CHAPITRE II. -* KATHODE BE9 KANS COrts. 3l I

suffitpour la determiner compl^tement. Souvent meme od se contente de marquer r^chelle de pente graduee ; parce que de la on peut deduire autant d^hbrizonlales cotees que Ton veut, puisqu'elles sont toujours perpendiculatres k la direction de I'^chelle.

772. Lorsqu'un plan est horizantal, son e^helle de pent^ n'exi^t^ plus^ tuftid tons les angles de son contour portent la meme cote; ou bien, si ce plan est indefini, on le de^igne par le plan horizontal a la cote ii. Si le plan donn^ est vertical^ oh le represente simplement par sa trace horizontale.

773. {Fig. a bis,) Determiner le plan qui passe par trois points donnis (9"*,4)> (i4") ct (17"). On joindra par une droite le premier et le dernier de ces points, et, au moyen d*une proportion analogue k celle employee dans le n^ 762, on cherchera sur cette droite un point qui ait pour cote i4" •' alors la droite qui reunira ce dernier point avec le second des points donnes, sera ^videmment une horizontale du plan demands ; etune parallels men^e par le point (17™)^ sera une sei[M)nde horizontale de ce plan, dont Techelle de pente deviendra dbs lors tres-<facile k marquer et k graduer.

La meme marche s'appliquerait ^videmment au cas ou le plan demande devrait passer par un point et par une droite donnes; et si cette droite etait dejk pourvue de son echelle de pente, la solution serait encore plus simple.

774. [PL &l\yfig. 3.) Par une droite donnde, eonduire unplan dontlapente soii^*

On doit connaitre au moins les cotes de deux points de cette droite, qui $oilt \A 10" et I a", 5 : alors, en regardant le point superieur (10") comme le sommet d'un

cone droit dont les generatrices auraient rinclinaison - (n® 76S), il suffira evi-

demment de mener k ce c6ne un plan tangent qui passe par le second point. Or, si l*on decrit tm cercle qui ait pour centre la projection du point (10"), et pour rayon on longueur prise sur T^chelle horizontale du dessin, et 6gale k n fois la diff!6rence a™, 5 des cotes des points donnas, ce cercle sera ^videmment la trace du c6ne en queirtion sur )e plan horizontal qui passe par le point inf<6rieur (ia"',5). Donc^ en menant par ce dernier point deux tangentes k ce cercle, onobtiendra les traces horizontales d€^ deux plans qui satisferont au problfeme; et leurs ^chelles de pente s'en d^duiront aisement, puisque Ton connaitra leurs directions et deux points cotes de chacune d'elles. II est d'ailleurs facile de voir que le problfenie n'admettra qu'une solution ou deviendra impossible, selon que la pente assignee sera 6gale k celle de la droite donnee, ou moindre que cette derni^re.

77&. Lorsque la droite d^finie par les deux points cotes se trouvera tr^s^eu incliB^e, la m^thode prec^dente conduirait k tracer un cercle trfes-petit, et par Ik peo commode k employer. Dans ce cas, on imaginera un plan horizontal infi6rieur aun deux points, et cote en nombre entier; puis, on d^crira sur ce plan deux cercles dont les centres soient les projections des deux points propose, et dont les rayons soieat n fois la hauteur de chacun de ces points au-dessus de ce plan hori-

3l2 LITRE IX. — ADDrnONH.

zoDtal. On aura ainsi les bases de deux cones dont la pente sera -> et il restera ^

mener une tangente commune a ces deux cercles.

776. Si la droite donnee etait korizontale^ on aurait tout de suite la projection de r^chelle de pente du plan cherche^ en tirant une perpendiculaire k la droite

propos^e; puis, comme Tinclinaison - est assignee, il n*y aurait qu'k porter sur

cette echelle, k partir de la droite proposee, une longueur de n metres mesuree sur Techelle horizontale du dessin, et Textremite de cette longueur repondrait a un point de Techelle de pente, dont la cote serait moindre {Tun metre que celle du point situ6 sur la droite donnee. Ayant ainsi deux points cotes de cette Echelle de pentCy il serait bien facile d'en achever la graduation.

