NOTIONS PRI^LIMINAIRES SUR LES ENGRENAGES

806. Quand un corps solide, quelle que soit sa forme, tourne autour d'un axe fixe, tous les points de ce corps d^crivent, dans un meme temps, des arcs de cercle qui correspondent k des angles necessairement igaux^ puisque le systeme est de forme invariable. Done ces arcs se trouvent proportionnels a leur rayons r, r', r'',..., qui sont les distances de ces divers points a I'axe fixe, et consequemment les vitesses absolws Vf i/t v^f...^ de tous ces points sont aussi proportionnelles aux rayons r, r\ r"",... ; de sorte que si Ton desigoe par co la vitesse absolue commune a tous les points qui sont places a une distance de Taxe dgale a funit^, on au^ toujours les relations

- = -« = -5 = ... =5= 0), d oil «; = roi), c/ = r'w,....

La quantity (d est ce qu'on appelle la vitesse angulaire ou la vitesse de rotation du systeme, soitqu'elle demeure constante ou qu'elle varie avec le temps; et lorsque cette vitesse co sera connue, on voit que les vitesses des autres points du corps s'ea deduiront immediatement.

806. Cela pose, un engrenage cylindrique est le systeme de deux roues dont les axes soot parallUes, et dont Tune ayant recu un mouvement autour de son axe immobile, communique a Tautre roue une rotation contraire autour de son axe egalement invariable. Mais cette transmission de mouvement doit etre faite sous la condition essentielle que les vitesses angulaires des deux roues conserveront toujours entre elles un rapport constant ; afin qu'un mouvement uniforme imprime a la roue menante produise aussi un mouvement uniforme dans la roue menee^ ce qui ec^t ea general une condition n6cessaire pour le jeu regulier des machines.

CUAPITRE m. — NOTIONS Pft^UMINAiaBS SUE LBS ENfiRENAfiES. dig

IMMT. {Pt. ^ifig. I.) Pour remplir la condition ^noncee ci-defii3Us» pa^tageons rint^rvalle 00' des deux axes en deux parties OA = R, O'A = R', qui soient en raison inverse des nombres keiK par lesquels la question aura fix^ le rapport que doivent ofTrir les vitesses angulaii^es des deux roues; puis, avec ces distances pour rayons, d6crivons deux cercles tangents en A, et dotit chacun suit lie invariablement avec son axe. Alors, je dis qu'on atteindra le but propose en faisant tourner ces deux cercles primitifs de manifere que ks points de leurs circonfirences prennent des viTfissEs ABSOLUES qui soient £gales dans les deux cercles; ou, en d*autres termes, de maniire quisles points A et a de ces circonferences decri^ent toujours, dans un mime temps^ des ares AA' et ac^ qui soient dgaiuc en longueur absotue.

En eflet, en appelant V et V ies vitesses absolues des points A et a, il en r^ultera pour les roues et 0' des vitesses angulaires (n^80o) donnees par les formules

et si V = V' k toutes les epoques du mouvement, quoique ces vitesses puissent vai*ier 9vec le temps, il est evident que Ton aura toujours

i-^ rv'- • JL • J- • • i • *'

Ainsl, en remplissant la condition AA'= aaf, le rapport des Vitesses angulaires des deux roues demeurera bien constant, et egal k celui que la questioti avait assigo^.

806. (Fi^. I . ) Pour qufe le mouveoient de rotation imprime k la roue O soit transmis k la roue 0' d*une maniere eificace et capable de vaincre des r<^sistances considerables, on arme ces deux roues de saillies ou denis^ termini§es par des surfaces cylindriques projetees sur des courbes telles que AB et abi On pourra tracer II volenti le profil ab d'une de ces dents (sauf la restriction du n^ 850) ; maifi ensuile la forttie AB de la dent cenjuguee devra §tre choisie de mani^e que, par sa pression continue sura6, le mouvement satisfa^^ k la condition essentielie AA' = oa' iodi^qu^e ci-dessus.

