R« , RR

'"'"R^-aR'' ''~R-haR''

Ces valeurs constaates prouvent dejk que les deux cercles decrits avec OS et aS resteront invariables de grandeur, quelle que soit la position du contact a du cercle primitif 0'; dfes lors, apres avoir pris Tare AF egal a la demi-circonference MaD, et avoir tir6 le rayon OEF, il ne restera plus qu'a deinontrer que Tare SC est 6gal a SE. Or les arcs semblables SC et MT sent proportionnels k leurs rayons, ainsi que SEet aF; on a done

arc6C = ^,MT, arceE = ^aF.

Mais MT=aF; done les arcs SG et SE sent aussi egaux en longueur absoluOt d'apr^s la proportion trouvee plus haut entre les quatre rayons.

821. Pour le soinmet B de I'^picycloide primitive, le centre de courbure est evidemment place a Forigine E de la developpee ACE ; mais, comme la regie generale du n'' 816 devient insuffisante pour obtenir ce centre particulier E, k cause de la coincidence de plusieurs lignes, il importe de savoir le trouver directement. Or la valeur de r= OE, qui a ete donnee ci-dessus, fait voir que si Ton decrit sur OB comme diamfetre une demi-circonference, elle coupera le cercle primitif du rayon OA en un point G tel, que la perpendiculaire 6E fournira le point cherche E.

822. On a vu au n^ 199 que, dans une courbe quelconque, un arc de la developpee est toujours egal k la difierence des rayons de courbure qui aboutissent a ses extremites. Done ici Tare AG egale la droite GaM; et la demi-branche ACE aura pour longueur EB = ar'4- aR'; mais, pour n'employer que les elements meme de Tepicycloide ACE, il faudra substituer pour R' sa valeur en fonction de ret r', tiree des formules du n® 820, et Ton trouvera

ACE = 4r'4-^";

r^sultat qui pent se construire aisement sur la figure.

822 bis. La gycloide ordinaire dont nous avons parl6 au n^ 478, se d^duit de r^picycloide, en supposant infini le rayon du cercle fixe, ce qui change ce dernier en gne droite sur laquelle roule le cercle mobile. Si done on applique a lay£^. 8, PL 47> la regie du n^ 816, on trouvera que, par Textr^mite du diamMre M0'(^, il faut tirer une droite qui aboutisse au centre du cercle fixe, c'est-k-dire ici une perpendiculaire <^C sur la base DAF; et que la rencontre de cette droite &C avec la normale MA prolongee, fournira le centre de courbure G relatif au point M. II en resulte evidcmment que le rayon de courbure MAC de la cycloide est toujours double de la normale MA; et consequemment, pour le sommet G, le rayon de courbure GE est 6gal au double du diametrc du cercle mobile. De Ik on conclura aisement que la

3^ iiTRis IX. -^ ADMtHmai.

developpee DCE est una autre cycloide egale k DGF, et que la lon^eur totale de ceite brauche DGF est^ Bgale a quatrefois le diametre du cercle generateur 0'.

823. {PL 6'j, ^g. lo.) Envehppe d^un cercle. SoientO le cercle fixe, etO'" le cercle mobile qui, eu roulant sur le premier, entraine avec lui un petit cercle &> dont le centre est fixe sur la circouference 0''. Adoptons pour position initiale celle ou le centre w se trouve coiqcider avec le point de contact A des cercles et 0''; alors, quand ce dernier aura roule jusqu'en 0', oil il touche le cercle en a, il faudra prendre Tare aM ^gal a aA; puis, du point M comme centre, avec le rayon donne r, decrire un cercle dmb qui representera la position actuelle de «. La serie des points M, Mj,..., formera d'abord une epicycloide AMjM; ensuite, d*apres le n® ^11, il faudra mener du point de contact a, une normale aM a Tenveloppee amby et les point8.de rencontre m et m' appartiendront a Tenveloppe demandee, iaquelle se composera ici de deux branches. Tune interieure em, I'autrfe exterieure ^m'. Ces deux enveloppes auront evidemment les memos normales que Tepicycloide AM; consequemment, elles auront aussi les m^mes centres de courbure et la mdme developpee ACE que Tepicycloide, ainsi qu'on y serait conduit forcemerit en appliquant a rune ou a Tautre le procede graphique du n** 816. Maisleurs rayons de courbure, tels que Cm ou Cm', seront tons plus petits ou tons plus grands que ceux de AM, de la quantite constanie Mm = r; de sorte que ces trois courbes seront equidistantes partout, dans le sens de leurs normales communes.

