et g appartiendront aussi k la courbe de contact A'MB' du cone qui, ayant son sommet en Y, serait circonscrit k 2, et, par suite, cette derni^re courbe aura encore pour tangente MX. Or, dans la surface 2, on sait (n^ 755) quelle relation existe entre MY et MT : done aussi, pour la surface quelconque S, I'ariie dii cdne cuconscrit et la tangente a la courbe de contact sont respectivement parfiUeles a deux diametres con^ jugues de la section faite parcUlelement au plan tangent^ dans la surfqjce du secpnd degri osculatrice de S; et ces deux tangenles oflrent pareillement la reciprocity 6noncee aji n^ 756.

758. Ce theor^me, qui nous sera utile dans la perspectiye d'un tore et d'un pi^douche, subsiste evidemment pour un cylindre circonscrit k la surface quelconque S^ puisqu'on pent supposer le sommet Y place a Tinfini sur MY; et il serait facile de Tetendre, par des considerations semblables, k upe surface deyeloppa^le quelconque qui se trouverait circonscrite k la surface doimee S.