777. {Fig. 4-) P(^ un point (io™,3) situd sur un plan donne^ tracer sur ce plan

unedroite dont lapente soit — On tracera une horizontale de ce plan dont la cote

difffere de celle du point donn6, de 4" par exemple, et soit ainsi i4"f3; puis, avec un rayon ^gal a 4 fois la base n de la pente assignee, et du point donn6 comme centre, on decrira un arc decercle qui, en coupant Thorizontale choisie, fera connaitre le point que Ton doit joindre avec le point donne pour avoir la droite demandee. On sent que ce problfeme aura en general deux solutions, mais ellesse redttiront a une seule, ou deviendront impossibles, si la pente assignee pour la droite egale ousurpasse celle du plan donne.

778. itant donnee la projection d'un point sitae sur un plan connu, trower la cote dece point. On menerapar cette projection une perpendiculaire sur Fechelle du plan, etla cote du point de rencontre sera celle du point propose.

Si Techelle du plan n'etait pas construite, et qu'il fut represente seulement par diverses horizontales, on pourrait appliquer sur le point propose une regie divis^e en millimetres, en la pla<^nt de maniere que deux divisions entieres tombassent sur les horizontales voisines; par la, on apprecierait immediatement la fraction de mfetre qu'il faut ajouter a la cote de Thorizontale superieure pour obtenir la cote du point en question.

779. {Fig. 5.) Trouver V intersection de deux plans P et F, donndspar tears dchdles graduees. On tracera, dans chaque plan, deux horizontales qui aient respectivement les mSmes cotes; etla rencontre de ces quatre droites fera connaitre deux points cotes de Tintersection demandee, ce qui en determinera la projection et la pente, ainsi que la fig. 5 le montre assez clairement.

780. {Fig. 6.) Lorsque les horizontales desdeux plans P et F se rencontreront trop loin, on emploiera des plans secants auxiliaires^ par un proc^de remarquable auquel il faut souvent recourir dans la theorie actuelle. Tragons deux parallWes a etb dans une direction arbitraire, et regardons-les comme les projections de deua; horizontales qui auraient pour cotes, Tune 12", Tautre i5"; dfes lors ces droites a et 6 diterminent un certain plan P, dont il est facile de trouver, par le pfoc6de

CHAPITBE II. — BIBTHODE DBS PLANS COTES. 3] 3

du n*^ 779» Tintersection c avec le plan P, et rintersection d avec P'. Or ces deux sections c et ^se coupent en un point x, qui appartiendra ^videmment a Tintersection des plans primitifs P et P'; puis^ on trouvera un second point a/, en tirant deux autres parallMes horizontales a! et b' : de sorte que xx' sera la projection de Tintersection demandee, et, pour achever de definir cette droite, il n'y aura plus qu'a trouver les cotes des points or et o/^ ce qui s'efTectuera par Tun des moyens indiques aux n°» 765 et 778.

Ge procede deviendrait indispensable, si les plans donnes P et F avaient leurs horizontales respectivement/)a/ti//e/ef; maisalors un seul plan auxiliaire suffirait, puisque Tintersectipn demandee devrait 6tre aussi parallele aux horizontales primitives.

781. {Fig. 7.) Trouver rintersection d*une droite et d^un plan donnis. On conduira, par la droite proposee, un plan auxiliaire dont les horizontales seront deux paralleles menees arbitrairement par deux points de cette droite; puis, en cherchant rintersection de ce plan auxiliaire avec le plan donne, cette intersection coupera la droite proposee au point demande x. II restera k estimer la cote de ce point, comme nous Tavons indique aux n^ 765 et 778.

782. [Fig. 8.) On trouvera semblablement le point de rencontre de deux droites donnees, qui seraient situees dans le meme plan vertical, ou qui auraient la m^me projection. Gar, en conduisant par chacune d'elles un plan arbitraire, rintersection de ces deux plans ira passer par le point cherche, dont la cote s'e^timera ensuite comme au n^ 765.