824. Chacune de ces enveloppes pr^sente un rebroussement k Tendroii oti elle vient rencontrer la developp6e ACE. Pour determiner le point e, il faut observer que, les points m et C s'etant rapproch^s jusqu'a coincider, alors le rayon d^ cburbiire de Tepicycloide est devenu egal kMm = r. Si done on regarde cette epicycloide comme Tenveioppe de I'espace parcouru par le point &> du cercle roulant O*', et qu'on lui applique la formule (A) du n^ 813, en observant que la normale dfeign^e alors par p est ici la corde aM dii cercle mobile, on verra qu*il faut poser^ dans cette formule,

d'oii Ton deduira aisement

r/R-f-aR^X

Dte lors, en prenant sur la circonf<6renee 0, a partir du point A, un arc ^gal \ celui qui, dans le eerele CT, a pour corde la valeur que nous venons de trouver pour p^ on obtiendra le point de contact a' qui repond au rebroussement chercb^ €; et ensuite ce dernier point se construira facilemeot, comme on I'a fait pour le centre C ati moy^ti de a.

All lieu d'appfliqtief la formule (A) du n** 813 k T^picycloide AM, on aurait pu Tappliquer directerlient a l*enveloppe tm dont le rayon de courbure devient nui pour le point chercfa^c. Alors it aurait fallu poser dans cette formule

p = o, p' = r, />' = 2R' cos 9^ — r.

CHAPITBE in. — ra^MINAIRBB SIT« |JSS BlfGEK!VA€BS. 3^7

car la novmdep' serait ici la dreite am; et Tob aurait obteau .

P ^ o(R-hR')'

yaleur negative, pafce que la nermale p' = am^ comcidant avec aC« $e trounBerait en dedans du cercle 0. Mais de la it aurait fellu concture la grandeur de ia corde aM =/>' -h r, ce qui aurait ramene k la valeur trouvie ci-dessus pour p.

825. La seule partie de ces enveloppes qui soit utile dans les applications aux engrenages, c'est la branche Em, ou, pour parler plus exaotement, c'est la portion &m de cette branche qui se trouve k Texterieur du cercle 0. Quoique Torigine & de cette portion utile diflere tres-peu du rebroussement £, si Ton vent determiner avec precision ce point & situe sur la circonference 0, on observera qu'il se preseste quand le petit cercle onA passe par le contact a des cercles et 0', c'est-^indipe quand la corde Ma se trouve egale au rayon Mm. Done il suffira de prendre Tate A^ eg^l a celui qui« dans le cercle 0"^ a pour corde le rayon Mm, e'est^a-i-dive Tare wi.

826. {Fig. il.) Emdappe d'un rayon. Si nous adoptons pour envelappee le rayon O'a du cercle mobile 0', Tenveloppe sera Tepicycloide AmB engendree fHur le point a d'un cercle Y qui serait decrit sur AO' comme diam^tre, et qui roulerait lui-mSme sur la circonference 0. En effet, quand le cercle 0' sera parvenu dans la position quelconque 0", le rayon O'a occupera une situation O^a!* determinee.par la condition acf = aA; si done nous abaissons sur cette enveloppee O'^a" la perpeiidiculaire am, le point m sera (n** 812) un point deTenveloppe cherchee. Mais-ce point m appartiendra evidemment a la circonference V decrite sur aO" comme diametre; et, des lors, les arcs am et aa"^ qui repondent a un memo angle c^O"a et sont decrits avec des rayons doubles Tun de Tautre, se trouveront egauxen longueur absolue : d'oii Von conclura que Tare am egale aussi Tare a A, et qu'ainsi le point 771, d6ja trouve pour Tenveloppe, appartient effectivement k Tepicycloide AB que decrirait le point a du cercle V qui roulerait sur la circonference 0.

827. Ce qui precede demontre en meme temps que si le cercle *V roulait dans rinterieur du cercle 0' devenu immobile, le point a de cette circonference V decrirait une ^picyclo'ide rectiligne qui serait precisement le rayon AO', oii plutot le diametre entier du cercle 0% comme nous Tavons dejk vu au n^ 4*75. De sorte qu*ici y enveloppee et Veweloppe sont engendrees par le roulement du mAne cercle V sur les circonferences et 0'; et ce resultat n'est qu*un cas particulier de la propo- • sitlon suivante.

828. [Fig. I ft.) Enveloppe d'une Spicycloide. Si Ton faitrouler un cercle U de rayon quelconque, d*abord dans Tinterieur du cercle 0', et ensuite k Texterieiir du cercle 0, un meme point de la circonference U decrira ainsi deux ^pioyclo'ides a6 et AB, dont la deraiere sera Tenveloppe de toutes les positions que prandra I'eavelopp4e ab, lorsque celle-ci se trouvera entrain^e par la rotation du cercle 0' sur la circonference 0. En efTet, prenons les cercles et 0' dans une position quelcQnque

