CHAPITRE V

t)E^ ENGRENAGIlS CONlQtJES.

881. (jP/. ^iffig* I.) On appelle ainsi le systeiiie de deiix roues dofitles axe^, au lieu d'6tre paralleles, v6nt se rencontrer sous un angle quelconque. Soient 1/0' et ZV ces deux aies, siiues ici dans le placi vertical de notre 6pure; on commencera par tracer dans Tangle 0-Z'o', unfe droite Z'A' telle, qoe les deiiit perpindiculaires abaissees d'un ^nelionque de ses points sur les deux axes, soiedi en rsiison interde des vitesses angulalres [t? 805) que Ton veut imp^inier aux deux roues, c'est^k-dire en ^aison inverse des nombres de toiirs qbe ces roues doivent faire dans un mbine tfemps : ces nombres etant assignes par la qtiestion, Idf d^terminatiofi grapbique de la droite Z'A! est trop facile pour dous y arr^ter da vantage. Efls'uite, selon la grandeur plus on moins considerable que t'on voudra donner aux deux roues^ on choisira sur la droite Z'A' un point A' plus ou moins eloigne dfe V; et duquel on abaissera sur les axes les perpendiculaires A'O', A'o'; ce seroiit 1^ les rayons des cervies primitifsi lesquels serviront de bases k deux cdnes de rdvolutiofii Z'A!(y et Z'AV dont cbacun seraf, pout ainsi dire, le noyau d'une des roues.

882. Maintenant, pour obtenir entre les vitesses angulaires le rapport assign^ ci-*de88iis, il suffira evidemmeht de faire tourner les deux cones primttifs aiitour de leurs axes itemobiles, de telle sorte que les circonfigrences A'O' et A'o' prenneiit des vitesses absolues qui soient egales (n^ 807). Or, pour remplir cette condition ati moyen de la poussee de deux dents correspobdantes, il faut terminer ces dents par deux surfaces coniques aiyant leur sommet commufi en Z', et dottt Tune soit Vehveloppe de Tespace que parcourrait Tautre, si, eh laissant tout a fait immobile le coneZ'A'O', 6n faisait /t>e«/er sur celui-la le c6ne Z^A'o'qui entraloerait avec lui la surfa<;e de sa dent; car, en appliquant ici les details que nous avons donnes aux n^808 et 809, on verra bieri que ce roulement amfene les deux cdnes primitifs dans la memo situation relative que s'ils avaient tourne autour de leurs axes immobile^ et de mariiere a faire parconrir des arcs egaux par deux points quelconques de^ circonferences A'O' et AV.

885. {Fig. i.) D'aprte ce principe^ la soldtion la plus simple s'obtiendra en formant : i'' la dent de la petite roue a^ec un plan men6 par I'axe Z'o' et ^ui reQoit lenom deflanc; 2^ la dent de la grande roue, avec une surface conique qbi soit constamment tangente a tc flanc, dans toutes les positions qu*il occupera pendant le roulement du cone priinitif Z'AV; et Ton va voir que ce cdne, enveioppe du flanc, a pour base une epicycloide spherique.

34B UVRB IX. *— ADDinOIIS.

Dans le plan du cercle primitif dont le rayon est AV (plan que nous appellerons Mplan auxiliaire de projection, et qui est rabattu ici avec ce cercle suivant A'Ge'), traQons une circonference A'Fo' qui ait pour diam^tre le rayon A!o\ et faisons-la rouler successivement : i° sur le cercle primitif du rayon O'A', en conservant toujours entre leurs plans Tinclinaison marquee par Tangle o'A'X; :i** dans Tint©rieur et dans le plan du cercle primitif qui a pour rayon o'A'. Pendant le premier mouvement de rotation, un point quelconque de la circonference mobile, par exemple celui qui est rabattu en m sur le plan horizontal, decrira une epicycloide spherique dont nous savons trouver la projection horizontale DM (n^ 482), et dont le cone generateur A'SV s'obtient en elevant par le centre w' la perpendiculaire w'S' sur le plan du cercle mobile ; de sorte que cette epicycloide est situ^e tout entiere sur la sphere decrite avec le rayon S'A' : d'ailleurs, si Ton rabat le point (M, M') en F sur le plan auxiliaire, on sait (n^ 470) que la droite projet^e suivant (A'M, A'M'), et qui a pour vraie position AT dans le plan auxiliaire, se trouve etre une normale de Tepicycloide au point (M, M'). D'un autre cote, pendant la rotation du cercle A'Fo' sur A'Ge', le meme point generateur (M, M') ou F decrira une epicycloide rectiligne (n^ 475) qui sera precisement la droite o'FG. Cela pose, si Ton conduit un plan par cette droite o'FG et par Faxe ZV, je dis que ce plan mSridien sera tangent au cdne qui aurait pour sommet le point Z' etpourhasetdpi^ cycloide projetee sur DM. En efTet, si Ton observe que le plan meridien en question a pour trace verticale ZVX, et pour trace sur le plan auxiliaire la ligne o'F ellememe, on reconnaitra aisement que ce plan est perpendiculaire sur la droite rabattue suivant A'F, et projetee suivant (A'M, A'M') : or, puisque cette droite est normale a I'^picyclo'ide, il est certain que le plan meridien ZVF contient la tangente de cette courbe au point (M, M') ; et com me il passe aussi par le sommet Z' du cone epicycloidal, il sera bien tangent k cette surface, tout le long de la generatrice qui reunira le sommet Z' avec le point F relev6 en (M, M')-

