UVRE IX. — ADDITIONS

places run a gauche et Fautre a droite de m; mais, comme alors un des arcs mnti et mm' serait negatif, ce serait encore leur difference analytique qui donncrait Tecartement des points m^ et m\ de sorte que I'integrale <^ s'applique aussi k ce cas. Enfin, lorsque le roulement est interieur, comme dans la ^g. 5, cette integrale prendra la forme

mais, puisque, dans ce cas, les rayons R et R' sont necessairement in^gaux, la diffe^ rence ^ des arcs parcourus par le contact se trouvera encore differente de zero, et il y aura toujours un glissement entre Tenveloppe et Tenveloppee, pourvu que p ne change pas de signe dans TintervaUe que Ton considere.

Revenons maintenant a la construction graphique des centres de courbure d'une enveloppe, en prenant pour exemples les cas employes le plus ordinairement dans les engrenages.

819. {PL 6'jf Jig. 9.) Enveloppe d'un point mobile. Si Tenveloppee se r6duit k un point unique a place sur la circonference meme du cercle mobile 0", Tenveloppe ne sera autre chose que la courbe decrite par ce point, c'est-a-dire Tepicycloide simple aMB : ce serait Tepicycloide allongee a'M'B', si le point generateur etait place en a' a Texterieur du cercle mobile; et s'il etait place interieurement en of' 9 il donnerait lieu a Tepicycloide raccourcie a"M"B". On a vu precedemment (n*** 471, 473) combien il est facile de trouver les points M, M', M" de ces courbes, qui repondent a chaque position du contact a du cercle mobile 0" ; et que les normales correspondantes sont les droitesaM, aM\ aM". Maintenant, pour obtenir les centres de courbure, il faut, suivant la regie du n** 816, 61ever sur chaque normale une perpendiculaire aD, aD' ou ocD'\ et la prolonger jusqu'k ce qu'elle coupe le diametre MO' : puis, en joignant le point de section D, D' ou D", avec le centre 0, par une droite, cette dernifere rencontrera le prolongement de la normale au centre cherche C, e ou C".

820. {Fig. 9.) Pour Tepicycloide simple AMB, on voit bien que, sans tracer la perpendiculaire aP, le point de rencontre avec MO' sera toujours a Textremite D de ce diametre; en outre, la suite des centres de courbure analogues a G formera une developpee ACE, qui sera elle-meme une nomelle epicycloide, que Ton pent determiner a priori de la maniere suivante. Apres avoir eleve la perpendiculaire CSsur la normale, on decrira un cercle qui ait pour diametre I'intervalle a§, et un autre cercle qui ait pour rayon S : puis, en faisant rouler le premier sur le second, le point G engendrera la developpee AGE. Pour justifier cette assertion, adoptons les notations suivantes :

Oa = R, 0'of = R', Oe = r, aS=2r'; puis, observons qu'a cause de aD = MX, on a evidemment

Oe;Oa;;6G;aD;;a6:aT;

CHAMTRB lU* — MU&UMIlllUUBS S0B LBB Elf€U«A«BS. 3a5

ce qui donne la relation

r : R ; : r' : R'. D'ailleurs R = r4- ar'; .

d'oii Ton conclut