328 LITBE CE. — ADDITIONS.

oil ils se touchent en a^ puis tra^ons le cercle U tangent aux deux autres dans ce meme point. Alors la circonference U ira couper Tepicycloide ah en un point mtel, que Tare a/w = aa; mais par suite de la rotation du cercle 0' sur 0, Tare aa = aA : done les arcs am et a A sont egaux, et consequemment le point m de \^ courbe ab appartient aussi a repicycloide AB. D'ailleurs, ces deux epicycloides sont tangentes au point comniun my puisque pour Tune comme pour I'autre (n® 472) la normale est la corde am du cercle g^nerateur U. Mais il est tres-rare qu'on emploie ces deux profits curvilignes pour les dents des roues, attendu qu'on trouve bien plus commode d'adopter ]e systeme de \^fig. 1 1 , oti Tun des deux profits est une ligne droite AO' (*).

829. [Fig* i3.) Erwehppe d'une devehppante de cercle. Adoptons enfin pour eoTeloppee la courbe amh, qui est la developpante (n® 479) d*un cercle concentrique avecO' et decrit d'un rayon arbitraire O'C. Si du point a nous menons a ce cercle O'C la tangente amC, celle-ci sera normale k amhy et elle fournira (n^ 812)

• un point m de Tenveloppe cherchee AmB; d'ailleurs, le centre de courbure C de cette enveloppe s'obtiendra (n*^ 816) en tirant O'C'et sa parallele OC, laquelle se

' trouvera perpendiculaire sur la normale CaC et aura eyidemment une valeur con-

' stante^ savoir :

d'oii Ton conclut que la circonference decrite avec le rayon OC sera le lieu de tous les centres de courbure de Tenveloppe A/nB; et consequemment cette enveloppe est elle-meme une developpante du cercle OC. L'origine E de cette developpante A/nB, s'obtiendra en prenant Tare CE egal a la droite Ciw.

850. [Fig. 7.) Revenons, maintenant, au veritable etatde deux roues dontTune transmet a I'autre le mouvement circulaire qui I'anime; car I'hypothese admise au n** 809, que le cercle 0' roulait sur le cercle enti^rem^it fixe, n'etait qu'une simple fiction propre a simplifier I'etude et le trace des enveloppes dont nous avions besoin. Ainsi, en realite, les centres et 0' sont fixes tous les deux, etle mouve-

[*] En g^n^ralisant ces considerations, on pent d^fmlr autrement que nous ne Pavons fait au n*" 810, la forme que doivent avoir les profils conjugu^ des dents d*un engrenage. Pour cela, d^gnons par W une courbe qaelconque tangente en A (fig. 2) aux deux cercles et 0', et faisons-la rouler tour a tour dans rint^rieur de la circonference 0' et k TextiSrieur du cercle 0; alors le point A de W d^rira suocessivement deux courbes ab et AB qui seront les profits demand^. Gar, lorsque les cercles et 0' toumeront autour de leurs centres immobiles, et de mani^re k imprimer des vitesses 6gales (n® 807) k leurs circonfSrences, il arrivera que les courbes AB et aby engendr^ comme ci-dessus^ se toucheroht constamment en un point variable pour lequel la normale commune passera toujours par le point A sur la ligne des centres. G'est ce que Ton d^montrera comme au n*" 809, si Ton substitue au mouvement de revolution des cercles et 0' autour de leurs centres immobiles, le roulement de la circonference 0' sur la circonference entierement fixe.

lllais cette seconde definition des profils des dents serait pea commode k employer dans le cas 01^ Ton assigne d'avance et arbitrairement la forme ab d'un de ces profils; car il faudrait alors commencer par chercher quelle serait la courbe W qui, en roulant sur 0', pourrait engpndrer le profil donne ab, ce qui offrirait souvent beaucoup de difficuUes.

CHAPITRB in. — ra^UMINAllBS SUB I£S ENGRENAGES. 3^9

ment de revolution qui est imprime k la roue se communique k la roue 0' par la poussee de la courbe AB sur la courbe ab; mais pour que ce mouvement satisfasse ^ la condition essentielle du h? 807, il faut (n® 810) que Tune de ces courbes soit Vemeloppe de Tautre dont la forme demeure arbitraire. Toutefois, on doit y mettre la restriction que, dans la portion de ab qui sera utilisee, les rayons vecteurs, teis que Cm, aillent toujours en decroissant ou toujowrs en augmentant; et des lors ceux de AB, tels que Cm, varieront constammenten sens contraire des premiers. Gela est necessaire pour qu*il y ait veritablement poussSe d'une dent sur Tautre; car, si Tun des rayons vecteurs O'm ^tait maximum ou minimum, il serait n^cessairement nor^ malh, la courbe ab. Or, quand les deux dents viendraient se toucher en m, la normale O'm, qui doit, k cette epoque (n^812), passer par le point de contact D des deux cercles, irait done coincider en directioti avec la ligne des centres ODO'; et des lors la revolution du cercle autour de son centre immobile, produirait une vitesse precisement tangentielle a la courbe amh^ ce qui ne donnerait lieu qu'k un simple frottement, lequel serait insufTisant pour entrainer la roue 0'.