D'ailleurs, ce contact continuera de subsister le long d'une generatrice variable sur ce cone epicycloidal, pendant que le cone primitif Z'o'A' roulera sur le cone Z'O'A'; car, pour toutes les positions du point F sur le petit cercle, les deux cordes A'F et o'F, A' Fa et o'Fa,..., se trouveront toujours perpendiculaires Tune a Tautre. Done le plan Z'o'F est bien propre a former le/lanc d'une dent de la roue Z'o'A', puisqu'il sera touche constamment et conduit par la dent que termine le cone epicycloidal [Z', DM], de la meme maniere que si le cone primitif Z'o'A' roulait, sans glisser, sur Tautre cone Z'O'A' : ce qui remplit bien la condition du n^ 882.

884. {Fig. I.) II reste k.trouver I'etendue precise que doit avoir le flanc pour correspondre a un arc limite DM de Tepicycloide. A cet effet, rabattons le flanc Z'o'F sur le plan vertical, autour de Taxe Z'o' : dans ce mouvement, le point F decrira Tare de cercle F/dont le centre est en o' ; et la droite Z'/sera le rabattement de la generatrice de contact qui aboutit au point (M, M'). Mais, k T^poque ou le flanc passait par Torigine D de Tepicycloide, il touchait le cdne epicycloidal suivant la generatrice projetee sur O'D, laquelle se rabattra evidemment sur Z'A',

CHAPITRB V. — DBS ENfiBENAGBS CONIQCBS. 349

Done Tangle A'Z'/mesure en vraie grandeur sur le flanc, Tespace angulaire qui a ^te conduit et touche par la dent epicycloidale, pendant que le flanc a roule depuis le point D jusqu'en (M, M'). Ce sera done k cette partie angulaire A'Z/ qu'il faudra restreindre Texecution du flanc^ si la dent est reduite a la portion du cone qui correspond k Tare DM.

885. Mais ce proced6 ne serait pas d'une application commode dans Tepure generale qui va suivre, attendu qu'alors nous ne connaitrons immediatement que la projection horizontale M de Textremite de Tare DM, avec la sphere Z' A'P'o' sur laquelle est situee Tepicycloide. Dans ce cas, il faudra rabattre le point M en R, projeter ce dernier en F sur le grand cercle de la sphere, eft abaisser sur Taxe Z'O' la perpendiculaire FK' qui representera le parallele sur lequel doit 6tre situe le point de Tepicycloide projete en M. Alors ce parallble P'K' coupera le cercle generateur qui a pour diametre A'o^ suivant une corde projetee au point M'; on rabattra cette corde suivant MT, qui fera connaitre le point F, duquel on deduira/et le reste comme ci-dessus.

886. {PL T^.fig' 2-) Tracdde Vepure. SoientZ'O' etZ'o' lesaxes des deux roues, situ^s dans le plan vertical de projection ; soient aussi A'O' et A'o' les rayons des cervles primitifs que Ton determinera comme il a ^te dit au n^ 881 : ces deux cercles sont representes sur les deux plans {^g. 3 et 4) perpendicu) aires aux axes, par les circonferences OA et oa. Apres avoir choisi deux nombres entiers n et /i', qui soient entre eux dans le meme rapport que les rayons primitifs, on divisera la circonference OA en n parties ^gales AAf , Af A2,..., et la circonference oa en nf parties egales cui^ , a^a^^.x et il arrivera n^cessairement (n° 836) que les divisions AAf et aa^ seront de meme longueur absolue. Ensuite, on subdivisera chacun de ces arcs en deux parties dont une AB, destinee a former la base de la dent, soit moindreque TautreBA, d'environ un douzUme de Tare total AA, (rojez n® 857) .

