LITRE IX. — ADDITIONS

egal k la difference des distances 00' et OZ (n^ 845). Quant k la roue 0, elle n*aurait a la rigueur ni flancs, ni creux; mais comme il est toujours prudent de laisser un peu de jeu pour eviter les frottements que produirait un deplacement accidenteU on entaillera cette roue dans ie sens des rayons jusqu'k une profondeur de I ou 2 centimetres, indiquee par le cercle GH. I 850. Get engrenage est dit non reciproque, parce que c*est la roue seule qui doit mener le pignon, du moins si Ton veut eviter qu'il ne se trouve des dents en prise avant la ligne des centres^ ce qui est un inconvenient que nous expliquerons plus loin au n^ 875. En effet, on voit bien que Tepicycloide AC commence k toucher le flanc a/*au point a^ lorsque ce flanc coincide avec la ligne des centres 00\ et qu'apr^s cette ligne, dans le sens du mouvement, le contact x du profil A' Z' avec le rayon O'a' est plus prfes du centre 0' ; done, a gauche de 00', le profil Aa Zj n'aura aucun point de commun avec le flanc O'a^. Ainsi, quand c'est la roue qui conduit le pignon, les dents ne sont jamais en prise (\\\!apris la ligne des cen» ires 00', dans le sens du mouvement; tandis que le contraire aurait lieu si le pignon 0' conduisaitla roueO, soil a droite, soit a gauche. Dans lay?^. i4, il y avait poussee avant comme apres la ligne des centres, attendu que la petite roue 6tait elle-meme armee de dents saillantes en dehors du cercle primitif «'€'.

851. (Fig. i8.) CR^MAiLLifcRE mus par uTie roue dentde. Si, dans I'engrenage precedent, on suppose que la roue 0' acquiere un rayon infini, le cercle primitif a' 6' se changeraen une droite tangente a la circonference aS de la roue 0; et la rotation de celle-ci imprimera un mouvement rectiligne a la piece droite XY, nommee crdmaiUire^ laquelle est maintenue dans cette direction pai' des coulisses ou des guides. Ici^ sans s'occuper du rapport des vitesses angulaires dontune est zero, il faudra partager la circonference aS en un certain nombre de parties egales A A', A' A'',...: puis, reporter la longueur rectifiee d'une de ces divisions suivant aa', a'a'\...

Le profil AZ de la dent de la roue devra etre une developpante de cercle engendree par le roulement de la droite a' S' sur la circonference aS; car cette droite est ce que devient ici le cercle V de la^^. 17, lequel avait pour diametre le rayon du cercle 0' qui est infini dans le cas actuel. Par la meme raison, les flancs (fe la eremaillfere seront des droites a^, iA,..., perpendiculaires aa'g', et on les prolongera jusqu'a une droite gh^^ parallele a a' 6', et menee a une distance Qgj egale au moins aOZ : ou plutot, ces droites a^, bh^..., neservent qu'a former les entailles necessaires pour le libre passage des dents, car ici les Jlancs de la cremaillere so reduisenta un point unique. En effet, la tangente a' & 6tant normale (n*'479) a toutesles developpantesAZ,A'Z', A"Z",..., c'estconstammentaux points a, a',a",..., que seront places les contacts de ces profils avec les flancs ag, afg, a"^',.... D'ailleurs la roue n'aurait pas besoin de creux, a parler rigoureusement, puisque les faces a6, a' t',..., se trouvent tangcntes a la circonference a§; mais, comme il faut eviter les frottements, on entaillera la roue suivant le contour AGH'B', jusqu'a une profondeur d'un centimetre environ. Ici, on aura I'avantage que les dents ne seront en prise qu'apres la ligne des centres.