785. Par un moyen analogue, on pourra reconnaitre si deux droites donndes^ dont les projections sont difT6rentes, se coupent effectivement ; car, dans ce cas, il faudra que rintersection des deux plans arbitraires conduits par ces droites aille passer par le point commun aux deux projections donnees ; ou bien, on examinera s'il y a parallelisme entre les droites qui reuniraient les points affectes des memes cotes.

784. [PL %^ffig. 9.) Par un point donni (io™,4)> conduire unplan paraUile a un plan donni. L'echelle de pente du plan cherche sera parallele k celle du plan connu, et passera par le point donne. D'ailleurs, puisque I'inclinaison doit etre egale, il suf&ra de joindre le point (io™,4) avec celui qui a la meme cote sur Techelle donn^e, puis de mener k cette ligne de jonction, des paralleles par les autres divisions de I'echelle du plan connu.

785. {Fig. ID.) Par deux droites donnies^ conduire deux plans qui soientpa-raUeles entre eux. On m^nera, par un point de la premiere droite, une parallMe k la seconde, et, par un point de celle-ci, une parallMe k la premiere droite. Alors, en conduisant un plan par la premiere et la troisi^me droite, puis un autre, plan par la deuxi^me et la quatrieme, on obtiendra ^videmment les ueux plans demandes. On sent bien qu'ilsse reduiraient k un seul, si les droites primitives se coupaient; ou qii'ils deviendraient ind^termines, si elles ^taient paralleles.

786. D'un point donni (8™,2) , abaisser une perpendiculaire sur un plan connu. La projection de cette perpendiculaire sera evidemment/>ara//^fe a la projection de

G^m^trie Lerojr. 4^

r^chelte do plan, mais leurs inclinaiions seroot ioterses Tone de Tautre ; c'estk-dire que si la pente du plan donn^ est ^ par exemple^ celle de la droite cherch^e

s^ra X- Alors, en prenant sur Techelle horizontale du dessin une lotigueur egale

a 3 metres, et portant cet intervalle sur la perpendiculaire indefinie, au-dessoUs du point doune {S^fH)^ on obtiendra iln second point de cette perpendiculaire qui aura pour cote (8™,2 -h 5™) ou (i3™,2). Par Ik, cette perpendiculaire sera completement determinee; mais nous laisserons au lecteur le soin d'executer ces con* structions, ainsi que celles qui sont indiquees dans les numeros suivants.

"787. Si d'ailleurs on cherche (n*' 781 ) le point de rencontre de cette perpendiculaire avec le plan propose, et que Ton calcule la vraie distance de ce point de section au point donne (n*^ 764), on connaitra la pluscourte distance de ce dernier point au plan propose.

788^ De in6ine> 9ii Ton domandait la plus courts distance d'un point a une droite^ oa G<)nduirait par ee point un plan perpendiculaire k cette droite, et Techelle de ce plan se construirait par un precede inverse de eelui du n^ 786. Ensuite on chercherait le point de rencontre de ce plan et de la droite proposee, puis la vraie distance de ee point de section au point donne.

Les questions qui precedent suffisent, sans doute, pour montrer comment on fesoodra tons les problemes ou il n'y aura k combiner que des droites avec des plans; et nous engageons le lecteur a s'exercer encore snr la recherche de la plus courte distanes de deux droiteSr et sur Tangle de deux plans, ou de deux droites denudes*

789. [PL 65 f Jig. ii.) Les subpages gourbes, surtout lorsqu*elles ne sont pas Busoeptibtes d'une definition rigoureufie, comme cela arrive pour la surface du sol, se representeoft par les projections d'un certain nombre de courbes de niveau^ qui sont les seetions que prodciiraient dans cette surface des plans boriEontaux, (iqui'distants dans le sens vertical ; puis, Fob regarde chaque zone eomprise entre deuK courbes de niveau consecutives, eomme engendree par une droite quip en gUssantsur ces deux eourbeSy demeurerait eonsiammenl normale k Tune d'elles, par exemple a la courbe infi^rienre. C*est done une surface gauche que Ton substitue ainsi, dans chaque zone, k la surface reelle du terrain, dont la forme rigoureuse ne serait eonnue qn'autant qu'on aurait assigne la loi geometrique qui lie entre etles les diverses sections de niveau; mais cette approximation est bien suffisante ici.

