LIVRE IX. — ADDITIONS

eonrhe excentrique qm peut ofTrir plusieurs varietes; mais il suf&ra d'en citer un exemple, celui que Ton designe sous le nom de courbe en cceur. Soit AA4 la hauteur dont la tige doit monter : apres avoir partage cet intervalle en parties egales, 4 par exemple^ on en fera autant pour la demi-circonference decrite avec le rayon OA4; puis, sur les divers rayons Oi, Oa, 03, on prendra les distances

OB = OA|, OC = OAa, OD = OA,, 0E = 0A4,

et la courbe ABCDE, jointe a la branche symetrique AB'C'D'E, composera Texcentrique demandee. En eflfet, la tige AZ 6tant retenue dans la meme direction verticale par les guides m et /i, lorsqu'on fera tourner la roue autour de son axe 0, et que le rayon vecteur OB aura pris la position OA, , la poussee oblique qu'elle exerce sur la tige aura fait monter celle-ci et aura transports son pied A en A, , puisque ce dernier point coincidera avec B. De meme, quand le rayon OC sera devenu vertical, le pied A se trouvera transporte en Aj , et ainsi de suite jusqu'a ce que OE coincide avec OA4 ; puis, le mouvement de rotation continuant dans le meme sens, la branche ED'C'B' A laissera redescendre la tige graduellement depuis A4 jusqu'en A.

873. Ce systeme ne s'em'ploie que dans le cas oil il ne faut pas exercer un grand effort sur la tige; et alors meme on doit chercher a diminuer les frottements dus a la poussee oblique. Pour cela on garnit le pied de la tige d'un galet mobile autour de Taxe horizontal A, et Ton adopte pour contour de la roue une courbe abcded'b'a qui soit equidistante de Texcentrique primitive; cette nouvelle courbe se trace en la rendant tangente a des arcs de cercle decrits de divers points de ABGD... avec un rayon constamment egal k celui du galet. Par la, le mouvement rectiligne de la tige demeure le meme que dans le premier cas; mais, au lieu d'un frottement de glissement, on n'a plus qu'un frottement de roulement, lequel est beaucoup moindre.

874. Quand on vent eviter le changement un peu brusque de vitesse qui a lieu aux points extremes A et A4, on divise Tintervalle AA4 en parties inegales, au moyen d'une demi-K^irconference decrite sur cette distance comme diamfetre, et que Ton partage en arcs egaux; les ordonnees de ce demi-cercle fournissent les points A|, Aa, A|,..., etla courbe ABGDE, construite comme ci-dessus, ne presente plus de points saillants. Nous laissons au lecteur le soin de tracer Texcentrique dans cette nouvelle hypothese.

875. Remarques. Nous avons fait observer diverses fois que, pour un tel systeme d'engrenage, la poussee des dents ne^ s'exer^ait qu'^r^ la ligne des centres ^ dans lesensdu mouvement; tandis que, pour tel autre systeme, il y avait des dents en prise want la ligne des centres. Cette distinction est importante k faire, k cause des inconvenients graves que presente souvent le dernier de ces deux cas.

D'abord, on doitse rappeler que dans tons les engrenages examines ci-dessus, les profils des dents ne roulent pas simplement I'un sur I'autre, mais qu'il y a aussi un glissement (n^ 817), lequel est parfois assez considerable, comme on Fa vu aux n**833 et 854. De Ik r^sulte un frottement qui est proportionnel k la pression exer-

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c^e par les dents Tune sur Tautre^ et qui absorbe une partis de la force motrice : or cette perte de force est plus considerable pour deux dents qui sont en prise aidant la tigne des centres^ que pour deux dents analogues qui ne seraient en contact qu'apres la meme ligne. Cette proposition, que I'experience confirme, s'^tablit par des principes de m^canique et par des calculs dont I'exposition nous eloignerait trop du but graphique de cet ouvrage; mais nous pouvons, du moins, la justifier par les considerations suivantes.

876. {PL ^o^fig. 3a.) Admettons que, dans hi fig* 3^, 0' soit la roue menante, et qu'elle tourne dans le sens indique par la fleche (p'\ II pent arriver, soit par suite du trop petit nonobre des dents, soit par suite de quelque irregularity dans leur execution, qu'k une certaine ^poque la pouss^e des deux roues ne s'exerce plus que par un seul point m qui corresponde au dernier element du profil aV; alors la pointe z'\ ou plutot Tarete vive qui est projetee sur ce point, sera comparable au tranchant d'un ciseau dont les faces seraient symetriques par rapport au plan diametral OV. Or, tant que le mouvement a lieu dans le sens (p^f le contact marche de m vers A"; et, Tangle OVA" etant aigu, le ciseau ne fait que frotter sur la surface G^A^z'^f et la polir sans Tentamer, Mais, si nous changeons les rdles, et que devenant la roue menante^ elle tourne dans le sens de la flbche f , alors le tranchant du ciseau marchera de m vers G'', du cote de Fangle obtus OVG'' : cons^quemment il tendra a penetrer dans la surface A''G'', il I'entamera legerement et apportera beaucoup plus de resistance au mouvement de rotation de Tengrenage. Quelquefois meme, sousl'efTortd'unegrandepression, Tarete z" penetrera assez avant dans la surface A"G" pour ne plus pouvoir se degager, et il y aura un arc'-boutement qui arretera subitement la machine, ou qui fera rompre Tune des dents ainsi engagees. Cest pour cela qu'il faut toujours echanfriner les dents, et avoir soin d'adoucir encore les aretes qui resuUeraient de cette troncature.