€HAPfTRE IV. — DES ENGRBUfAGES tTLINDRIQVES. 33^

852. [Fig. 19.) On peut aussi armer la cremaillere de dents saillantes azb^ a'z'b\..., qui conduiront des flancs AF, A'F' tallies dans Tinterieur de la roue suivant ses rayons; ct puisque c'est le ccrcle V decrit sur AO comme diametre qui, en roulant sur la circonference aS, produirait Tepicycloide rectiligne AF, c'est aussi (n°827) ce meme cercle V qu'il faudra faire rouler sur la droite a'S' pour obtenir Tenveloppe az : cette derniere courbe sera done une cycloide ordinaire qui se construira comme au n*^ 478, Pour fixer Fetendue precise du flanc AF qui sera touche par Farcaz, on operera comme dans I'epure i4 dont celle-ci n'est qu'un cas particulier, en transportant le point js en M sur la circonf6rence V, au moyen d'une parallele a a'S' (n** 840) ; puis, on dficrira du centre Tare de cercle MEF. Enfin, on prolongera le flanc AF jusqu'a la circonference GH'G' decrite avec un rayon OG determine par la parallele MG^; car cette limite rigoureuse deviendra suffisante dans la pratique, attendu qu'il faudra echanfriner les dents de la cremaillere, pour eviter les arcs-boutements que produiraient les dents qui se trpuveront en prise avant la ligne des centres (n** 877).

853. Une autre combinaison qui serait encore admissible, consisterait a suppri* mer les dents de la roue en ne lui laissant que des flancs, tandis que la cremaillere n*aurait point de flancs et porterait elle seule des dents cycloidales ; mais il nous parait bien superflu de tracer ici une figure nouvelle pour ce cas particulier.

854. {Fig. ao.) Engrenage a flancs, interieur. Lorsque le plus petit cercle 0V6' doitetre place dans Tinterieurdu grand Oa§, la meilleure disposition consiste a mettre les flancs of, be, a/',..., sur la petite roue, et a faire porter les dents AZB, A'Z'B',..., par la plus grande. Le profil AZ est alors une epicycloide interieur e {n**474) decrite par le cercle V qui roule en dedans de la circonference aS; et I'etendue precise du flanc a/'s'obtiendra encore en decrivant du centre Tare Zm, puis au centre 0' Tare mj\ Quant k la profondeur de Tentaille, elle devra s'etendre jusqu'a la circonference ghg^ dont le rayon sera determine par le cercle mZ. La roue menante devra etre celle qui porte les dents, par les motifs deja expliques au n® 850» afin que la poussee ne s'exerce qu'apres la ligne des centres.

855. {Fig. :3i.) Si, au contraire, on voulait faire porter les dents par la petite roue 0V6', et placer les flancs sur la grande roue aS dont le centre est fictivement represente par (car il tombe reellement hors des limites de \^fig. 2i)» il faudrait, pour tracer le profil az, decrire un cercle VSA dont le rayon VA serait la moitie de OA, et faire rouler ce cercle V sur la circonference a'S' qu'il enveloppe, ce qui fournirait une epicycloide du genre de celle que nous avons consideree au n**477. Quant au flanc FAG, il devrait d'abord s'etendre de A en G jusqu'a la circonference GH'G' decrite avec le rayon 00' -i- O'z, afin de laisser un libre passage a la dent azb\ et ensuite on devrait le prolonger vers le centre de A en F, pour recevoir la poussee du profil az. En effet, si, d'apres la regie generale du n^ 855, on veut trouver quel est le point de I'enveloppee AO qui viendra en contact avec le point z de I'enveloppe az, il faudra transporter le point z en M sur la circonference V, au tnoyon d'un arc jzM d6crit du centre 0'; puis ramenerle point M en F par un arc

338 LIVBE IX. ^ ADOrnOHS.

MEF decrit du centre 0. Ainsi AF» A^Fa,..., seroot les seules portions des flancs sur lesquelles s'exercera la poussee des dents; et tandis que le contact oc s'avancera de a, vers z^ sur la petite roue, sur la grande il marchera en s^ns contraire de As vers Fa : de sorte que, le chemin total parcouru par ce contact etant plus grand que dans les autres cas, le frottement augmentera considerablement.

Mais il y a encore un autre inconvenient plus grave, resultant de Tentaille qu'il faut pratiquer dans la petite roue pour permettre au flanc AF de tourner librement. Car, pendant la revolution des deux cercles et 0' autour de leurs centres immobiles, la courbe parcourue par le point F sur le petit cercle mobile est la meme (n^ 809) que celle qu'il decrirait sqr le plan fixe de ce cercle, si Ton faisait rouler la circonference a§ sur a'S"; done, cette courbe est une epicycloide a noeud dXF/xz qui viendrait raccorder en z le profil oz, comme nous Tavons prouve dans un cas semblable au 0^841. Par consequent, il faudra eviter 1^ roue 0' suivant le contour FXd, lequel enlevera une petite portion du profil az; d'oii il resultera que la dent azb ne commencera k etre en prise qu'un peu apr^s la ligne des centres. Mais ce qui est bien plus grave, c'est que la base de la deat se trouvera tellement affaiblie par cette entaille, qu'elle n'offrira plus de resistance suf&sante ; et, consequempient, le s} .-t^ine d'engrenage represente dans la^^. 21 doit etre proscrit absplument dans la pratique.