790. Ordinairement, les courbes horizontales sont assez rapproch^es et assez peu difr(6rentes dans leur eourbure, pour que la generatrice rectiligne de chaq^ie zone puisse dtre regardee eomme sensiblement normale tmx deux courts k la fois. Dan9 cette hypothese, la surface que Ton substitue k la zone du sol devient d^veloppable (n^ 180) ; car chaque generatrice, pour passer k one position infiniment voisine, se meut sur deux tangentes qui sont evidemment parallfeles, et des lors situ^es dans ufn meme plan.

CHAPITBE II. •— i^hhide »bs pi^ans gotes. 3i5

791. [Fig. 1 1 .) Lorsque la distance des sections de aiveau se trouve» daQs oertaines regions^ trop considerable pour que les droites generatrices soient sensible-^ ment normales aux deux courbes voisines, on peut substituer a ces droites des aro^ de courbe qui remplissent cette condition; et par la on ne change pas le mode de generation, car cela revient k imaginer d'autres sections de niveau intercalees entre les premieres, et assez voisines pour interceptor sur la generatrice curviligne des arcs qui puissent dtre regard6s comme confondus avec leur^ eordes.

792. [Fig. 1 1 .) Trower la cote d'un point domUparsa projection horizontcUe, et sitae sur une siuface connue. Si cette projection tombe entre les courbes de niveau qui ont les cotes la"" et i3™, on menera par ce point une generatrice normale dont les extr^mites auront ces memos cotes; puis, en appliquant sur cette droite une r^gle divisee en millimetres, on verra aisement quel est le rapport des deux parties de cette normale, et alors une simple proportion fera trouver la cote du point pro* pose (i2'*,6),

793. La question reciproque, oil Ton aurait pour but de trouver tons les points de la surface qui ont une cote donnee (.i4'^,5), est egalement facile k resoudre, e^ prenant lea milieux des diverses normales ; et c'est par ce moyen qu'on intercalera de nouvelles courbes de niveau entre les premieres, ainsi qu*on le voit dans la^^. i x •

794. {Fig. 1 1 .) Construire k plan tangent pour un point donne sur une surface connue. Lorsque le point donne M sera place sur une des courbes de niveau, le plan tangent devra {)as$er par la tangente de cette courbe et par la generatrice rectiligne LM qui lui est normale; ainsi, en prolongeant cette normale jusqu' a la courbe superieure, la partie interceptee ML fera connaitre : v^ la direction de V dchelle de pente du plan demande; a^ les cotes de deux points de cette echelle, dont la graduation sera des lors biea facile k achever. Si Ton admet Thypothese habituelle du n^ 790» ce plan touchera la zone tout le long de la generatrice interceptee LM; tandis qu'il ne serait tangent qu'au seul point M, si Ton conservait la generation du n^. 789«

795. Quand le point de contact sera donne entre deux courbes de niveau cons6* cutives, on menera encore de ce point une normale a la courbe inferieure ; et si cette droite est sensiblement normale k la courbe superieure, la partie interceptee fournira la direction et la grandeur d'une des divisions de 1 echelle du plan tan^ gent. Dane le cas contraire, on tracera (n^ 793) la section horizontale qui passerait par le point donne ; et alors la tangente et la normale de cette courbe deteroain^!** ront le plan tangent comme au numer<> precedent.