877. Mais, lors meme que ces precautions ont ete prises, il reste toujour? des asperites inevitables sur le bois ou la fonte qui ont servi a former les dents; etces asperites produisent, quoique d'une maniere moins prononcee, des effets analogues a ceux que nous avons decrits au niimero precedent. D'ou Ton doit conclure, conformement k rexp6rience, que le frottement et la perte de force motrice sont toujours plus considerables pour deux dents qui se poussent avant la ligne des centres, que pour celles qui sont en contact apres cette ligne. En outre, dans le premier de ces cas, il pent encore y avoir arc-boutement, quoique la dent a''z''b" soit 6chanfrinee, si par quelque legfere irregularite, il arrive que la poussee des deux roues ne se fasse que par le dernier element du profil conserve aV, et que la pression soit considerable. Ainsi, nous pouvons poser ce principe general : dans tout engre* nage ilfauty autant que possible, ivittr que les dents commencent a entrer en prise avant la tigne des centres.

878. Pour remplir cette condition, le premier moyen serait de supprimer dans une des roues, O' par exemple, toutes les portions de dents qui seraient en dehors du cercle primitif a'S', ainsi que le montrent les^f^. 17, 18, ao, 22, a3, et d'exiger

G^m^trie Leroy, 44

3^S LivRB n. — ADunairs.

que la roue fOt toujours la roue menante^ soit k droite> 3oU k gauche, car alprs on voit bien que la poussee ne s'exercerait jamais qu'apres la ligue ()]es centres. On pourrait obtenir le m^me avantage dans Tengrenage k developpantes de ]Sifig» ^4» ^!^ I on r^duisait les profits des dents de 0' aux parties interieures gfa\ heh^**-* l^ engrenages de ce genre, oil une seule (^es roues peut mener, ^ont dite non riciproques.

879. Mais cette disposition offrirait des inconvenients dans Jes grapde^ machines, a mouvements rapides, a resistances trfes-inegales, oil les vitesses sontyegularis^es par Temploi des volants. Car, alors, en raison des petites yariaiions periodiques que subit la vitesse, et a cause du jeu qui doit loujours exister entre les dents (n^ 837), chacune des deux roues, tout en continuant de march^f dai^sle m^me sens, se trouve tant6t menante et tantot menSe : or, pour rempUr w doubly role, elles doivent toutes deux etre armees de dents saillantes en dehors de^ cercle^ primitifs, comme on le voit dans la Jig. 3^, oil Tengrenage .^st dit reciproqm^. Ainsi, pour conservercet avantage sans retoraber dans rinconvenient d*avoir de^ contacts, tant en avant qu'en arriere de la ligne des centres, il f^udra d^nuugrir les dents du cdtdopposi a celui ou le mow^merU doit avoir lieu^ c'e^fr^nlifQ enliever les parties que nous avons couvertes de hachures dans lay%. 3a; ma^s }e sypteaie ne pourra fonctionner que dans un seul sens, celui qui est indique par fes Ai^e^ ?et9'C). ^

880. {Fig- 3a.) Limite du nombre des dents. A la poussee d'un couple de den^ doit succeder, sans interruption aucune, la poussee d'un autre couple, afin d'eyijbar les chocs retrogrades que Ton nomme des a-coups : il fautdoac qu'^ I'instant Qu li^ deux dents GAZ et gaz commencent k se toucher sur la iigne des ceptres en A» les dents G'A'Z' et ^a'z' du couple precedent soient encore en prbe. Or, en afaai38apt la normale Ax sur le profil a'g^ (rectiligne ou non), on sait que le pied j? de cettie normale doit etre (n°812) le point de contact de Teaveloppee o'^ avec Tenyeloppe A'Z'; si done ce point x se trouve au-dessous du sojoamet Z' jde la .deplt de la roue 0, la condition demandeesera remplie; sinon, il y aurait desa-coups, ^tpo^^ les ^viter, il faudra rapprocfaer les dents en augmentant leqrs uQU^bres n et n\ qui devront toujours etre choisis proportionpels aux rayons K ejt R' des cerclea primitifs. II suit de la que le nombre nf des dents de la petite roue adpxetun mini^ mum, qui varie avec la nature des profits et avec le rappo/rt des vitesses angulair.es; aussi, en cherchant k determiner par le calcul la position du pied de la normale A:ff

M. Savory a trouve les limites suivantes, oil jx designe le rapport ^j qui est toujour? moindre que Tunite : !

Dans un engrenage k flancs /i' = ou> io(i ^|ui);

Dans un engrenage k lanterne ii'z=:ou> ^ + t\p.\

Dans un engrenage a developpantes n':;=ou> i6-4-ajx.

(* ) Ce proc^dd, ainsi que les remarques pr^Mentes, soot tir^ des LegooB que M. Smary avail rMi< g^es pour son Count de machiiies A I'ltcole Polyteoboiquc.

CHAPITRB T. — MB BSIGBENA«SS GONIOUES . 347

Ndifs ne rapporterons point ici les ealcals qui condatsent k cte r^ultats; p'irce qo'itspfenvent etre avaDtagensement renlplaces, danschaque eitemple, par laveriflcatioQ grapbique citee plus haul, laquelte h'exige qile le trace provisoire de deux deiits.