TRAC6 DES ENGRENAGES PLANS OO CYLTNDRIQXJES

8Sli« {PL ^yfig. 1 40 Lorsque les deux roues que Ton veut metti^ en mowement out des axes paraUHes projet^s en et 0' sur le plan de jaotre epure, ces roues, ainsi que les dents dont elles sont armees, se composent de tranches cylindriques plus ou moins 6paisses, mais dont les generatrices sont paralleles aux axes: d^s lors ces dents se projetteront suivaat des eourbes ou profits qu'il suffira i6videmment d'assigner, pour que la forme totale de la roue soit bien d^finie. Nous ferons done abstraction des ^paisseurs, et nous n'aurons k nous occuper que dee profils situes dans le plan de I'epure. Cela pos^, d'apres les notions pr^liminaires ctiveloppees aux n~ 806 et 807, on salt qu'il faudra commencer par diviser Tintervalle 00' en deux parties OA = R, O'A = R', qui soient en raison inverse des vitesses anguiaires (n^ 805) a> et o^'que Ton veut iinprimer aux deux roues: puis, avec ces

€HAP1TRB IV. — MES E9MUUBIIA«BS CTLUIDBIQCCS. 33 1

rayons, on tracera lea cetcles prvnitiff aS et a'S% dont les circonf^renoea devr^nt pnendre des vitesses absoluea qui aoient egales; c'est-k-dire que dea area egau^ AA' et aa^ devront paaser par la ligne dea centres OCX^ dana un memo temipe.

92f6. M«intenant» cfaoisiasona deux nombres eiuierg quelconques n et n', qui Yoient en raison inverse des vitesses angulairea o^ et 0/9 o*est-a-Hlire tds» que Ton ait

puis, partageons le cercle primitif aS en n parties egales AA', A' A"', A''A*'....f et le cercle ex! & en n' parties egales adydoC^ifcr^.... Ces divisions auront aussi la meme longueur absolue dans les deux cercles; car, d'apres la proportion precedeote, on ^ evidemment

^irR 2irR' A A, ,

= — r-» ou kK^aal\

de sorte qu^« par la resolution dos 4^ux cercles, les points A' et aC^ A'' et o^^*.., arriveronten meme temps sur la ligne des centres 00\ Ensuite, nous aqbdiviserons cbacpne dea divisions prec^dentes an deux parties inegales, en prenant les arcs AB, A'B', A^'B",..., egaux entra eux, mais jun tant soit pen moindres qae la moitic de AA' ; ces arcs partiels formeront la hose de chaque dent ou le pldn da la roue^ tandis que les arcs AB', A'B%..., seront le cTeux ou VintervaUe entre deux dents consecutives. On operera de mSme sur le cercle primitif a'S\ oil ab, a' 6',..., seront les bases des dents da cette roue, un peu plus petites qua les intervalles baf^ b'a'\.... Cette difference est n^cessaire pour lejeu qui doit exister toujours dans Ten^renage, comma nous le montrerons plus loin (n^ 842).

837. Si Ton veut estimer Tamplitude de ce jeu avec pr^cision> appelons B etB' les bases AB et 06 qui peuvent etre inegailes, I et V les intervalles, at nous aurons

B4-I = ^ = ^' = B^4-r; d'oii Ton oonclut pour le jeu

c*est-ii-dire la longueur commune des dimions moins la somme des bases. Si les bases sont Egales sur les deux roues, Vamplitude du jeu sera Texces d'un intervalle sur une base ; mais, dans tous les cas, il faut que ce jeu reste compris entre un douzieme et un vingtieme de la longueur constante AA' des divisions primitives, afin de ne pas trop diminuer Tcpaisseur des-dents, et cons^quemment la resistance dont elles sont susceptibles; et aussi pour rendre moins sensiblesles cbocs alternatifs qui se manifestent souvent lorsque les deux roues, tout en continuant de marcher dans le mSme sens, ^prouvent des variations dans leurs vitesses, produites par des causes accidentelles.

Tous les details qui pr^cfedent sont communs aux differents genres d*engrenages, et ceux-ci ne different entre eux que par la forme du profil des dents; mais dans

3'i2 LIVBE IX. — ADDITIONS.

tous les cas, pour remplir la condition essentielle (n'^ 807) que des arcs ^gaux AA' et oo" passent en meme temps par la ligne des centres, il faudra se rappeler que les profits correspondants ZAF et jzo/'doivent etre, Tun par rapport a Tautre, eweloppe et eweloppee (n^ 810), et qu'on pent choisir k volonte un de ces deux profits, en satisfaisant toutefois k la restriction indiquee au n** 850.