796. Si, a partir d'un point L donne sur la surface^ on mene une normale LM a la courbe inferieure, puis que, du pied de cette normale, on en conduise une autre MN perpendicuLaire k la troisieme courbe, et ainsi de suite^ Tensemble de ces diverses normales formera la Ugne deplu$ grandepente de la surface, relativement au point de depart L. Cela deviendra evident, si Ton admet que chaque zone du terrain coincide avec son plan tangent, dans une largeur tres-petite autour des droites LM, MN, NP,..., et si Ton se rappelle ce ^ue nous avons dit au n® 770 pour la ligne de plus grande peate d'un plan.

3l6 UVRE U. — ADDITIONS.

797. Dans les applications de la methode actuelle, il importe beaucoup de savoir discerner d'avance quelle sera la position du plan tangent par rapport a la surface, dans les environs du point de contact. Or, d'apres ce que nous ayons dit sur la courbure des surfaces et la note du n^ 695, on peut poser, comme vraie en general, la r^gle suivante : Lorsque deux courbes tracees sur une surface se coupent k angles droits, et que Tune et Fautre sont comexesy c'est-a-dire situees au-dessous du plan tangent relatif au point commun, la surface est elle-meme convexe tout autour de ce point. Gette consequence ne soufPrirait d* exception que si les tangentes aux deux courbes rectangulaires se trouvaient comprises dans le meme angle obtus PM^ ou QMj9 [fig. 1 34) forme par les deux plans normaux lindtes dont nous avons parle au n^ 694 : mais ce cas exceptionnel ne se presentera jamais ici pour la section de niveau et la ligne de plus grande pente, du moins en conservant I'hypothese ordinaire d'une zone developpable^ admise au n^ 790 ; car alors cette ligne de plus grande pente sera tangente a Tune des deux sections principales, Ainsi, pour s'assurer que la surface du sol est corwexe autour d'un certain point, il suffira de reconnaitre que la courbe de niveau et la ligne de plus grande pente sont toutes deux convexes dans le voisinage de ce point : or, la premiere de ces lignes 6tant donnee en vraie grandeur sur le plan horizontal, on verra bien si elle remplit cette condition ; et quant k la seconde, voici un caract^re facile a saisir.

798. {Fig. II.) En designant par h la distance verticale de deux sections de niveau cons^cutives, et par / leur distance LM en projection horizontale, il est clair que rinclinaison a de la tangente k la ligne de plus grande pente au point M sera

donnee par la relation tanga==79 du moins pour des valours de h assez petites.

Si done on veut que cette courbe soit corwexe, ou situ^e au-dessous de sa tangente dans le voisinage du point consid^re, il faut evidemment que Tangle a aille en augmentant a mesure que Ton descend de L a M, N, P,..., et cons^quemment que les distances horizontales / ou LM, MN, NP,..., aillent en diminuant, puisque h est constant. D'apres ces remarques, on peut poser les regies suivantes :

i^ La surface est convexe, c'est-a-dire inferieure au plan tangent tout autour du point de contact, quand toutes les courbes de niveau voisines sont cofwexes, et que leur distance horizontale diminue en descendant, ou du moins reste constante;

2^ La surface estconcavCf ou superieure au plan tangent, lorsque toutes les cpurbes de niveau sont concaves^ et qujB leur distance horizontale augmente en descendant, ou du moins reste constante ;

3^ Lorsque les courbes de niveau sont cowexes, et que leur distance horizontale augmente en descendant, la surface est convexe dans le sens horizontal, mais elle est concave suivant la ligne de plus grande pente, comme la gorge d'une poulie dont Taxe serait vertical;

4^ Quand les courbes de niveau sont concaves^ et que leur distance horizontale diminue en descendant, la surface est concave dans le sens horizontal, et convexe

CUAPITRE U. -— BIETHODE D£S PLANS GOris. 3 1 J

dans le sens de la ligne de plus grande pente, comme la gorge d'une poulie dont Taxe serait horizontal.