887. {Fig. 2 et 3.) Gela pose, dans le plan du cercle primitif A'o\ et sur ce rayon, comme diametre, decrivons un cercle qui est rabattu ici suivant &>" A {fig. 3); puis, faisons-le rouler sur la circonference 0' A', en main tenant entre leurs plans rinclinaison primitive O'A'o'. Dans ce mouvement, le point (A, A') du cercle mobile decrira une epicycloide situee sur la sphere qui a pour rayon sf A!\ et pour construire cette courbe sans deplacer le contact actuel A des deux cercles, on prendra deux arcs egaux km et AI, d'oii Ton deduira (n^ 482) les projections M, M', d'un point de I'epicycloide qui aurait son origine en I ; mais comme Torigine est reellement en A, on verra-bien qu'il sufQt de prendre Tare p/x egal k RM, pour obtenir un point jx de la projection horizontale AjtJiX de Tepicycloide demandee, Alors le cone, qui aura pour base cette epicycloide et pour sommet le point (Z', 0), formera (n^ 883) la dent qui commence en (A, A'); mais il reste a en trouver les intersections avec les deux surfaces coniques inf^rieure et superieure qui terminent le noyau de la roue, et dont nous n'avons pas encore parl6.

888. Par le point A' menons une droite indefinie A'Q', formantavec A'Z' un angle un peu plus grand que 90°; puis, apres avoir marque la longueur AV que

35o iinrB ix. — AmiiTioirs.

Voit teot donfnet MH dents, menonfs la droite a'Y' parallfele k A'Q', et fa}8ons( townei* ^fes dfetix paralleles autottr de Taxe vertical (0, O'Z'); noTis produirons ain&et dedx cdnes de p^vOlution que Tont terminera a deux cercles horizontaux Q'Q^ VV; af^sez ^cartes pour que le solide qu*ils compreiidront ofTre une resistance stLffisaMe : ce solide forme ce qu'on appelle VenrayurCf qui est quel^u^fbis ^videe, comme daatf hi PL &S ; tandis que la partie comprise entre les deux cdnes d^crits paf A'Q' et a'y forme la couronne dans laquelle sont tallies les dents et les creux» et qui devra etre prolong^e jusqu'k une certaine limite Z'N'P' dependant de la satllie que I'on vo'udra donner aux dents, comme nous T^xpliquerons tout k Theure (n** 890). Qri^nt k ia petite roue, on tirera la droite A' ^ dans une direction k peu pvha symetrique de A'Q' pa^ rapport k la ligne A'Z'; puis, du point od on m^n^ra odsf parallMe a Pi! q\ et Ton terminera les deuit coiies, que ces paralleles decriront aiitour de Z'o', par les deux cercles de Tenrayure ^^' et^'^'. Enfin, on prolon-' gera ces memes cdnes jusqu'a la Hmite Z' n!ff que nous allons apprendre k assigner pour la saillie des dents de cette seconde roue.

889. Revenons mairitenant au c6ne ^picycloidal ^ui avait son sommet en (0, Z') et potir bds6 I'epicyclo'jde projetefe sur A/xX, et cberch6ns la courbe ACL suivarit laqiielle se projette son intersection avec le c6ne inferreur decrit par la revolution de la droite A'Q'. Comme cette dpicyCloide est situie sur la sphere du rayon /A', si nous coupons cette surface et les deux cones ci-dessus par un plan v^rticaU tel que OX, et que nous le rabattions sur le plan vertical autour d^ Taxe (0, 0'2'}» on verra bien que le point X se transportera en X', et que Z'X' sera le rabatte-^ ment de la g^neratrice du cone ipicycloidal ; done, en prolongeant cette droite jusqu*en L\ oil elle coupe la gen^ratrice Q'A^P% et en raihenant par un arc de cercle le point V en L sur OX; ce deroiier point L appartiendra k la projection demand^e ACX.

890. De la on dMuira la courbe BD symetrique de AC par rapport k H Ugne milieu de la dent, sur laquelle ces courbes iraient se rencontrer ; mais, en les prolongeant ainsi, les deux faces coniques de la dent se coup'eraientt suivant une arete vive, ce que Ton doit eviter avec soin {n^ 843 et 876) : c'est pourquoi on Schanfrine la dent, en tra^ant un arc de cercle PCD place un peu au-dessoiis du point de section des courbes AC et BD, il en resulte une nouvelle face conique ayant pour sommet le point (Z'O) et pour base un arc de la circonference (PCD, FP). C'est ce cercle d'6chanfrinement qui determine la limite Z'P' dont nous avons parl6 au n^ 888 ; et la vraie mesure de la saillie que presentent les dents au-dessus du c6ne primitif Z^A'O' est exprimde par Tangle A'Z'P'.

Le c6ne superieur de la couronne, d6crit par la revolution de la droite a'V, sera eoupe par les faces coniques de la dent, suivant des courbes 07, @(^, evidemmeht skmblables avec AC et BD, puisque les generatrices a'V et A'Q' sont paralleles; de sorte qu'on pourra tracer ces courbes au moyen de rayons vecteurs propoftionnels.