838. {Fig. i4.) Engrenage a flancs, symitrique et riciproque. Ici nous adopterons pour protU de chaque dent de la roue 0' un rayon tel que 0' a\ et des lors le .profil correspondant AZ sur la roue devra etre un arc de I'epicycloide engendree par le point a du cercle V decrit sur le diametre O'a, lequel cercle roulerait sur la circonference : car on a vu (n*' 826) que cette epicycloide etait Xemeloppe de toutes les positions que prend le rayon O'a pendant la rotation du cercle 0'. On tracera done cet arc AZ par le procede du n° 471 ou par celui du n® 472, et on le terminera au point Z oil il coupera le rayon OZ mene par le milieu de la base AB ; puis, on transportera ces resultats symetriquement a gauche de ce ra^on OZ, pour obtenir le profil oppose BZ. Car ici I'engrenage est symdtrique^ c'est-a-dire que la roue menante est destinee a tourner egalement de droite a gauche comme de gauche a droite ; tandis que si la roue ne devait jamais mener que dans le second sens, la forme du profil BZ resterait arbitraire {*).

839. On donne le nom A^flanc a la partie plane de la dent, dirigee suivant le rayon O'a; et comme il n'y a qu'une faible portion de ce rayon qui soit touchee et conduite par Tare epicyclo'idal AZ, il importe de savoir trouver V etendue precise af que doit avoir le flanc. Or, d'aprfes ce que nous avons dit au n"* 833, il faudra decrire, avec la distance OZ pour rayon, un arc de cercle qui transportera Textremite Z en m sur la circonference V; puis, ramener ce point m en /par un arc de cercle decrit du centre 0'.

840. Ordinairement, on rend cet engrenage r^iproque, c'est-^-dire tel, que la roue 0' puisse etre aussi la roue menante. Pour cela, on prolonge le profil ZA dans rinterieur de la roue par un flanc AF, et.on ajoute a Texterieur de la roue 0' une dent saillante azh dont le profil est form6 de deux arcs d'epicycloide, symetriques Tun de Tautre. ici Tare az se tracera (n® 826) en faisant rouler sur la circonference 0' le cercle V decrit sur AO comme diametre ; et V itendue precise AF du flanc qui sera conduit par Tare az, s'obtiendra (n^833) en decrivant du point 0' Tare de cercle z M termini a la circonference Y , puis en ramenant le point M en F par un arc concentrique avec 0.

Quand une fois on a trac6 le profil FAZBE sur un carton que Ton decoupe le long de ce contour, cela forme un panneau mobile qui se transporte sur les autres bases A'B', A''B''»..., et au moyen duquel on trace immediatement les profits de

(*) Pour 6viter toute dquivoqae, et ne pas tomber dans des contradictions graves sur le sens de divers roouvements de rotation autour d'axes difMrents^ il faut avoir soin d'observer chacun d'eux en se pla^ant sur Vaxe correspondant. Ainsi dans \'Afig. i4) si l6 systeme fonctionne dans la direction indiqu6e par la fldche ffy il faudra dire que la roue toume de gauche a droite, et la roue 0' dc droite a gauche.

GHAPrrRS IT. — DSS ENGREKAGES CYLINDRIQUES. 333

toutes les dents de la roue 0. On opfere de mSme pour la roue 0', en employant un panneau mobile decoupe suivant le contour fazbe.

841. {Fig. 1 5.) Limite des entaiUes^ ou Courbe de raccord entre deux prqfils. A la wsuite des flancs AF et BE, il faut pratiquer une entaille qui permette a la dent azb de se mouvoir librement. Pour en determiner les limites precises, considerons la fig. 1 5 oil lejeu de Tengrenage est suppose nul, et oil des lors la dent azb se trouve necessairement en contact avec les deux profils ZAF et Z'B'E' a la fois; alors il s'agira de chercher le lieu FGE' de toutes les positions que prend le point z sur le cercle mobile autour de son centre, pendant que le cercle 0' tourne lui-m6me et entraine le rayon O'z autour du point fixe 0'. Or, d'apres les considerations exposees au n^ 809, cette courbe FGE' est la meme que celle qui serait decrite par le point z dans I'hypothese oil le cercle 0' roulerait sur le cercle entierement immobile ; mais ce dernier genre de rotation produit une epicycloide allongee dont nous avons donne la construction au n^ 473 : c'est done une portion du nomd de cette epicycloide qu'il faudra prendre pour le contour FzE', et cet arc se raccordera completement avec les deux flancs AF et BE'. En effet, si nous considerons {fig. i6) la dent azb parvenue dans la position oil elle va cesser d'etre en prise, et oil Textremite du flanc AF est touchee par le dernier element de Tare az, alors la normale commune a cette enveloppee et k cette enveloppe est la droite FD (n^810) ; mais en regardant le point z comme ayant decrit dans le meme temps Tepicycloide rallongee E'GF, la droite FD sera aussi (n** 470) normale a cette derniere courbe; d'oii Ton conclutque Tepicycloide E'GF est bien tangente au flanc AF, et semblablement elle touche I'autre flanc B' E' au point E'.