{Fig. a.) Si done on conceit que la roue 0' ait tourn6 de maniere que le rayon O'a soit parvenu en 0'a\ et le profil ab en a'b\ I'autre roue aura dft tourner d'un angle AOA' tel, que Tare AA'= aa'; et dans cette position, la couAe inconnue AB, transportee en A'B', devra aussi toucher ie profil a!b' en un certain point m'. (Jn pareil contact devra se reproduire pour toute autre rotation satisfaisant a T^galit^ des arcs parcourus par les points A eta; mais, comme dans ce genre de mouvement les deux profils AB etaft se deplacent simultanement, il n'est pas facile d'apercevoir to relation geometrique qui doit les lier entre eux : tandis que cela deviendraM fort ais6, si I'uR de ces profils demeurait immobile. Nous aliens done tkcher de ramener la question k c^ dernier ^at.

809. A cet effet, et lorsque les deux roues ont d^jk pris la position oil les dents soni devenues A'B' et a'6', faisons tai>mer tout le systeme autour du point 0, sans

320 LIVHB n. — ADDiriOKS*

alterer la situation relative d'aucune de ses parties, et de manifere que le rayon OA' reprenne sa position primitive OAZ, et le profit A'B' sa premifere situation AB. Par Ik, la ligne des centres 00' aura decrit Tangle O'OOj correspondant k un arc AAj, egal k A A' : le cercle 0' sera devenu le cercle O^, et le profil a'b' aura pris la position aa^a, qui devra evidemment se retrouver tangente au profil primitif AB, comme cela avait lieu pour a'b' et A'B'. Mais, puisque les arcs Aj A et Aa^a sont les memes que AA^' et Aa', qui ont par hypothese la m6me longueur, il s'ensuit que ces arcs Aa A et Ajfla sont aussi egaux entre eux; et de la resulte cette consequence remarquable : le cercle Oa, ci^ec son profil ajba, rCest autre chose que ce que deviendrcdt le cercle 0' avec son profil ab, si Von faisait rouler ce dernier cercle^ sans glisser^ sur la circonfi^ rence demeuree entierement immobile, ainsi que son profil AB.

Et comme il en serait de meme pour tout autre, angle de rotation, satisfaisant k la condition AA' = oa', on pent poser ce principe general : Lorsque deux cercles tangents et 0' tournent autour de leurs centres immobileSf de mani^re que leurs circonferences prennent des vitesses dgales^ leurs positions relatives^ et celles des courbes qu'ils entrainent avec eux, sont les memes que si Ton avait laiss^ le cercle entierement immobile, et qu'on eut fait rouler le cercle 0' sur le premier.

810. [Fig. 3.) D'apres cela, on voit que la propriete caracteristique de la courbe AB pent etre ^noncee comme il suit : Le profil AB doit Stre l'enveloppe de toutes les positions aaba» agb,,..., qu^occupera le profil ^h^ lorsqut on fera rodler le cercle 0' sur le cercle 0, qui demeure entiirement immobile. Ainsi, apres avoir construit un certain nombre de positions O^, O3, 0'^,..., du cercle roulant 0', avec les courbes correspondantes aa^a, a^b^^ a^bj^^...^ il n'y aur^ plus qu'k tracer une courbe Aee^e^... qui soit tangente k toutes ces em^eloppSes. Mais ce precede fort simple, qui offrirait d^jk une approximation suilfisante dans beaucoup de cas, acquerra toute la precision desirable, si nous donnons, comme nous aliens le faire, un moyen de trouver la position meme des points de contact.

811. {Fig. 3.) Observons, d'abord, que Tenveloppe de toutes les courbes aft, aa&a> ^t^t^M n'est autre chose que le lieu des intersections consecutives i, 1', i^,..., de toutes ces courbes supposees infiniment voisines ; car ce lieu aurait Evidemment deux points communs avec chacune de ces enveloppEes, et consequemment il serait tangent k chacune d'elles.