831. [Fig. 7.) Lieu des contacts. Dans le mouvement de revolution autour des centres fixes et 0', le point de contact m de Tenveloppe et de Tenveloppee, qui toutes deux participent k ce mouvement, occupe succcssivement des positions differentes par rapport a la droite invariable ODO' et au point D dans lequel les cercles mobiles se touchent constamment : la suite de ces positions du point m, sur le plan fixe des deux cercles, forme une courbe utile kconnaitre. En general, on Tobtiendrait en mesurant, sur chaque position du cercle mobile de la^^. 3, le rayon vecteur A,«, et Tangle e.AjO',, pour les rapporter ensuite sur lajff^. 7, k partir du point D considere comme pole; mais, dans plusieurs cas, ce lieu des contacts entre Tenveloppe et Tenveloppee s'obtient d'une maniere directe et tres-simple.

i^ Si Tenveloppee se reduisait k un point de la circonf6rence 0^ il est evident que cette circonference serait elle-meme le lieu demande.

3** Lorsque I'enveloppee est le rayon 0' a [fig. 1 1), le lieu des contacts successifs est la circonference Y decrite sur O'a comme diametre; car, quelle que soit la position O'a! du rayon mobile, la normale AN', qu'il faut abaisser du point A (n® 812), aboutira toujours sur la circonference V.

3^ Dans le cas pen usite de la^^. 1:2, oil Tenveloppe et Tenveloppee seraient deux epicycloides, leurs points de contact se trouveraient tous evidemment sur la circonference U, plac^e tangentiellement aux deux cercles primitifs sur la ligne invariable qui joint les centres fixes.

4^ Enfin, lorsque Tenveloppee et Tenveloppe seront deux d^veloppantes de cercle [fig. i3), le lieu de leurs contacts successifs sera precisement la droite C'aC, tangente commune aux deux cercles auxiliaires qui donnent naissance k ces developpantes; car, pendant la revolution de ces courbes autour des centres fixes et 0", la normale qu'il faudrait mener du point a (n^ 812) coinciderait toujours avec la droite C'aC.

852, Limites correspondantes. Comme, dans la pratique, on n'emploie que des

Genmetrie Leroy. » 4^

33o uvsB IX. -*- AMimmrs.

arcs pen 6tendus de Tenveloppe et de I'envelopp^t il importe de savoir limiter une de ces coarbes k la portion vraiment utile, d'apr^s la grandeur de Tare conserve pour I'autre. Or les points correspondants, c'est-^dire ceux qui se trouveront en contact k une certaine epoque du mouvement de revolution, seraient tout naturellement donneis si Ton construisait Tenveloppe d'aprfes la m6thode du n^ 812 et ^^fig* 3^ oiais, dans la plupart des cas usuels, on connait d'avance la nature de I'enveloppe et de I'enveloppee, et Ton trace ces coufbes independamment Tune de I'autre : de sorte qu'il devient n^cessaire de chercher ensuite les limites correspond dantes, ce qui est facile quand on a eonstruit le Usu des contaets successifs.

833. Par exeniplot dans le cas de layS^. 1 1 oil Tenveloppee est le rayon O'a, et Tenveloppe r^picyclo'lde A/nB decrite par le roulementdu cercle V, pour trouver le point correspondant k N, on ram^nera ce dernier en N' sur la circonf^rence Y, qui est le lieu des contacts successifs, au moyen d*un arc de cercle decrit du centre ; puis, du centre 0% avec le rayon 0'N\ on decrira un autre arc de cercle qui transportera le point N' en n sur le rayon O'A; et ce dernier point n correspondra a N. De sorte que si Ton ne conserve de Tenveloppe que Tare AN, la seule portion utile de renvelopp6e sera A/i; or, ces arcs ayant ^videmment des longueurs tres-inegales, on aper^it bien qu'il y aura gUssement et , par suite, Jrottement de I'enveloppe sur Tenveloppee, comme nous I'avons d^montr^ generalement au n^ 817.

834. Dans layf^. i3, ou Tenveloppe et Tenvelopp^e sont deux developpantes» nous savons que le lieu de leurs contacts successifs est la droite CaC. Done, pour obtenir le point correspondant k N, il suffira de transporter ce dernier en N' par un arc decrit avec le rayon ON ; puis de ramener N' en n au moyeh d*un arc de cercle decrit du centre 0^ Ainsi, les arcs AN et a/i, AB et a6,..«, seront les arcs correspondants qui roulent et glissent Tun sur Tautre, pendant la revolution des cercles O et 0' autour de leurs centres immobiles.