842. Ce que nous venons de dire suppose que la base ab de chaque dent egale precisementrintervalle AB'; mais cette hypothese ne doit jamais etreadmise dans la pratique, car il en resulterait, sur chaque face bz des dents en prise, un contact inutile pour la poussee et, par suite, des frottements qui diminueraient notablement reflet utile de la force motrice : d'ailleurs, la moindre irr^gularite dans les profils arreterait le mouvement de la machine, ou exposerait les dents a se briser. II faut done toujours admettre un. certain yea, dont nous avons indique les limites au n° 837; et, dans ce cas, qui estcelui de lay%. i4f Tepicycloide FG n'ira plus rejomdre le flanc B'E', et on devra la terminer a son sommet G situesur la circonference decrite avec le rayon OL qui se trouve en prenant O'L = O'z. Puis, comme il faut pourvoir au cas oil une cause accidentelle venant a ralentir la vitesse de rotation de la roue menantey il arriverait que le profil ^az marcherait a vide, tandis que la poussee s'exercerait entre les faces ebz et Z'B'E', on devra tracer aussi I'epicycloide, allongee E'H', symetrique de FG (*); etTensemble de ces deux branches

(*) Ges deux arcs FG et E'H' n'appartiennent pas ^ la mSme Epicycloide rallongde; car, poor avoir le sommet G de la premiere, it faudrait porter sur la circonference o&^ a partir du point A, un arc ^al k\k moitiE o^ de a6; puis, tirer le rayon OX-' qui couperait la circonMrence OL au point demand^ G. Tandis que pour Tautre Epicycloide E'H' il faudra porter Pare hk sur le cercle a6, mais k partir du point B', en foisant ybii^r les deux roues pour mettre en contact le profil hz avec Forigine B' du flanc B'E'.

334 UTBB IX* *— ADDITIOHS.

reunies par un trfes-petit arc de la circonf6rence OLt composera le contour FGH'E' de l*entaille rigoureusement n^cessaire pour que la pointe i^ 36 meuve libremeat^ soit dans les petites vacillations que permet le ]6u» soil dans ie pas pii la roue devrait m^/ier a gauche comme k droite.

On determinera semblablement le contour ehg^f de Tentaille k pratiquer dans la roue 0' pour laisser an libre passage k la dent A'Z'B'« en le composant de deux branches d'epicycloides rallongees, decrites par Textremite du rayon 0Z% Iprsque celui-ci est entraine par le roulement du cercle sur le cercle 0'; et ces deux branches se racoorderont avec un petit arc de la circonference donk le rayon sera 0' / lequel se determine en prenant la distance 0/=0Z'.

843. {Fig»> i4*) Au lieu de s'en tenir a ces limites rigoureuses, il faut toujours^ dans la pratique^ creuser Tentaille un pen plus profondement; et pour simplifier les precedes d'execution* on se contente ordinairement de prolonger les flancs ]usqu*k la circonference OL, dont le rayon se trouve en prenant 0' L = 0' j^ : de sorte que Tentaille est terminee carrement, comme on le voit en F'GaHiE'^. En outre, comme des parties aigues ou des arStes vives exposent k des arcs-boutements, ou entament les surfaces centre lesquelles elles glissent sous T effort d'une grande pres^ sion, ce qui alt^re la courbure primitive des prowls et augmente les froltements, on est dans I'usage de retrancher la portion de chaque dent qui avoisine la pointe Z, comoie on le voit en B* XYA* ; d'ailleurs on a soin d'adoucir Tarete vive qui resulterait de cette troncature executee au moyen d'un cercle concentrique avec 0. Les dents sent dites alors echaqfrinees ; et en operant de memo sur la roue 0% on pourra donner aux entailles des deux roues un pen moins de profondeur que ne Tindiquenk les circonferences OL et 0' /.

844. Pour fixer convenablement le rayon du cercle XY qui determine Yechan" frinemenU il faut satisfaire k la condition suivante : Lorsque deux dents se toucheni en A sur la Ugne des centres 0A0% il doit y avoir ^ apres cette Ugne^ dans le sens du mow^ment, un autre couple de dents 21 et z' qui soient encore en prise a cet insta/u4a. Or» comme T^picycloide A'Z^ touche le flanc €if' en un point x qui se trouve en abaissant du point A une perpendiculaire kx sur ce flanc (n^ 812), il suffira done de tirer cette normale, et de prendre la distance Oj; pour le rayon du cercle XY.

S'il arrivait que la normale kx^ abaiss^e sur le flanc a'f\ allat tomber au-^ dessus du point f\ cela indiquerait que les dents sent trop ^cartees pour remplir la condition enonc6e ci-dessus; et alors il faudrait augmenter les nombres n ein\ en diminuant la grandeur des divisions ^ales AA' et ac^. Nous reviendrons sur cette circonstance au n^ 879.

845. {Fig. \i^.) Mdthode approxinuitive. De la condition pr^c^dente on a deduit un precede fort simple, mais dont Texactitude n'est qu'approchee, lequel consiste a rem placer le profil ^picycloidal A'Z' par un arc de cercle qui passe par le point x ^ndique ci-dessus, et qui touche en A' le flanc rectiligne AT' : il sera bien facile je trouver le centre de cet arc circulaire que Ton devra terminer en a?, en ^chanfri-^ nant la dent comme precedemment. Cette methode, qui doitetre proscrite quand il