Cela pos6, si Ton considere le cercle individuel O3 avec Tenveloppee correspondantea,6„ et qu'on mene a celle-ci une normale A,^, partant du point de contact du cercle mobile, je dis que e, sera le point de contact de Tenveloppe AB sur la courbe a, 6,. En eilfet, pendant la rotation du cercle O3 pour passer a une position infiniment voisine, le point c, decrit (n^ 474) un petit arc circulaire €,6 qui a pour rayon la distance A,e, : or, puisque cette droite a ete choisie normale k la courbe fltftt* Tare e,fi sera tout entier sur I'enveloppee a^b^\ done le point £ se trouvera commun k Teoveloppee a, 6, et k celle qui la suit immediatement, et dfes lors ce point appartiendra k I'enveloppe cherchee AB. Mais cette enveloppe passerait aussi par un point analogue e' situe k gauche de e,, et qui serait Tintersection de la courbe

GHAFITRE III. — PRl^tlMINAIRES SITR LBS Blf«ftEIfAGES. 3a I

^3*$ avec Tenveloppee qui la precede imaiediatement; done Telement €'^,6 se tpouve comnoiun k Venveloppee «, 6, et a Tenveloppe generate AB : par consequent, le contact de ces deux lignes est bien en ^,» et leur normale commune est k^e^.

812. D'aprbscela, quand Tenveloppee a6 sera definie geometriquement, on saura mener k ses diverses positions des normales partant des points A2, A,,..., lesquelles feront connaitre autant de points e^, ^3,..., de Tenveloppe generale. Si Tenvelopp^e ah n'est donnee que graphiquement, aprfes Favoir transportee dans la position a^ 6, par exemple, on cherchera une ouverture de compas telle, qu'en decrivant du centre A, un arc de cercle, il touche sioiplement la courbeas^,; une petite portion de cet arc appartient sensiblement k Tenveloppe, et en raccordant tons les arcs semblables par un trait continu, on obtiendra Tenveloppe cherchee avec une exactitude suffisante pour la pratique. Neanmoins, ce trac6 offrirait encore plus de precision, si on reffectuait avec les rayons des cercles osculateurs de Tenveloppe; c*est pourquoi nous aliens donner le moyen de trouver ces derniers.

813. {PL 669 Jig. 4-) Centres de courbure de Ven^eloppe. Soil 0' une position quelconque du cercle mobile qui touche le cercle fixe au point a; soient ab Venveloppee correspondante a cette situation, A/nB Tenveloppe generale, C et G les centres de courbure de ces lignes pour le point de contact m, centres qui doivent etre surla normale commune am, etdont le premier est cense connu par la definition de la courbe amb. Si Ton prend sur les cercles primitifs deux arcs olol^ et aod qui soient egaux en grandeur absolue et infinimentpetits, la droite Q^a^m^ sera une nor* male de Tenveloppe, etCm'a' une normale deTenveloppee; car le centre de courbure C ou G doit etre Tintersection de la normale am avec une normale infiniment voisine. Or, quand la rotation du cercle 0' aura amene le point a' en contact avec af, les deux normales Ca, et God se trouveront necessairement en ligne droite, ainsi que les deux rayons Oa, et O'a'; d*ou Ton conclut que les angles O^iG et O'a'C doivent etre egaux actuellement, puisqu'ils ne changeront pas de grandeur pendant le roulement du cercle 0'. Cela pose, en designant par f Tangle OaC = O'aC', on a

^videmment

Oa,C = (pH-0-C, 0'a'C=(p + C'-0';

d'oii il r^sulte, en ^galant ces deux expressions,

Pour estimer ces derniers angles, il faut employer les arcs decrits de leurs sommets avec un rayon egal a I'unite, et comparer ces arcs avec aa^ et atx! que Ton doit regarder comme une seule ligne droite perpendiculaire k OaO'. Des lors, en posant

a = R, Gm = p, O'a =. R', Gm = p', am==pf aa^ = olo! = ds^

et en decrivant avec le rayon Ca ou Ga un arc de cercle qui aura ^videmment pour longueur <& • cos 9 , on trouvera aisement

1 i-\ ds ^, ds ^ ds, cosff r*i ds. COS9

angleO = ^, 0' = g-,, C = -^, C'=:-^;

G^mdtrie Leroy, 4 '