856. L'engrenage inUrieur ne peut pas itre r^ciproque; c'est-k-dire qu^il est impossible de doaner a chaque roue des dents et des, flancs a la fois, a6n que cbacune de ces roues puisse etre menante a son tour. En effet, si Ton superpose les fig. 20 et 21 de maniere a faire coincider les deux rayons designes par O'a, on verra bien que le profil AZ serait reconvert par le flanc AF, et qu'il faudrait detruire ce dernier pour pouvoir executer Tautre : de meme, dans la roue Q', le flanc a/ne peut coexister avec Tentaille aXF.

857. [PL ^g^fig* ^2.) Engrenage ALANTERNE. On designesous ce dernier nom une esp^ce de tambour compose de deux tourteaux ou plateaux circulaires, egaux, paralleles, etreanispar descylindres droits, nommesjWeauo?, dont les bases sont les cercles c;, d^ c" ; les centres de ces petits cercles sont situes tons sur une circonference a'S' qui forme le cercle primitif de cette espfece de roue, etla^^. %% represente une coupe faite entre les deux plateaux par un plan qui leur est parallele; c'est pourquoi les cercles c, c/, c",..., sont converts de hachures. Cette lanterne est mise en mouvement par une roue dont le cercle prinut^f est a6; les dents d^ celle-ci sont ordinairement taillees a part et ensuite implantees dans le corps de ja roue : alors on les nomme des alluchons, lesquels s'executent en bois tres-dur, tandis que les fuseaux, qui s'usent plus vite par le frottement, sont quelquefois en fonte. Ce genre d'engrenage ne s'emploie que pour de fortes machines oii Ton n'a pas besoin d'une grande precision dans les mouvements; car il n'offre pas autantde douceur et de regularity que Tengrenage a flancs.

Apr^s avoir choisi (n^ 836) deux nombres entiers n, n\ qui soient entre eux comoie l^ c^tygns des circonl^rences aS, a'§', on divisera la premiere en n parties

CHAPITRB IV. — 0BS ENGRBIffAMS CTLIlfDRIQITES. 33^

egales AA'^ A'A'',..., la seconde en n' parties egales oa'^ aV,...; d*oii il r^sultera aussi AA'^aa! : on marquera les bases des dents AB^ A'B\..m egales au plus a la moitie d'une division AA'; puis; en prenant un arc ac plus petit que le quart de la division aa\ on emploiera la corde de cet arc pour decrire tous les cerclesc, c', c^,..», qui seront les ba^es des fuseaux. Gela fait^ comme le profil AZ doit etre Tenveloppe (n^ 810) de I'espace qui serait parcouru par le cerclec dans Thypothese ob la circonference a!& roulerait sur a§ immobile, on observera d'abord que le point c decrirait alors une epicyclo'ide cl facile k construire (h"^ 471); si done, de divers points de cette epicycloide et avec un rayon constamment egal a la corde ca^ dn d^* crit plusieurs arcs de cercle, il sufiira de tracer une courbe AZX qui leur soit tangente, pour obtenir le profil demande par un nioyen plus expeditif que la construe* tion par points indiquee au n^ 823.

858. Cette branche AZX de I'enveloppe du petit cercle c se prolongerait dans Tinterieur de la circonference aS jusqu'k un point de rebroussement indique par t\ dans la^^. lo de la PL 67; et comme k Tepoque oii I'enveloppee toucherait Tenveloppe en ce point t\ Taxe c du fuseau aurait deja depass^ la ligne des centres GO', rien ne s'opposerait a ce que Ton gardat ce prolongement de AZX : mais» pour plus de facilite dans la pratique, on termine ce profil au point ^ qui repond k A sur la ^g. ^Hf et pour lequel le contact arrive quand ce point A est parvenu sur la droite

00' (n^ 825). Ainsi, dans Tengrenage k lanterne, les dents ne seront jamais en prise avant la ligne des centres.