891 . Quant k la petite roue, apr^s avoir trace un cercle horizontal sur (OA, O'A')

€I|APITRB V. — DES BNGRElfAGES GOIHQUBS. 35 1

commie di^ip^^e, on fera rouler le cone droit S'A'Q.' sur le cone S' A'o' : U point (A', a) du cercle mobile decrira une epicycloide situee sur la sphere du r^yon S'A', et doQt on coqstpira la projection a/x' mv le plan auxiliaire de la^?^. 4; puist en imagioant un cone qui ait pour base cette epicycloide et pour spmmet le point (Z'p), on pherpbera Tintersection ,de ce cpije (§picycloidaI avec le cone de la couronne decrit par la ^evolution de la droite A'q' autour de TaxeZ'p', ce qui fournira la projeption fw jiu contoup ji^e la dent. De la on deduir^ par symetrie les diverses cpurbes b^d^t a,,C|,..., que I'pp coupejra, ^y^^f^ leur rencontre, par le cerclp 4'^p}^pnfpinepieflt/?fl?4 c, , lequej fpr^ cQpifaitre le pojnt /?' et la saillfp A'Z'p' que prespntepoiflt |es ^pot^ de cette rpup au fjehprs du cone primitif Z'A'o', Nous ^e fai^pps q)i'iqiiiquer ces diyerses operatipn?, parce qu'elles sont foptes semb)abl.es k celle^ qfie f)pu$ avpns efirectpee^ popr la premiere roi^e.

Remofgue. Quoique la 3ailli^ dp la dent ait pour lin^ite rigourepsp la ^rQ^te Z'p\ i( 3era j^o^^ ^fip de }^is^er quejque jeu ^ la macbip.e» ^p trapep une autre droite T/p!' wn pieji glu$ pcartee de I'a^e, et de considerer cettp d^roiere comme la limite /ictive de {a dent, quand il s'agira tput k Thpure 4^ determiner Tetendue des Panes pi ^03 ep^jlle^ de la grande foue.

^92. Urnite^ d^flanc^. Nous ayons vu ^p ti° 885 que les flaics de 1^ gran^de^ rpue qpj serpnt cppdpit$ par lp$ dents de la petite spnt les plans yerticaux 04^ QA| » ,0^2 tv 5 fpais pouF 4.etprmiper 1^ partie utile de ces plaps, c'est-a-dire celle qui est successivem.ent tppchee par la portion de c6ne epicycloidal corresppp.dante a Tare fipi oc^ i| fapjdra recpu|rir k la methpde dn n^ 885. Ainsi, du )^o\xi\p'\ oil la g^iferatrice pxtreme Z'/?" dp cope ppicycloidal rencontre le grand cercle O'p" A' de 1^ sphere qui cont|pn{; |'epicyelo'i|le en question, abaissons sur Taxe Z'o' la perpendiciilafire/?''^; pile coppp |e |[||amstre O'A' du cercle generateur au point ^, que I'pp projetfera ep 3 sur la cirppnferpnce de ce cercle; on r^battra le ppint 3 en 4 sur le plan yeftjcal, pj; la droite Z'4» que Ton prolpngera jusqu'en F', oil elle repcontre Ip cpnp Ipferjpur de la cpuropne, fera connaitre la partie angplaire A'ZT' dqi flanc <}pi $pp|e pst cpp^pil'P par la dent correspondante s^ Tare oc. Toutefois, comme la droite Z'F' rencontre aussi le cone superieur dp la cpuronne au point y', on doit dire (jpe |a grapdeur precise du flanc est donn6e par le trapeze A'a'y'F', dont les angles F' et 9' fourpiront suf le plan hor jzontal les circopferences auxquelles il faudra terminer les cotes des flancs AF, ao, pE,....

Pour la petite roue, on Jrouvera d'une ipaniere sep^jii^lable les cpf^s des flancs qf^ be^...f en pperapt ^pr la geperatrice Z' P' du ppne epicycloidal qui forme la (|en{: de la grande rpue.

893. Limited des entailles. Au lieu de fajre tpurper les deu? roues autour de leurs axes inimobiles, nous ppuvons, d'apres le principe dp n*' 809, laissef 1^ cone Z'A'Q' entierenipnt fixe et faire rouler sur celui-la le cone Z'A'o' qui entrainera avpc lui la dept correspondante a Tare ac. Pendant cette rotation, Farete extreme Z'jp" de la dent engendrera une surface conique ayapt son sommet en Z', et pour base Tepicyclpide rajlppgee qui sera decrite par le point a?' oil cette arete va couper