Maisy dans ces deux derniers cas, et dans les autres varietes de forme que peuvent oiTrir les courbes de niveau, le plan tangent se trouve en partie au-dessus et en partie au-dessous de la surface ; par consequent, il coupe le terrain, et Ton ne peut plus s'en servir utilement pour les problemes du deJUement. Le meme inconvenient s a lieu dans le second cas cite plus haut.

799. 11 resulte aussi des considerations precedentes que lapente du sol, regarde comme coincidant avec son plan tangent dans une petite etendue autour du point

consid^r^, a pour mesure -j- Ainsi cette pente est d'autant p/o^roi^ que les courbes

de niveau sont plus rapproch^es les unes des autres en projection horizontale; et si deux de ces courbes venaient k se toucher, le terrain serait a pic en cet endroit.

800. [Fig. 1 1 .) Sur une surface connue^ tracer I'axe d'un chemin dont lapente soit comtante. Si \ est la pente assignee, on prendra une ouverture de compas egale k 6 unites de Techelle horizontale du dessin, et en la portant de a en 6, entre deux courbes de niveau dont les cotes different de i metre, il est clair que la droite projetee sur ab sera la ligne milieu d'une rampe plane qui aura bien une pente egale k ^. Done, en continuant de porter le meme intervalle de b en c, de c en d^ de d en e^ avec le soin d'eviter que Tune de ces droites ne coupe deux fois la m6me courbe de niveau, on aura satisfait k la question proposee.

801. {Pi. 65 J Jig. id.) Tromer V intersection d'un plan donne avec une surface connue. On tracera les horizontales du plan, qui ont les memos cotes que les courbes de niveau de la surface proposee; et leurs rencontres mutuelles feront connaitre les points de Tintersection demandee. Mais il faudra prendre garde de confondre les points d'entrde avec les points de sortie^ et quelquefois intercaler de nouvelles courbes de niveau dans les parties ou les donnees ne seront pas assez voisines. Pour obtenir le point culminant de la section, c'est-a-dire le point ou la tangente sera horizontale, il faudra chercher une generatrice ab qui soit normale a la courbe de niveau inferieure, etparaUele a la projection de VdcheUe de pente du plan secant; car, pour le point z de la courbe qui se trouvera sur a6, le plan tangent de la surface sera le m6me qu'en a (du moins dans Thypothfese habituelle du n^ 790) ; et comme ce dernier plan aura sa trace horizontale parallele k celle du plan secant,! leur intersection, qui sera la tangente en z, se trouvera necessairement horizon-

, tale. Quant k la maniere de trouver le point z ou la generatrice ab rencontre le plan secant donne, cela s'effectuera par la methode du n^ 781, ainsi qu'on le voit indique sur la^^. 12.

802. Lorsque le plan propose sera vertical, la section se trouvera projetee sur sa trace; mais alors, comme on connaitra les cotes des points oil il coupe les courbes de niveau, on pourra executer un profit rabattu, en faisant tourner le plan secant autour de sa trace horizontale.

803. [Fig^ 1 3.) Trouper V intersection d'une droite et d'une surface donnees. On

3i8 tnrwE ix. *— additioiis.

oonduira par cette droite un plan arbitraire, en tirant a volonte des paralleles ptav tousses points de division : puis, en cherchant la section que ce plan produira dans la surface, cette courbe ira rencontrer la droite primitive au point demand^.

804. On trouvera Tintersection de deux surfaces connues, en combiaant le-s courbes de niveau qui ont des cotes respectivament egales dans les deux surfaces.

Enfin, s'il s'agissait d'avoir le point de rencontre d'une surface avec une courbe, on imaginerait, par cette dernifere, un cyUndre horizonkd dont on chercberait Tintersection avec la surface donnee, operation qui s'executerait comme au n^ 801 ; alors cette intersection irait couper la courbe donnee^ aux points qui seat communs k cette derni^re et k la surface propos^e.

Nous nous bornons ici k ces indications succinctes, parce que les autres questions que Ton pourrait traitor par ces m^thodes n'auraient d'interet qu'en les presentant sous une forme qui les rattacherait specialement k la Fortification.