859. Quant k I'entaille n^cessaire pour que les fuseaux se meuvent librement, on pourrait lui donner pour contour le demi-cercle decrit sur la corde de Tare AB' comme diametre ; mais on se contente ordinairement de tracer la portion de rayon AG un pen plus grande que la corde ac, et de decrire du point Tare de cercle GH' termine aussi au rayon B'H'. II est vrai que la droite AG n'est pas rigoureusement tangente au profil AZ» puisque la normale commune a cette courbe et a Tepicycloide cl, serait la corde ac (n"" 823); mais Tarete saillante qui en resultera en A sera tres-obtuse, et d'ailleurs on pourra Tadoucir, sauf a ce que la dent ne commence a se trouver en prise qu'un peu plus tard.

860. II est bon d'eehanfriner les dents, mais sans cesser de remplir la conditio ii du n"^ 844, afin que le mouvement se continue sans d-coups. Pour cela, on tirera la droite Ac', qui, etant normale (n° 823) k Tenveloppee c'a'b* et a I'enveloppe A'Z', determinera leur point de contact x\ et alors il suffira de prendre un rayon un peu plus grand que Ox pour decrire la circonference a laquelle commencera Techanfrinement. Si cette normale kef fournissait un point a; qui fut au-dessus de la section Z' des deux profils sym^triques, les fuseaux seraient trop ecartes pour remplir la condition du n^ 844 ; et dans ce cas, il faudrait augmenter leur nombre n' en faisant aussi varier le nombre n des dents de la roue, de manifere que le rapport des nombres n et n' restat toujours le. mem^ que celui des rayons R et R' des cercles primitifsaSeta'S'.

861. [Fig. q3.) CR^MAiLLiuE A FUSEAUX. Lorsque le rayon R' devient infini^

34o UVaB IX. — ADDITIONS.

le cercle primitif a'6' se reduit k une droite, et la lanterne devient une cremail- Ifere XY. Dans ce cas, la courbe c/decrite par la droite a'S' roulant sur a6, 6tant une developpante de cercle^ la courbe equidistante AZ sera aussi une developpante de aS, engendree par le point a, de sorte qu'on peut tracer immediatement cette derniere, sans recourir a cl. L'entaille AGH'B' s'executera comme ci-dessus; et ici la normale Ac' co'incidant toujours avec a' 6', les points de contact x de tons les profils des dents se trouveront constamment sur la ligne a'6' : done, pour echanfriner les dents, il sufiira de tracer une circonference avec un rayon un peu plus grand que Ox.

862. {Fig. aa.) CaiSMAiLLfeREapcc une lanterne. Si, dans \^fig* aa, on supposait au contraire le rayon R infini, la roue deviendrait une creniaillere arniee de dents, qui conduiraient la lanterne 0'. Dans ce cas, la courbe c/serait une cycloide ordinaire decrite par le point c du cercle a'S' qui roulerait sur la ligne a§ devenue droite; et le profil AZ devant etre une courbe equidistante de cette cycloide, on le construirait par des arcs de cercle, comme au n® 857.

863. {PL 70, y?^. 2/|.) Engrenage A developpante. Aprfes avoir determine, comme au n^ 836, les divisions egales AA', aa', ainsi que les bases des dents AB, ab, sur les cercles primitifs aS, a'&, dont les rayons sont representes par R, R', on tracera par le point A une droite TAT' faisant un angle arbitraire avec la ligne OAO'; et des centres 0, 0', on decrira deux nouveaux cercles CD, CD', tangents a cette droite TAT' : les rayons de ces cercles auxiliaires se trouveront evidemment proportionnels aR etR'. Cela pose, en faisant rouler la droite TAT' sur la circonference CD, le point A decrira une courbe FAZ developpante de ce cercle; et la meme droite roulant ensuite sur CD', le point a decrira aussi une developpante /oz de cette derniere circonference. Or on a vu (n*^ 829) que ces deux courbes FAZ et/az etaient respectivoment enveloppe et enveloppee ; done (n° 810) ce sont la les profils conjugues qu'il faut adopter pour les dents, afin qu'il passe par la ligne des centres, dans le meme temps, des arc egaux AA' et aa' mesures sur les cercles primitifs.

