CHAPITRE II
M^THODE DES PLANS C0T6s (*).
759. Pour representer graphiquement les points et |es lignes, nous avons vu qu'il suf&sait d'assigner leurs projections sur deux plans fixes, et que de Ik pn pouvait deduire tout C0 qui int^ressait sur les distances de ces points, sur la forme de ces lignes ou des surfaces auxquelles elles appartiennent, etc. Mais, dans certains
(*) La plus grande partie de ce chapitre est tir^, en substance, des Lemons r^dig^es en iS3i pour I'^cole d*app1ication de M^tz, par M. le capitaine du G^nie Noizei, qui a ainsi coordonn^ et perfectionn^ lei ^l^ments de la m^tbode des plans c6t^, quoiqu'elle eiit M d6]k employ^ par d*autres ing^nieurs,
3o8 uvftE n. ^ ADDinoiis.
casy comme pour les dessins de Fortification et pour la Topographie, on trouve plus commode de definir les objets seulemeru par leur projection horizontale^ a laquelle on ajoute des cotes qui indiquent la hauteur dcs divers points au-dessus d'un plan horizontal fixe, que Ton suppose plus has que tous les objets en question. II est Evident que cette methode, ou Ton n*empIoie qu'un seul plan de projection, suffit n^anmoins pour determiner completement la position de chaque point, parce que la cote de celui-ci remplace sa projection verticale, et pourrait merae servir ^ retrouver cette projection, si on le desirait. Aussi nous allons voir que, par cette marche, on resout aisement tous les problfemes elementaires de la Geometric descriptive, et d'une manifere qui se prSte mieux aux traductions nwndriques auxquelles on est oblige de recourir dans la Fortification; car ici les donnees et les resultats d'un probleme offrent des dimensions trop considerables pour pouvoir etre exprim6es sur les dessins autrement que par le moyen d*une echelle de reduction. Ajoutons encore que, dans la Fortification, le peu de relief de la plupart des objets au-dessus du sol, comparativement a leurs dimensions horizontales, rendrait in-* commode I'emploi d'un plan vertical de projection, sur lequel le plus grand nombre des droites consid^rees seraient presque horizontales, et iraient se rencontrer fort loin.
760. Observons, d'ailleurs, que ce mode de description ayant ete d*abord employe pour des cotes sous-marines rapportees au niveau de la mer, Tusage a pr^valu de compter les ordonnees verticales de haut en bas^ en les regardant comme de veritables sondes abaiss^es d'un plan de comparaison horizontal situe au-dessus de tous les objets consider^s; tandis que le plan de projection sur lequel on opere est toujours cens^ horizontal et place a une distance arbitraire au^dessous de ces mgmes objets. Du reste, ces conventions ne rendront pas plus difficile revaluation de la difference de niveau de deux points donnes, mais il faudra se rappeler que le point qui estaffecte de la cote la plus forte est plus bas que Tautre.
761. {PL 64,y%. I.) D'apres cela, un point de Tespace sera represente par sa projection et par sa cote, comme celui qui est indique (i2"',5) dans la ^^. i. dependant, s'il y avait plusieurs points remarquables situes sur la meme verticale, il faudrait ^crire la cote de cbacui) d*^ux aupr^s de cette projection commune.
762. {Fig. 1 .) Une droite est d^finieparsa projection AB, avec les cotes de deux de ses points. De la, il serait facile, au moyen d'un trapeze rabattu autour de AB, de conclure graphiquement la longueur d'une portion de cette droite, son indinaison sur rhorizon, la cote d'un troisieme point de cette ligne, donnepar sa projection; ou reciproquement, la projection d'un point defini par sa cote. Mais, comme, pour les applications que nous avons en vue ici, il faudrait finir par evaluer ces resultats en nombres, au moyen de Techelle metrique du dessin, il sera plus exact et plus commode de construire d'abord Vdchelle de penie de la droite propos^^ I Soient done A etB les projections de deux points dont les cotes sont i4«,7et i^^5, ^' on commencera par chercher Fintervalle L qui, sur la projection de la droite.
€HAPITB£ U. ^ M^THODE DBS PLAMS COTES. 3o9
separera deux points dont les cotes differeront d'un miire, et on y parviendra evidemment par la proportion suivante :
(i4",7— ia™,5):AB:: i»:L = ^AB;
de fiorte qu'apres avoir evalu6 AB en parties de Ydchelle horizontak du dessin, et avoir trouve ici AB = 6", 8, on en deduira
L = 3'",i et — L = o'»,Q.
Alors^ en prenant sur Techelle horizontale une ouverture de compas egale k o^» 9 et en la portantsur AB au-dessous du point {i^^^'])^ on obtiendra celui qui doit avoir la cote iS""; puis en portant^ a partir de ce dernier pointy la longueur L plusieurs fois de suite, on trouvera les points qui r^pondent aux cotes i4™» i3", ii^j...\ei eufin il restera a subdiviser un de ces intervalles en dix parties egales» pour completer Vechelle de pente de la droite proposee. Cette longueur constante L pent etre nommee Vunite de I'echelle de pente.
763. {Fig, 1 .) Cela pose, trouverla cote d'un point situ^ sur cette droite ^ et dontM est la projection. Si M tombe entre les divisions i3™ et 14" par exemple, on prendra* avec le compas la distance horizontale du point M au point iS"", et en la portant sur la partie de Techelle de pente qui est subdivisee en decimetres, on verra quel est le nombre de decimetres qu'il faut ajouter a iS"*, pour obtenir la cote du point projete en M . Les centimetres pourront s'estimer k vue.
On r^soudra aussi aisement cette autre question : Quelle est la projection d*un point de cette droite^ dont la cote serait assignee^ comme 1 1 "^y 3 7
764. Trouver la vraie distance de deux points de cette droite, donnes par leurs projections. On cherchera d'abord leurs cotes, puis, on calculera Thypot^nuse d'un triangle rectangle dont la hauteur serait la difference de ces cotes, et dont la base serait egale k I'intervaUe des deux projections ^ estimee en metres sur Techelle horizon-tale du dessin. Ainsi, pour les deux points projetes en A et B, la vraie distance sera donnee par la formule
765. {Fig. I .) Quant a lapente de la droite, on entend par Ik la tangente trigonometrique de Tangle que cette ligne fait avec Thorizon; c'est-k-dire la difference de niveau de deux points de cette droite, divisee par la distance de leurs projections. Ainsiy pour la droite citee n^ 762, la pente est exprimee par la fraction