864. Pour echanfriner les dents, en satisfaisant a la condition du n*' 844, on observera qu'ici le point a? oil la droite AT' rencontre la developpante a'z% est precisementle pied de la normale abaissee du point A sur cette courbe; done il faudra prendre le rayon du cercle d'echanfrinement au moins egal a Ox. De meme, pour les dents de la roue 0', le rayon analogue devra egaler ou surpasserun peu la distance 0'x\ Quant k Tentaille necessaire pour donner passage aux dents, apres avoir continue la developpante ZAF jusqu'a son origine F sur le cercle auxiliaire, on prolongera cette courbe (s'il le faut) suivant un rayon FGO, jusqu'k une profondeur telle, que OG soit un peu moindre que la difference entre O'O et O'z; semblablement; pour le creux de la roue 0', le rayon O'g du fond de Tentaille devra etre un peu moindre que la difference entre 00' et OZ. On doit observer qu'ici les dents seront en prise tant avant qu'apres la ligne des centres; a moins qu'on ne reduisit les dents de la roue menee 0' a ne pas depasser le cercle primitif, suivant la forme ^aM : mais ajors Tengrenage ne serait plus reciproque.

CBAPITRB IV. -* 0B8 ENQBIWAGBS CTUNDBIQUBS. 34 1

865. Quoique nous ayons laisse arbitraire I'angle TAO = f forme par la tan* genie aux cercles auxiliaires avec la ligne des centres, il est convenable que cet angle soit au moins egal aux trois quarts d'un angle droit, afin que les entailles a pratiquer dans les deux roues n'aient pas trop de profondeur. En outre, nous ferons observer que ce systeme d'engrenage est souvent prefere par les constructeurs modernes, k cause des deux avantages suivants :

i^ La largeur des dents va toujours en augmentant jusqu'k Textremit^ inferieure EF, ce qui les rend susceptibles d'une plus grande resistance ; tandisque dans la fig. \l\y les flancs convergent vers le centre, et la base des dents se trouve quelque* fois bien afTaiblie.

:^ Quand un engrenage k developpante est execute, on pent diminuer ou augmenter d'une petite quantite la distance 00' primitivement adoptee pour Tecartement des axes, sans que le systbme cesse de fonctionner aussi regulierement; et cela est precieux dans la pratique, oil il est souvent tres-difBcile de placer les axes rigoureusement a la memo distance qu'on a supposee dans Tepure. Pour justifier cette latitude, imaginons que, dans la^^. ii[\^ on ait abaisse le centre avec les cercles a§ et CD, et qu'ils aient pris les positions 02» ^262, G2D2 (le lecteur les tracera ais^ment); alors, si Ton mene une tangente commune aux deux circonferences G2D2 et CD', cette droite coupera la ligne des centres en un point A2 qui divisera la distance O2O' en deux parties dont le rapport sera encore le meme que celui des rayons des circonferences CaDa et CD'. D'ailleurs cette nouvelle tangente, en roulant tour k tour sur ces deux circonferences, decrira par le point Aa les memos developpantes AZ et az qui formaient deja les profits des dents de Tengrenage primitif ; seulement ces developpantes se toucheront par d'autres points correspondants que dans la premiere position de Tengrenage. Done le nouveau systeme fonctionnera comme I'ancien, et en produisant des vitesses angulaires qui auront le meme rapport que dans le premier cas.

866. Cr^mailli^re a dents obliques. Lorsque, dans la figure pr^cedente, on sup-pose que le cercle primitif a' & acquiert un rayon infini, ce cercle se change en une droite, et la roue 0' en une cremaillere XY k dents obliques, dont les profils gaz^ g^a'js',..., sont des droites perpendiculaires k TT'; car le cercle auxiliaire CD' ay ant pour rayon la perpendiculaire abaissee du centre 0' sur TT', vient se confondre avec cette derniere droite; et comme le point de contact s'eloigne en meme temps a I'infini, si Ton veut faire rouler la droite TT' sur cette circonference degeneree en ligne droite, chaque point a decrira une perpendiculaire gaz k la ligne TT'. Les contacts des dents conjuguees seront encore ici places tons sur la droite TT', en a, a;, j/ ; mais la poussee s'exerQant suivant une normale k gaz^ c'est-k-dire suivant TT', qui est oblique k la direction XY du mouvement que doit prendre la cremaillere, il en r^sultera un frottement considerable dans les coulisses qui maintiennent cette piece : c'est pourquoi le systbme de lay%. 25 est moins avantageux que celui de la cremaillere droite {fig. 18). Au surplus, cette dernifere n'est qu'un cas particulier de X^fig. a5 : celui oil la droite arbitraire TAT' serait men^e k angle droit sur AO.